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高二数学排列与组合复习


小结与复习(1)

教学目的

1、知识目标:使学生深刻理解两个基本原理, 掌握排列组合的定义以及排列数与组合数公式, 组合的两个性质,认识知识间的区别与内在联系。 2、能力目标:提高学生综合运用概念和知识 分析问题和解决问题的能力,加强分类讨论、化 归、模型化、集合与对应等思想方法的培养。

3、情感目标:会用排列与组合的知识及其
两个基本原理理解实际生活中的某些问题,从

量变的角度分析其内在规律,培养探索精神,
养成独立思考的学习品质。

重点难点分析

1、重点:两个基本原理的理解和运用,排列 与组合的定义及排列与组合的区别与联系,总结 和掌握排列与组合应用题的思想方法。 2、难点:在解排列与组合应用题时,能做到 “不重”、“不漏”,对题设中“有且仅有”、 “至多”、“至少”、“全是”、“不全是”等 词语确切含义的理解,掌握解排列与组合综合应 用题的处理模式。

教学设计

知识结构表:

计 数 原 理

分步计数原理

分类计数原理
排列 组合 M个元素不完全相同 是不同组合;元素相 同,排列顺序不同是 同一组合,仅与取法 有关。
m m m Cn ? An / Am

相同点
排 列 与 组 合 联 系 与 区 别

都是从n个元素中任取m(m≤n)个元素 M个元素不完全相 同是不同排列;元 素完全相同,顺序 不同是不同排列, 与取法和顺序有关

不同点

联系 计数公式 性质

A ?C ?A
m n m n

m n! An ? n ? ( n ? 1) ? ? ? ( n ? m ? 1) C m ? n m! ( n ? m )! n! ? m n? m ( n ? m )! Cn ? Cn

m m

m An ?

n! ( n ? m )!

m m m ?1 Cn ? C ? C (m ? n) ?1 n n

例题讲解 例1、分析解答如下问题: (1)4封信投入3个信箱,不同的投信方法有 多少种? (2)在所有两位数中,个位数大于十位数字 的有多少个? 解:(1)需分4个步骤完成,依次把每一封信 投入信箱有3种方法,据分步计数原理共有:
4 (种)方法。 3? 3? 3? 3 ? 3

(2)在所有两位数中,个位数大于十位数字的 有多少个? 解:(2)应分类计算:按十位数字是1,2,3· · · · · · 7,8共分成8类,满足条件的两位数分别有8、7、 6、5、4、3、2、1个。据分类计数原理共有: 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)。 题后小结:深刻理解和正确运用两个基本原理

是学好排列组合的先决条件。

例2、分析如下问题,指出哪个属于排列问题,哪 个属于组合问题?并计算结果。 (1)10个人之间两两通一次,共要写多少封信? (2)10个人之间两两通电话一次,共要通多少 电话? 解:(1)10人之间想到通信与顺序有关,属排 2 列问题,故共写 A10 (封)信。 ? 10? 9 ? 90 (2)10人之间通话与顺序无关,是组合问题, 10? 9 2 ? 45 故共通 C10 ? (次)话。
2?1

题后小结:“有序”与“无序”是区别排列与组 合的依据。

例3、求不同坐法的种数。 (1)6男2女坐成一排,2女不得相邻; (2)5男3女坐成一排,3女不得相邻; (3)4男4女坐成一排,男女相间。 (1)解法1:先用“粘合法”,把2女粘合成一 2 2 个元素,得2女相邻的坐未能有 种,再用排 A7 A2 8 7 2 6 2 除法,得2女不相邻的坐法有 (种)。 A8 ? A7 A2 ? A6 ? A7 解法2:采用“插空法”,6男先坐定,然后从7 6 2 2 6 2 个空位中选两个位子排女,故共有 A6 ? C7 A2 ? A6 ? A7 种。

(2)5男3女坐成一排,3女不得相邻; (2)解法1: 采用“插空法”,5男先坐定,然后 从6个空位中选3个位子排女,故共有 5 3 3 5 3 A5 ? C6 ? A3 ? A5 ? A6 种。

解法2:采用“粘合法”与“排除法”,如果把 6 3 A6 ? A3 3女粘成一个元素,得3女相邻的坐法有 2 C3 (种),2女相邻的情况有 (种),再把取出的 2 5 2 2 2女粘合,用间隔法有 (种),故3 C3 ? A5 ? A6 ? A2 8 6 3 2 5 2 2 女都不相邻的共有 A8 ? A6 ? A3 ? C3 ? A5 ? A6 ? A2 ? 14400 (种).

(3)4男4女坐成一排,男女相间。 (3)解:男坐奇数位,女坐偶数位,然后对调, 4 4 4 4 4 2 共有: A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 2( A4 ) (种 )。 题后小结:处理间隔排列问题可用粘合法、结 合排除法,另可采用间隔法,尤其应注意避免 “重复”和“遗漏”,另应注意某些特定词语 的含义。(如本例中都不相邻的反面不是不都 相邻)

例4、有9名翻译人员,其中有4人只会英语,3人 只会日语,2人既会英语又会日语,要从9人中选 出一个由3名会英语与3名会日语的6人翻译小组, 问有多少种挑选方法? 分析:

A
只会日 语3

A? B
既会日语 又会英语 2

B
只会英 语4

解:以挑选既会英语又会日语的两译人员作为分 类标准,可分为三类: 2 3 1 (1)这两人都做日语翻译:有 C2 种。 ? C4 ? C3 1 2 3 (2)从中抽1人做日语翻译:有C2 种。 ? C3 ? C5 0 3 3 ? C3 ? C6 (3)从中抽0人做日语翻译:有C2 种。 由分在计数原理,总共抽调方法有:
2 3 1 1 2 3 0 3 3 C2 ? C4 ? C3 ? C2 ? C3 ? C5 ? C2 ? C3 ? C6 (种).

题后小结:当所求问题较复杂时,可考虑分类讨

论法,分类讨论时,可考虑结合图形法确定一个
分类标准。

例5、已知i,m,n是正整数,且1≤i≤m≤n, 证明 i i i ① ni Am ? m An . 证明:?m ? n n?k m?k ? ∴ 对整数 k ? 1, 2, ? ? ?, i ? 1, 有 n m
m m ?1 m ? i ?1 又∵ A / m ? ? ① ????? m m m n n?1 n? i ?1 i i An / n ? ? ????? ② n n n i i i i 比较①②知 Am / m i ? An / ni , 即 ni Am ? m i An .
i m i

题后小结:这是2001年全国高考题,对于排列组 合计数公式性质要熟练掌握,灵活运用。

课堂小结 解排列组合题应注意如下几点: (1)分析:题中条件和结论,谁是“元素”,谁 是“位置”; (2)分辨:是排列还是组合; (3)分类:考虑互斥各类,必要时可结合图形, 用分类计数原理求结果; (4)分步:确定事件,把问题化为相互关联的步 骤,用分步计数原理求结果; (5)重视排列与组合数的阶乘表示。

课堂练习 1、数集A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},求 从A到B的映射一共可构成多少个? 2、4男5女坐成一排,求排法总数: (1)男女各在一边; (2)男女必须相间。 3、有红、黄、绿三种颜色的卡片,每色分别写 上字母A、B、C、C、E各一张,现从中取5张, 要求字母不相同,三色齐备,共有多少种取法? 4、例5中②求证:(1 ? m)n ? (1 ? n)m .

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