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2015-2016学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(12)(圆锥曲线)1



2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题



学(十二) (圆锥曲线)

命题人: 学校: 审题人: 学校: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.对于常数 m 、 n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为 A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

x2 y 2 7 ? ? 1 的离心率为 3.若双曲线等 ,则 m= 4 m 2 A. 5 B.3 C. 6 D.2 6 2 4.若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6 ,则抛物线
方程为 A. y ? 4 x
2

B. y ? 36 x
2

C. y ? 4 x 或 y ? 36 x
2 2

D. y ? 8x 或 y ? 32 x
2 2

5.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B 两点,
2

AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为
B. 2 2 C. ? D. ? x2 y2 6.设双曲线 2- 2=1(b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过 A(a,0),B(0,b)两点,若原点 O 到 l 的 a b 3 距离为 c,则双曲线的离心率为 4 2 3 2 3 2 3 A. 或2 B. C. 2或 D. 2 3 3 3 7.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该 A. 2 抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? A. 2 2 x y 8.设点 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的交点,F1、F2 a b 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则此双曲线的离心率为 10 A. 5 B. C. 3 +1 D. 3 2
2 2

B. 2 3

C. 4

D. 2 5

x2 y 2 2 9. 已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x ? 2 py( p ? 0) a b
的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 A. x ?
2

8 3 y 3

2 B. x ?

16 3 y 3

C.

x2 ? 8 y

D.

x2 ? 16 y

高三数学(十二)第 1 页 共 6 页

x2 y2 10. 设点 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的交点,F1、F2 a b 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则此双曲线的离心率为 10 A. 5 B. C. 3 +1 D. 3 2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 2 a b 2 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 20 5 8 2 12 6 16 4 x2 y2 12.在直角坐标系 xOy 中,过双曲线 2 ? 2 ? 1, (b ? a ? 0) 的左焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 a b 的一条切线(切点为 T )交双曲线右支于点 P ,若 M 为 FP 的中点。则 | OM | ? | MT |? a?b A. b ? a B. a ? b C. D. a ? b 2
11 已知椭圆 C : 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点, a 2 b2 ? 若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为______________.
13.过椭圆

x2 ? y 2 ? 1的离心率是 2 ,则 m 的值是 m b x2 y 2 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点,F1 是左焦点,PF1 15. 设 P 为直线 y ? 3a a b 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ? 2 16.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若 | AF |? 3 ,则 | BF | =____
14.已知双曲线 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。

x2 y 2 ? ?1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) , a 2 b2 2 且点 P(0,1) 在 C1 上( . 1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 :y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
17. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C1 :

高三数学(十二)第 2 页 共 6 页

18.已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(Ⅰ)求椭圆 C2 的方程;

(Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

??? ?

??? ?

x2 y2 2 19.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴长是 2 2 ,且过点 (1, ) . 2 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆 C 交于 M、N 两点, F 为椭圆的右焦点,直线 MF 与 NF 关于 x 轴对称.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

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20.如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点 H ( x0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、B 两点,分别 交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准线的距离为

17 . 4

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

高三数学(十二)第 4 页 共 6 页

21.设抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 900 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值.

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22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

2

2

高三数学(十二)第 6 页 共 6 页

2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(十二)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 C 6 D 7 B 8 A 9 D 10 A 11 D 12 A

二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 13.

3 3

14.

1 3

15.

3 2 4

16.

3 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 17.解: (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 ,

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 ,所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 , 2 b a b 2 x ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C1 的方程为 2 (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,
点 P(0,1) 代入椭圆

? x2 ? ? y2 ? 1 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 , 整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2
2



? y ? 4x 2 2 2 ,消去 y 并整理得 k x ? (2km ? 4) x ? m ? 0 。 ? ? y ? kx ? m 因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ② ? 2 2 ? ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 。 2 或? ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 2 2

y 2 x2 ? 1? a ? 2 ? , 18.解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? a 4
a2 ? 4 3 3 a ? 其离心率为 2 ,故 a 2 ,则

? 4.

高三数学(十二)第 7 页 共 6 页

故椭圆 C2 的方程为

y2 x2 ? ? 1. 16 4

(Ⅱ)设 A, B 两点的坐标分别为 ? xA,yA ?, ? xB,yB ? ,

,B 三点共线且点 A,B 不在 由 OB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A
y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为

??? ?

