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高中数学重点知识归纳整理(一)


高中数学重点知识整理
第一部分:复数 1. 复数及表示:形如 a ? bi 的数叫做复数,通常记为 z ? a ? bi ,其中, a 叫做实部, b 叫做 虚部, i 叫做虚数单位,规定 i ? ?1
2

第二部分:数列 一.等差数列 1. 等差数列的定义: 一个数列如果从第二项开始, 每一项与它前一项的差都等于同一个常数, 则这个数列

叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,即若 ,则数列 ?an ? 就是等差数列 an ? an?1 ? 常数(或 an?1 ? an ? 常数) (可以用来判断一个数列是不是等差数列) 练习:已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 项公式为 2. 等差数列的通项公式和前 n 项和公式 记等差数列的第 n 项为 an ,前 n 项和为 Sn ,则该等差数列的 通项公式为: an ? a1 ? (n ?1)d 前 n 项和公式为 Sn ? na1 ?

练习:复数 (1 ? 2i)i 的实部为__________.虚部为 2. 复数的模及共轭复数 设 Z 是一个复数,则 z 表示该复数的共轭复数, z 表示该复数的模,记 z ? a ? bi ,则
2 2 , z ? a ?b z ? a ? bi (实部相等,虚部互为相反数)

1 ?n ? 2?,则数列 {an} 为 2

.数列,它的通

练习:已知 z ? 3i ? 2 ,则 z ?

,z ?

?a ? c 3. 复数相等:若 a ? bi ? c ? di ,则 ? ?b ? d
练习:若 i( x ? yi ) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi = 4. 复数的分类 记 z ? a ? bi 1) 若 Z 表示实数,则 b ? 0 2) 若 Z 表示虚数,则 b ? 0 3) 若 Z 表示纯虚数,则 a ? 0, 且b ? 0 练习:若复数 z ? ( x ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则 x ? __________
2

n(n ? 1) d 2
9 .则数列 {an } 的通项公式 2

练习:已知等差数列 {an } 满足 a3 ? 2 ,前 3 项和 S 3 ?

为 3. 等差中项

,前 n 项和公式为

5. 复数的除法:分子分母同时乘以分母的共轭复数

1 ? 2i 练习: ? (1 ? i ) 2
6. 复数 z ? a ? bi 在复平面内对应点为 ( a, b) 1+3i 练习:复数 在复平面上对应的点位于( 1-i A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限

若三个数 a, b, c 构成等差数列,则把 b 叫作 a与c 的等差中项,此时有 2b ? a ? c 练习:若三角形 ABC 的三个内角 A, B, C 构成一个等差数列,则角 B 的度数为 二.等比数列 1.等比数列的定义: 一个数列如果从第二项开始, 每一项与它前一项的比值都等于同一个常数, 则这个数列叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比,即若

an a ? 常数(或 n ?1 ? 常数) ,则数列 ?an ? 就是等比数列 an ?1 an
(可以用来判断一个数列是不是等比数列)

复数做题原则:计算结果一定要写成 a ? bi 的形式,否则会出错!

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练习:1.数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 2an , Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 Sn ? 126 , 则n? 2.已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则 ?an ? 的前 10 项和等于( A. -6 1-3

三. an 与 Sn 的关系(适用于任何数列) 1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ) 2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 练习:1.已知 Sn ? n2 ? 1 ,则 a8 ? 即 an ? ?

4 3

?S1 (n ? 1) ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)
an ?

?

-10

?

1 -10 B. ?1-3 ? 9

C. 3 1-3

?

-10

?

D. 3 1+3

?

-10

?

2.等比数列的通项公式和前 n 项和公式 记等比数列的第 n 项为 an ,前 n 项和为 Sn ,则该等比数列的 通项公式为: an ? a1q 前 n 项和公式为 Sn ? 当 q ? 1 时 Sn ? na1 第三部分:解斜三角形 一.正弦定理及变形 1..正弦定理:在一个三角形中,各边与它所对的角的正弦比都相等,并且等于三角形外接圆的 直径 即
n ?1

2.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 且 Sn ? 2an ?1 ,求该数列的通项公式

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

注:做等比数列的题目,若用前 n 项和公式无法计算时,可考虑用

Sn ? a1 ? a2 ???? ? an 来做
练习:在各项都为正数的等比数列 {an } 中,已知 a3 ? a4 ? 24, S4 ? 30 ,则数列 {an } 的通项

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

2.正弦定理的变形 公式为 3.等比中项 若三个数 a, b, c 构成等比数列,则把 b 叫作 a与c 的等比中项,此时有 b ? ac
2

前 n 项和公式为

? a ? 2 R sin A ? 变形一(边化角): ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?
二. 余弦定理及变形

练习:已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列.求数列{an}的通项公式.

a ? ?sin A ? 2 R ? b ? 变形一(角化边): ?sin B ? 2R ? c ? ?sin C ? 2 R ?

1. 余弦定理:在三角形中,任意一边的平方都等于另外两边的平方减去这两边与这两边夹角 的余弦 2 倍的乘积

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?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 即 ?b ? a ? c ? 2bc cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?
2. 余弦定理的变形

五.几个特殊的三角形 1.直角三角形(假设 a , b 为直角边, c 为斜边) (1)勾股定理:在直角三角形中,两条直角边平方和等于斜边平方(直角所对的边就是斜边) 即a ?b ? c (2)直角三角形的面积公式:直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半
2 2 2

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? cos B ? ? 2ac ? 2 ? a ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?
练习:1.在 ?ABC 中,已知 AB ? 2 , AC ? 3 , A ? 60 .则 BC 的长为_______
?

即 S Rt ?ABC ?

1 ab (做题的时候要看清楚哪两条边才是直角边) 2

(3)直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除与斜边长 练习:在直角三角形中,已知其中一条直角边长为 1,该直角边所对的角为 为 ,该三角形的面积为

? ,则斜边上的高 6

2.等边三角形 等边三角形的三条边都相等,三个角都为 60 ,根据正弦定理可得
?
2 2 2

2.已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c .若 a ? ab ? b ? c ? 0 ,则角 C 的大小是_______ 三.三角形面积公式 公式一: S ?ABC 公式二: S ?ABC

1 1 3 2 S ? ab sin A ? a ? a sin 60? ? a , 2 2 4 a a 3 ? ? a 由正弦定理变形 a ? 2 R sin A 可得 R ? ? 2sin a 2sin 60 3
由此可得等边三角形的面积和外接圆半径与边长的关系 (1) 等边三角形的面积公式:等边三角形的面积等于边长平方的 即 S等边三角形 ?

底?高 ? 2 1 1 1 ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

3 倍 4

练习:1.若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 2, b ? 3, c ? 7 ,求三角形的面积 即r ?

3 2 a (不一定要死记,掌握推导方法即可) 4
3 倍 3

(2)等边三角形的外接圆半径与边长的关系:等比三角形的外接圆半径等于边长的

3 a 3
,它的外接圆的直径

四:在 ?ABC 中,任意两个角和的正弦都等于第三个角的正弦(若是余弦和正切,则要加一个 负号)即

练习:若一个等边三角形的边长为 3 ,则该三角形的面积为 为

sin( A ? B) ? sin C sin( B ? C ) ? sin A sin( A ? C ) ? sin B
练习:设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则角 A ?

3. 对角线互相垂直的四边形面积公式:若一个四边形的两条对角线互相垂直,则该四边形的 面积等于两条对角线乘积的一半 练习:在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C.5 D.10 )

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