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高一数学上学期期末考试试题(含答案)


高一上学期期末考试 一、填空题
1.集合 A ? {-, B ? {0,1}, C ? {1, 2},则(A ? B) ? C =___________. 1 0}, 2. 函数 f ( x ) ? log 1 ( 2 x ? 1) 的定义域为
2

3 .过点(1 ,0 )且倾斜角是直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的两倍的直

线方程 是 .

4.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是_______________ 5.点 P ?1,1, ?2? 关于 xoy 平面的对称点的坐标是 .

6.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离是 _________ 7.以点 C(-1,5)为圆心,且与 y 轴相切的圆的方程为 . 8.已知点 A( x,1, 2)和点B(2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是_________. 9.满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合A的个数是_____. 10.函数 y=x2+x (-1≤x≤3 )的值域是 _________.

11.若点 P(3,4),Q(a,b)关于直线 x-y-1=0 对称,则 2a-b 的值是_________. 12 . 函 数 y ? ? x 2 ? 4mx ? 1 在 [2, ??) 上 是 减 函 数 , 则 m 的 取 值 范 围 是 .
a ,则 a 的值 2

x 13 . 函 数 f ( x)? a ( a? 且 a? 1) [1, 2] 上 最 大 值 比 最 小 值 大 在 0



.

14 . 已 知 函 数 f(x)= mx2 ? mx ? 1 的 定 义 域 是 一 切 实 数 , 则 m 的 取 值 范 围 是 .

二.解答题
15、 (1)解方程:lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ; (2)解不等式: 2
1? 2 x

?

1 ; 4

-1-

16. (本小题 12 分)二次函数 f(x)满足 f (x+1)-f (x)=2x 且 f (0)=1. ⑴ f (x)的解析式; 求 ⑵ x?[-1,1]时,不等式:f (x) ? 2x ? m 恒成立,求实数 m 的范围. 当

17. 如 图 , 三 棱 柱 ABC? A B C, A1 A ? 底 面 ABC , 且 ?ABC 为 正 三 角 形 , 1 1 1

C1 B1

A1 A ? AB? 6 , D 为 AC 中点.
A1

(1)求三棱锥 C1 ? BCD 的体积; (2)求证:平面 BC1D ? 平面 ACC1 A1 ;
C

(3)求证:直线 AB1 // 平面 BC1D .
A

D B

18.已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点 (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2) l1 的倾斜角为 若

A (1,0).

? ,l1 与圆 C 相交于 P, 两点, Q 求线段 PQ 的中点 M 的坐标; 4

(3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时 l1 的 直线方程.

-2-

19. (本题 14 分)已知圆 M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,定点 A ? 4, 2 ? 在直线 x ? 2 y ? 0 上,点 P 在 线段 OA 上,过 P 点作圆 M 的切线 PT ,切点为 T .(1)若 MP ? 5 ,求直线 PT 的方程; (2)经过 P , M , T 三点的圆的圆心是 D ,求线段 DO 长的最小值 L .

20.已知⊙C1: x 2 ? ( y ? 5) 2 ? 5 ,点 A(1,-3) (Ⅰ)求过点 A 与⊙C1 相切的直线 l 的方程; (Ⅱ)设⊙C2 为⊙C1 关于直线 l 对称的圆,则在 x 轴上是否存在点 P,使得 P 到两圆的切线长之比为 2 ?荐存在,求出点 P 的坐标;若不存在,试 说明理由.

-3-

参考答案 一、填空题 1 . ?3,9? 2 . (1,??) 3.1 4.6 5 . 2x ? 3 y ? 7 ? 0 6 . 450

7. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 8.异面 9.8? ①③ 14.(A)
15 4

10. 相交 11.12?

12.