??? ?

y ? kx .
所以 x A
2



y ? kx 代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 ?1 ? 4k 2 ?x 2 ? 4 , 4

?
2

4 , 1 ? 4k 2

y 2 x2 + ? 1 中,得 ? 4 ? k 2 ? x 2 ? 16 , 将 y ? kx 代入 16 4
又由 OB ? 2OA ,得 xB 解得 k

所以 xB

?

16 4 ? k2



??? ?

??? ?

2

2 ? 4x A ,即

16 16 ? 2 4?k 1 ? 4k 2



? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x .

? 2a ? 2 2 , ? 19.解: (Ⅰ)由题意可得 ? 1 解得 a ? 2 , b ? 1 . 1 ? ? 1 , ? ? a 2 2b 2
故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

0) ,由 ? (Ⅱ)椭圆的右焦点 F (1 ,

? y ? kx ? m , 2 2 ?x ? 2 y ? 2 ,

消 y 并整理得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 , 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则有 ? ? (4km) ? 4(2k ? 1)(2m ? 2) ? 8(2k ? m ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2

且 x1 ? x 2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

因为直线 MA 与 NA 关于 x 轴对称,所以这两条直线的斜率互为相反数,
高三数学(十二)第 8 页 共 6 页

则有 k MA ? k NA ? 0 ,即

y1 y ? 2 ?0, x1 ? 1 x2 ? 1

则有 2kx1 x2 ? (m ? k )(x1 ? x2 ) ? 2m ? 0 , 所以 2k ?

2m 2 ? 2 4km ? (m ? k ) ? 2 ? 2m ? 0 , 2 2k ? 1 2k ? 1

整理得 m ? ?2k , 此时 k 满足 ?

2 2 且 k ? 0 ,直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) , ?k? 2 2

故直线 l 过定点,且该定点为 (2 , 0) . 20.解(1)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? 即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . (2)∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ k HE ? ?k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,∴

p 17 , ? 2 4

∴p?

1 , 2

yH ? y1 y ? y2 , ?? H xH ? x1 xH ? x2
k EF ?



yH ? y1 y ? y2 , ?? H 2 2 2 2 yH ? y1 yH ? y2

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 .

y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ?? . 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4

(3)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA ?

y1 4 ? x1 ,∴ k HA ? , y1 x1 ? 4

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 ) x ? y1 y ? 4 x1 ? 15 ? 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x2 ) x ? y 2 y ? 4 x2 ? 15 ? 0 , ∴ (4 ? x1 ) y 0 ? y1 y 0 ? 4 x1 ? 15 ? 0 ,
2

(4 ? x2 ) y 0 ? y 2 y 0 ? 4 x2 ? 15 ? 0 ,

2

2 2 ∴直线 AB 的方程为 (4 ? y 0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ? 15 ? 0 ,

令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) , y0
高三数学(十二)第 9 页 共 6 页

∵ t 关于 y0 的函数在 [1, ??) 单调递增,

∴ t min ? ?11 .

21.解: (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x x2 p 2 2 点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ? 0 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p 2p 2p 2 3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 ) ,直线 m : y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

1 2 p , S?ABD ? 4 2 ? ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

(2)由对称性设 A( x0 ,

x2 ? 2 py ? y ?
直线 n : y ?

x2 x 3 3 3p p , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p 坐标原点到 m, n 距离的比值为 : ?3. 2 6
22.解: (1)设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得 x ? 2 ?

( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,

2 2 易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以 ( x ? 5) ? y ? x ? 5 .

化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . (2)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0 ,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? 4),即kx-y+y0 +4k=0 .于是
2 整理得 72k 2 ? 18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1


? 3.

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,故

18 y0 y ?? 0. ② 72 4 ?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 由? 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. ③ 2 y ? 20 x, ? 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根,所以 20( y0 ? 4k1 ) 20( y0 ? 4k2 ) ④ ⑤ y1 ? y2 ? . y3 ? y4 ? . k1 k2 k1 ? k2 ? ?
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于是由②,④,⑤得 y1 y2 y3 y4 ?

2 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? ? y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1 k2 ? ? ? k k k1k2 1 2

?

2 2 400 ? ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ?

k1k2

? 6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400.

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