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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:4.2同角三角函数的关系与诱导公式


第四章


三角函数


1

●同角三角函数的三个基本关系式
考 点 搜 用 ●诱导公式

●“1”在化简、求值、证明中的妙

●已知tanα的值,求sinα和cosα构 索 成的齐次式(或能化为齐次式)的值 ●三角恒等式的证明
2<

br />
以同角三角函数的基本关系 考 式与诱导公式作为工具对三角函数进 猜 行恒等变换. 想



3

一、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系: sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α; tanα·cotα=1 ;

sin ? cos ? tan ? ? cot 2. 商数关系: cos ? , ? ? sin ? ;

3. 倒数关系: 二、诱导公式

,

cosαsecα=1,sinαcscα=1.

4

1.2kπ+α(k∈Z),-α,π〒α,2π-α的 同名 三角函数值等于α的 三角函数值,前 锐 面加上一个把α看成 角时原函数值的 符号. 2. 〒α的三角函数值等于α 的 互余 函数值,前面加上一个把α看成
2

?

2? 〒α, 3

角时原函数值的符号.记忆口诀为: 锐 ? 奇变偶不变,符号看象限.(注:奇、偶指 的 2 奇数倍或偶数倍.)
5

12 ? 1已知△ABC中, cotA ? ? 则cosA=( , 5 5 12
13 5 C. ? 13 先由 A. 13 12 D. ? 13 知A为钝角, B.

) D

?

12 cotA ? ? ? 则cosA<0,排除A和B; 5
?

再由 和sin2A+cos2A=1, cos故选D. A 12 ? 求得 cotA ? ??
sinA 12 cosA ? ? , 13 5

6

C

7

3.已知tanθ=2, ? 则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=(
?

)

4 A. ? 3 3 C. ? 4

5 B. 4 4 D. 5

8

?

sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
sin ? ? sin? cos? ? 2cos ? ? sin 2? ? cos 2?
2 2

tan 2? ? tan? ? 2 4 ? ? , 2 ? 故选D. tan ? ? 1 5

9

考点1: 运用同角三角函数关系求值 1求tanα; ? 1. (1)已知 sin? ? , ? (1)因sinα= 3 1 >0,
? ? ? ?

3 所以α为第一或第二象限角.

当α为第一象限角时, 当α为第二象限角时,
2

2 2 2 cos? ? 1- sin ? ? ,tan ? ? ; 3 .2 4 ? 由(1)知,tanα=
? 4
10

?

(2)已知sinα=m(m≠0,m≠〒1),求tanα.
(2)因为sinα=m(m≠0,m≠〒1),

所以 cos? ? ? 1-sin2 ? ? ? 1- m2 (当α在第一、 四象限时取正号,当α在第二、三象限时取负号). 所以,当α为第一、四象限角时, 当α为第二、三象限角时, 1- m
2

tan ? ?

m

;

tan ? ? -

m 1- m
2

.
11

【点评】:同角三角函数关系式是化异 名(函数)为同名(函数)的基础.主要的三个关系 sin x 2x+cos2x=1, 式为sin cotx=1.转 tan x ? , tanx· cos x 化时注意符号的取舍,如果角的范围不能确 定,则注意分类讨论.

12

已知tanα=m(m<0),求sinα的值. 因为tanα=m<0, 所以α在第二、四象限. 当α在第二象限时, sec? ? - 1 ? tan 2 ? ? - 1 ? m2 , tan ? m sin ? ? tan ? cos? ? ?; sec? 1 ? m2 当α在第四象限时, 2 sec? ? 1 ? m , tan ? m sin ? ? ? . sec? 1 ? m2

13

题型2 :运用同角三角函数关系化简、证明 2.设θ是第二、三象限的角, 1 1 ? sin ? ? tan ? . 求证: 2 2 1- sin ? cos ? 1 ? tan ? 证明:因为θ是第二、三象限的角,
所以cosθ<0. 所以左边 ?
1 sin ? cos ? 1 ? cos 2 ?
2 2

-

(1 ? sin ? ) 2 (1- sin ? )(1 ? sin ? )

? cos ?
2

1 1 cos 2 ?