4? 3

13.(A) (2)(4)

(B)

(B) (1, 2 3 )

二、解答题: 15.设 y1 ? a3x?5 , y2 ? a?2 x , (其中 a ? 0且a ? 1 ) 。 (1)当 y1 ? y2 时,求 x 的值; (2)当 y1 ? y2 时,求 x 的取值范围。

答案: (1) x ? ?1 ; (2)当 0 ? a ? 1 , ? ??, ?1? ; a ? 1 时, ? ?1, ??? 16. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中。 (1)求证: BD ? 平面AAC1C ; (2)求 1 二面角 C1 ? BD ? C 大小的正切值。 答案: (1) BD ? AC, BD ? AA1 , 证到 BD ? 平面AAC1C 1 (2) ?C1OC 是二面角的平面角
A B D C A1 D1 C1

B1

在 Rt?C1OC 中, tan ?C1OC ? 2 17. 已知圆 C: ? x ? 1? ? y 2 ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆
2

C 于 A、B 两点。 (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长。

-4-

解: (1) 2 x ? y ? 2 ? 0 ; (2)直线 L 方程为 x ? y ? 0 ,圆心到直线 L 的距离为
d? 2 2

可以计算得: AB ? 34 18. 如图, 已知△ABC 是正三角形, CD 都垂直于平面 ABC, EA=AB= 2a , EA、 且 DC= a , F 是 BE 的中点。 求证:(1) FD∥平面 ABC;(2) 平面 EAB⊥平面 EDB。 证明: (1)取 AB 中点 G,连 CG,FG 四边形 DFGC 是平行四边形, 得到 DF // CG
F
DF ? 平面ABC , CG ? 平面ABC
A E

D

所以 FD∥平面 ABC; (2)可以证明 CG ? 平面EAB , 又 DF // CG ,所以 DF ? 平面EAB
DF ? 平面EBD ,所以,平面 EAB⊥平面 EDB
B

C

另:可以用 AF ? 平面EBD ,证明:平面 EAB⊥平面 EDB 19. (A)已知圆 M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,定点 A ? 4, 2 ? 在直线 x ? 2 y ? 0 上,点 P 在线段 OA 上,过 P 点作圆 M 的切线 PT ,切点为 T .(1)若 MP ?
5 ,求直

线 PT 的方程;(2)经过 P, M , T 三点的圆的圆心是 D ,求线段 DO 长的最小 值 L。 答案: (1)先由 MP ?
5 求得: P(2,1)

直线 x ? 2 与圆不相切,设直线 PT: y ?1 ? k ( x ? 2) ,即: kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 圆心 M (0, 2) 到直线距离为 1,得: k ? 0, 或k ? ? 直线方程为: y ? 1或4 x ? 3 y ?11 ? 0
-5-

4 3

(2)设 P(2t, t ) (0 ? t ? 2) ,经过 P, M , T 三点的圆的圆心为 PM 的中点

D ? t ,1 ? t ? ? ? 2
1 ? ?
2 2 2

1 5 所以, OD ? t ? ?1 ? t ? ? t 2 ? t ? 1 , (0 ? t ? 2) ? ? ? 2 ? 4
t ? 0 时,得 OD 的最小值 L ? 1

(B)已知圆 M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,设点 B, C 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的两点,它 们的横坐标分别是 t , t ? 4(t ? R) ,点 P 在线段 BC 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA , 切点为 A .(1)若 t ? 0 , MP ?
5 ,求直线 PA 的方程;(2)经过 A, P , M

三点的

圆的圆心是 D ,求线段 DO 长的最小值 L(t ) . 答案: (1)先由 MP ?
5 求得: P(2,1)

直线 x ? 2 与圆不相切,设直线 PT: y ?1 ? k ( x ? 2) ,即: kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 圆心 M (0, 2) 到直线距离为 1,得: k ? 0, 或k ? ? 直线方程为: y ? 1或4 x ? 3 y ?11 ? 0 (2)设 P ( x, x ) (t ? x ? t ? 4) , 经过 P, M , T 三点的圆的圆心为 PM 的中点 D ? x,1 ? x ? ? ? 2 4
1 1 ? ?
1 2

4 3

所以 OD2 ? x2 ? ?1 ? x ? ? x2 ? x ? 1 ? ? x ? ? ? , (t ? x ? t ? 4) ? ? ? ? 4 2 16 ? 5? 5 ? 4 ? 16
1 1 5 1 5 4 4
? ? ? ? 讨论得: L(t ) ? ?2 ? ? ? ? 5 2 1 4 t ? t ?1 t ? ? 16 2 5 24 4 5 ? ?t ?? 5 5 5 5 2 t ? 3t ? 8 16 t<24 5

2

2

20. (A) 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足;对任意 x ? D ,存在常数
M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M

成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为
-6-

函数 f ( x) 的上界。已知函数 f ( x) ? 1 ? a?2x ? 4x , g ( x) ?

