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2015-2016学年高中数学 2.3 等差数列的前n项和课时作业9 新人教A版必修5


课时作业(九)

等差数列的前 n 项和

A 组 基础巩固 1.在等差数列{an}中,S10=120,则 a2+a9=( ) A.12 B.24 C.36 D.48 10?a1+a10? 解析:S10= =5(a2+a9)=120. 2 ∴a2+a9=24. 答案:B 2.设数列{an}是等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( A.S6<S5 B.S4=S5 C.S4<S5 D.S6=S5 解析:由条件知?
? ?a1+d=-6, ?a1+7d=6. ?

)

解得?

? ?a1=-8, ?d=2. ?

∴an=2n-10, ∴n=5 时,an=0,∴S4=S5. 答案:B 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 解析:由等差数列前 n 项和的性质,得 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 成等差数列, 即 2(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)+(a7+a8+a9),2(S6-S3)=S3+(a7+a8+a9),即 2×(36-9) =9+a7+a8+a9,解得 a7+a8+a9=45. 答案:B 4.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 005+a2 006>0,a2 005·a2 006<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立 的最大自然数 n 是( ) A.4 009 B.4 010 C.4 011 D.4 012 解析:∵a1+a4 010=a2 005+a2 006>0,∴S4 010>0. 又∵a1>0>a2 005+a2 006>0,且 a2 005·a2 006<0, ∴a2 006<0,∴S4 011=4 011·a2 006<0. 答案:B * 5.等差数列{an}中,首项 a1>0,公差 d≠0,前 n 项和为 Sn(n∈N ).有下列命题 ①若 S3=S11,则必有 S14=0;②若 S3=S11,则必有 S7 是 Sn 中最大的项;③若 S7>S8,则必 有 S8>S9;④若 S7>S8,则必有 S6>S9;其中正确的命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:S11-S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0,根据等差数列的性质,S11-S3=4(a7 14?a1+a14? +a8)=0,所以 a7+a8=0,S14= =7(a7+a8)=0,根据等差数列 Sn 的图象,当 S3 2 3+11 =S11,那么对称轴是 n= =7,那么 S7 是最大值;若 S7>S8,则 a8<0,那么 d<0,所以 a9<0, 2 所以 S9-S8<0,即 S8>S9;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即 S6>S9. 答案:D 6. 在等差数列{an}中, a1=-2 014, 其前 n 项和为 Sn, 若 A.-2 011 B.-2 012 C.-2 013 D.-2 014

S14 S12
14

- =2, 则 S2 014 的值等于( 12

)

-1-

- =2, 14 12 14?a1+a14? 12?a1+a12? 2 2 ∴ - =2, 14 12 故 a14-a12=4,∴2d=4,d=2. 2 014×?2 014-1? ∴S2 014=2 014a1+ ×2=-2 014. 2 答案:D 7.在等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,a5=3a7,前 n 项和为 Sn,若 Sn 取得最大值,则 n =________. 解析:在等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0. ∵a5=3a7,∴a1+4d=3(a1+6d), ∴a1=-7d, n?n-1? d 2 ∴Sn=n(-7d)+ d= (n -15n), 2 2 ∴n=7 或 8 时,Sn 取得最大值. 答案:7 或 8 2 8.若数列{an}的前 n 项和是 Sn=n -4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=________. 2 解析:当 n=1 时,a1=S1=1-4+2=-1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -4n+2-[(n- 2 1) -4(n-1)+2]=2n-5,所以前两项有负数,且 a2=-1.故|a1|+|a2|+…+|a10|=S10+ 2 2(|a1|+|a2|)=10 -4×10+2+2×(1+1)=66. 答案:66 9.已知等差数列{an},且满足 an=40-4n,前多少项的和最大,最大值为多少? 解:方法一:(二次函数法)∵an=40-4n, ∴a1=40-4=36, ?a1+an?n 36+40-4n 2 ∴Sn= = ·n=-2n +38n 2 2 2 ? 2 ?19?2? 19 =-2?n -19n+? ? ?+ ? ?2?? 2 2 ? 19?2 19 =-2?n- ? + . 2? 2 ? 19 19 * 令 n- =0,则 n= =9.5,且 n∈N , 2 2 ∴当 n=9 或 n=10 时,Sn 最大, 19?2 192 ? ∴Sn 的最大值为 S9=S10=-2?10- ? + =180. 2? 2 ? 方法二:(图象法)∵an=40-4n,∴a1=40-4=36, a2=40-4×2=32,∴d=32-36=-4, n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ d=36n+ ·(-4) 2 2 2 =-2n +38n, 2 点(n,Sn)在二次函数 y=-2x +38x 的图象上,Sn 有最大值,其对称轴方程为 x=- 38 19 = =9.5, 2×?-2? 2 ∴当 n=10 或 n=9 时,Sn 最大. 2 ∴Sn 的最大值为 S9=S10=-2×10 +38×10=180. 方法三:(通项法)∵an=40-4n, ∴a1=40-4=36,a2=40-4×2=32, ∴d=32-36=-4<0,数列{an}为递减数列.
-2-