-

(1 ? sin ? ) 2 cos 2 ?
14

?

1
2

1 cos ? ? -cos? -1 1 ? sin ? sin ? ? ? ? tan ? =右边, cos? -cos? cos? 所以结论成立.
【点评】:解决有关三角函数式的化简与证 明的问题,关键是合理选择公式和变形方向,如 异名化同名、整体代换、切化弦,等等.
15

1 ? sin ? -cos?

1 化简 cos α+sin α+sin αcos α- cos4α
4 2 2 2

+tan4α.

16

1 sin4α 解:原式=cos2α(cos2α+sin2α)+sin2α-cos4α+cos4α 1-sin4α ?1-sin2α??1+sin2α? =1- cos4α =1- cos4α 1+sin2α cos2α+2sin2α =1- cos2α =1- cos2α 2sin2α =- cos2α =-2tan2α.

17

题型3 :诱导公式的应用 3. 化简下列各式:
2sin ? sin(90? - ? ) ? sin(270? ? ? ) ; (1) 2 2 1 ? sin(180? ? ? ) ? sin (? -180?) - sin (? - 90?)

(2) tan(27? - ? ) tan(49? - ? ) tan(63? ? ? ) tan(139? - ? ). 2sin ? cos ? - cos ? (1)原式= 2 2 1 - sin ? ? sin ? - cos ? cos ? (2sin ? -1) ? 2sin 2 ? - sin ? cos ? ? ? cot ? sin ?

18

(2)原式= tan(27? - ? )tan(49? - ? )tan ?90? - (27? - ? )? ?
tan ?90? ? (49? - ? )? ? tan(27? - ? )tan(49? - ? )cot(27? - ? ) ?

?-cot(49? - ? )?
? tan(27? - ? )cot(27? - ? )tan(49? - ? ) ?

?-cot(49? - ? )? ? -1.
19

?

【点评】:诱导公式是化任意角的三角函 数为锐角三角函数的公式,也是化异角为 同角的公式,化简时特别注意符号的规定.

20

3? sin(? - ? )cos(2? - ? ) tan(-? ? ) 2 . 已知 f (? ) ? cot(-? - ? ) ? sin(-? - ? )

(1)化简f(α); 3? 1 (2)若 sin(? ? ) ? , 求f(α)的值; 2 5 (3)若α=-1860°,求f(α)的值.

21

?

3? sin(? - ? )cos(2? - ? ) tan(-? ? ) 2 (1) f (? ) ? cot(-? - ? ) ? sin(-? - ? ) sin ? ? cos? ? cot ? ? ? -cos ? . -cot ? ? sin ? 3? 1 3? (2)由sin(? ? ) ? -cos ? 及 sin(? ? ) ? ,
2
2 5

得 f (? ) ? 1 .

1 (3) f (? ) ? -cos(-1860?) ? -cos 60? ? - . 2
22

5

题型4 :sinα ±cosα 与方程思想 4. 已知sinθ+cosθ= 1 ,θ∈(0,π). 求下列各式的值: (1)tanθ; (2)sinθ-cosθ; (3)sin3θ+cos3θ.
5

23

解法1:因为sinθ+cosθ= 1 ? 所以(sinθ+cosθ)2= =1+2sinθcosθ, ? 所以sinθcosθ=<0.25 12 ? 由根与系数的关系知, 25 ? sinθ,cosθ是方程x2x- =0的两根, 1 ? 解方程得x1= , x2= - . 12 5 25 4 3 ? 因为sinθ>0,cosθ<0, 5 ? 所以sinθ= ,cosθ= - . 5
?

1 ,θ∈(0,π), 5

4 5

3 5
24

?

所以,(1)tanθ=-

4 ; 3 7 ; 5 37 . 125

?
? ?

(2)sinθ-cosθ=
(3)sin3θ+cos3θ=

解法2:(1)同解法1.
2

12 49 (2)(sin ? - cos ? ) ? 1- 2sin ? cos ? ? 1- 2 ? (- ) ? . 25 25 因为sinθ>0,cosθ<0, 所以sinθ-cosθ>0, 7 所以sinθ-cosθ= . 5
25

(3)sin3θ+cos3θ ? =(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) ?= 1 12 37
?