1 ? 2x 。 1 ? 2x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的值域,并判断函数 f ( x) 在
(0, ??) 上是否为有界函数,请说明理由;

(2)求函数 g ( x) 在 [0,1] 上的上界 T 的取值范围; (3)若函数 f ( x) 在 (??, 0] 上是以 3 为上界的函数,求实数 a 的取值范 围。 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? 2x ? 4x ,设 t ? 2x ,x ? (0, ??) ,所以:t ? ?1, ???
, ? y ? t 2 ? t ? 1,值域为 ?3,??? ,不存在正数 M,使 x ? (0 ? ) 时,| f ( x) |? M 成

立,即函数在 x ? (0, ??) 上不是有界函数。 (2)设 t ? 2x , t ??1, 2? , y ?
? 1 ? ?? 3 , 0? ? ?
1? t 2 ? ? 1 在 t ??1, 2? 上是减函数,值域为 1? t 1? t

要使 | f ( x) |? T 恒成立,即: T ?

1 3

(3)由已知 x?? ??,0? 时,不等式 f ( x) ? 3 恒成立,即: 1 ? a?2 x ? 4 x ? 3 设 t ? 2x , t ? ? 0,1? ,不等式化为 1 ? a?t ? t 2 ? 3 方法(一) 讨论:当 0 ? ? ? 1即: ?2 ? a ? 0 时,1 ? a 2 ? ?3 且 2 ? a ? 3 得: ?2 ? a ? 0 当 ? ? 0或 ? ? 1 即: a ? ?2或a ? 0 时, ?3 ? 2 ? a ? 3 ,得 ?5 ? a ? -2 或0 ? a ?1 综上, ?5 ? a ? 1 方法(二) 抓不等式1 ? at ? t 2 ? ?3 且1 ? at ? t 2 ? 3 在 t ? ? 0,1? 上恒成立,分离参数法得
4 2 ? a ? t ? 且 ? a ? t ? 在 t ? ? 0,1? 上恒成立,得 ?5 ? a ? 1 。 t t a 2 a 2 a 2 1 4

-7-

(B) 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足;对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) |? M 成立, 则称 f ( x) 是 D 上的有界函数, 其中 M 称为函数 f ( x) 的上界。已知函数 f ( x) ? 1 ? a?2x ? 4x , g ( x) ?
1 ? m?2 x 。 1 ? m?2 x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的值域,并判断函数 f ( x) 在
(0, ??) 上是否为有界函数,请说明理由;

(2)若函数 f ( x) 在 (??, 0] 上是以 3 为上界的函数,求实数 a 的取值范 围; (3)若 m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0,1] 上的上界 T 的取值范围。 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? 2x ? 4x ,设 t ? 2x ,x ? (0, ??) ,所以:t ? ?1, ???
, ? y ? t 2 ? t ? 1,值域为 ?3,??? ,不存在正数 M,使 x ? (0 ? ) 时,| f ( x) |? M 成

立,即函数在 x ? (0, ??) 上不是有界函数。 (2)由已知 x?? ??,0? 时,不等式 f ( x) ? 3 恒成立,即: 1 ? a?2 x ? 4 x ? 3 设 t ? 2x , t ? ? 0,1? ,不等式化为 1 ? a?t ? t 2 ? 3 方法(一) 讨论:当 0 ? ? ? 1即: ?2 ? a ? 0 时,1 ? a 2 ? ?3 且 2 ? a ? 3 得: ?2 ? a ? 0 当 ? ? 0或 ? ? 1 即: a ? ?2或a ? 0 时, ?3 ? 2 ? a ? 3 ,得 ?5 ? a ? -2 或0 ? a ?1 综上, ?5 ? a ? 1 方法(二) 抓不等式1 ? at ? t 2 ? ?3 且1 ? at ? t 2 ? 3 在 t ? ? 0,1? 上恒成立,分离参数法得
4 2 ? a ? t ? 且 ? a ? t ? 在 t ? ? 0,1? 上恒成立,得 ?5 ? a ? 1 。 t t a 2 a 2 a 2 1 4

(3)当 m ? (0,

2 2 1? m ] 时,T 的取值范围是 [ ? , ??) ;当 m ? ( , ? ) 时,T 的 1? m 2 2

-8-

取值范围是 ? ?

2m ? 1 ? ,?? ? ? 2m ? 1 ?

-9-


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