解析:∵

S14 S12

令? ∴?

?an≥0, ? ?an+1≤0, ? ? ?n≤10, ?n≥9, ?

?40-4n≥0, ? 有? ?40-4?n+1?≤0, ?

即 9≤n≤10.

∴当 n=9 或 n=10 时,Sn 最大. a1+a10 36+0 ∴Sn 的最大值为 S9=S10= ×10= ×10=180. 2 2 3 2 205 10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n + n,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 2 2 3 205 2 解:a1=S1=- ×1 + ×1=101, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-3n+104, * ∵n=1 也适合上式,∴数列{an}的通项公式为 an=-3n+104(n∈N ). 2 由 an=-3n+104≥0,得 n≤34 ,即当 n≤34 时,an>0;当 n≥35 时,an<0. 3 3 2 205 当 n≤34 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=- n + n, 2 2 当 n≥35 时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn 205 2 ? 3 ? ? 3 2 205 ? =2?- ×34 + ×34?-?- n + n? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 3 2 205 = n - n+3 502. 2 2 3 205 ? ?-2n + 2 n ?n≤34?, 故 T =? 3 205 ? ?2n - 2 n+3 502 ?n≥35?.
2

n

)

2

B 组 能力提升 11.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误的是( ) A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 * C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N ,均有 Sn>0 * D.若对任意 n∈N ,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 d? 1 d 2 ? 解析:设{an}的首项为 a1,则 Sn=na1+ n(n-1)d= n +?a1- ?n.由二次函数的性质知 2? 2 2 ? Sn 有最大值时,则 d<0,故选项 A,B 正确;因为{Sn}为递增数列,则 d>0.不妨设 a1=-1,d * =2, 显然{Sn}是递增数列, 但 S1=-1<0, 故 C 错误; 对任意 n∈N , Sn 均大于 0 时, a1>0,d>0, {Sn}必是递增数列,D 正确. 答案:C 12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3,
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∴d=am+1-am=1. m?a1+am? m?a1+2? 又 Sm= = =0, 2 2 ∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5. 答案:C 13.已知一次函数 f(x)=x+8-2n. (1)设函数 y=f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标构成数列{an}, 求证: 数列{an}是等差数列; (2)设函数 y=f(x)的图象与 y 轴的交点到 x 轴的距离构成数列{bn}, 求数列{bn}的前 n 项 和 Sn. 解:(1)证明:由题意,得 an=8-2n. ∵an+1-an=8-2(n+1)-8+2n=-2, ∴数列{an}为等差数列. (2)由题意,得 bn=|8-2n|. ∵b1=6,b2=4,b3=2,b4=0,b5=2, ∴此数列前 4 项是首项为 6,公差为-2 的等差数列, 从第 5 项起是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. ∴当 n≤4 时, n?n-1? 2 Sn=6n+ ×(-2)=-n +7n. 2 当 n≥5 时, ?n-5??n-4? Sn=S4+(n-4)×2+ ×2 2 2 2 =12+n -7n+12=n -7n+24. 2 * ?-n +7n?n≤4,n∈N ?, ? ∴Sn=? 2 * ?n -7n+24?n≥5,n∈N ?. ? 1 n 14. 是否存在数列{an}使得 a1+2a2+3a3+…+nan= [3 (2n-1)+1]对任意正整数 n 都成 4 立?若存在这样的{an},写出它的通项公式;若不存在,请说明理由. 1 n-1 解:假设存在这样的{an},则 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1= [3 (2n-3)+1], 4 1 n 1 ∴nan=(a1+2a2+3a3+…+nan)-[a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1]= [3 (2n-1)+1]- 4 4 n-1 n-1 [3 (2n-3)+1]=n3 . n-1 故存在这样的{an},其通项公式为 an=3 .

-4-


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