5

? (1 ?

25

)?

125

.

【点评】:由sin2α+cos2α=1知,在式子sinα+ cosα, sinα-cosα及sinαcosα中,知道其中一 个,便可求得其余两个式子的值.求解中注 意符号的讨论与取舍.
26

已知 sin(π-θ),cosθ 是方程 3x2- 2x π +m=0 的两个根,且2<θ<π. (1)求 m 与 sinθ-cosθ 的值; (2)若 f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3, 求 f(cosθ-sinθ)的值.

27

? ?sin?π-θ?+cosθ= 2 ? 3 解:(1)依题意? m ? cosθ= 3 ?sin?π-θ?· ? ? ?sinθ+cosθ= 2 ? 3 即? m ? cosθ= 3 ?sinθ· ?
2





① ②

22 7 m 由① -2×②=1,得( 3 ) -2× 3 =1,解得 m=-6.

28

π 又因为2<θ<π,sinθ>0,cosθ<0,sinθ-cosθ>0, 所以 sinθ-cosθ= ?sinθ+cosθ?2-4sinθcosθ = 22 7 4 ? 3 ? -4×?-18?=3.

29

(2)因为 f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3 3sin2α-2sinαcosα = -3 2 2 sin α+cos α 3tan2α-2tanα = -3. tan2α+1 16 4 3× 9 -2×?-3? 4 3 所以 f(cosθ-sinθ)=f(-3)= -3=-25. 16 9 +1

30

参考题 题型 :“1”的妙用
1- cos 4 ? - sin 4 ? 化简 . 6 6 1- cos ? - sin ?

解法1:原式=
(cos2 ? ? sin 2 ? )2 - cos 4 ? -sin 4 ? 2 2 3 6 6 (cos ? ? sin ? ) - cos ? -sin ? 2cos ? sin ? 2 ? ? . 2 2 2 2 3cos ? sin ? (cos ? ? sin ? ) 3
2 2
31

解法2:原式=
(1 - cos ? )(1 ? cos ? ) - sin ? 2 2 4 6 (1 - cos ? )(1 ? cos ? ? cos ? ) - sin ?
2 2 4

sin 2 ? (1 ? cos 2 ? - sin 2 ? ) ? 2 sin ? (1 ? cos 2 ? ? cos 4 ? - sin 4 ? ) 2cos 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? )(cos 2 ? - sin 2 ? ) 2cos 2 ? 2cos 2 ? 2 ? ? ? . 2 2 2 2 1 ? cos ? ? cos ? - sin ? 3cos ? 3
32

tan ? ? -1, 求下列各式的值: 2. 已知 tan ? -1 sin (1) ? -3cos? ; sin? +cos?

题型:切割化弦与齐次式的应用

(2)sin2α+sinαcosα+2. 1 由已知得 tan? = . 2 1 -3 (1) sin ? - 3cos? ? tan ? - 3 ? 2 ? - 5 . sin ? ? cos? tan ? ? 1 1 ? 1 3 2
33

(2)
2

sin 2? +sin? cos? +2
2

=sin 2? +sin? cos? +2(cos 2? +sin 2? ) 3sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 2 1 3? ( ) ? ? 2 2 3tan ? ? tan ? ? 2 13 2 2 ? ? ? . 2 1 2 tan ? ? 1 5 ( ) ?1 2

34

?

1. 已知角α的某一个三角函数值,求角α的 其余三角函数值时,要注意公式的合理选 择.一般思路是按“倒、平、倒、商、倒” 的顺序求解,特别是要注意开方时的符号 选取.

35

?

2. 在进行三角函数式化简和三角恒等式 的证明时,细心观察题目的特征,灵活、 恰当地选用公式,一般思路是切割化弦. 3. 证明三角恒等式的常用方法为:

? ?

①从一边开始证得它等于另一边,一般 由繁到简;
②证明左、右两边都等于同一个式子(或 值).
36

?


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