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河南省扶沟县包屯高级中学2015-2016学年高二数学上学期第二次段考(期中)试题


包屯高中 2015-2016 学年度上期高二期中 数学试卷
一、选择题(每小题 5 分共 60 分) 1.在等差数列{an}中,若 a3 ? 2, a5 ? 8, ,则 a9 等于 ( A.16 2.不等式 B.18 C.20 D.22 )

1 ? 3 等价于 x 1 A. 0 ? x ? 3

B. x ?

1 或x ? 0 3

C. x ?
x

1 3
y

D. x ? 0

3.已知点 P( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 1 上运动,则 2 ? 4 的最小值是 A. 2 B.2 C.2 2 D.4 2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 共焦点,而与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为 4.与曲线 24 49 36 64 x2 y2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 16 9 16 9 9 16 9 16
5.已知命题 p : ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0, 则?p 是 A. ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 C. ?x ? R,2x 2 ? 1 ? 0 B. ?x ? R,2x 2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R,2x 2 ? 1 ? 0 ( )

6. 若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列, c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10, 则 a 等于 A.4 7.若 B.2 C.-2 D.-4

1 1 b a ? ? 0, ,则下列不等式(1)a ? b ? ab ,(2) a ? b ,(3)a ? b ,(4) ? ? 2 a b a b
C.3 个 D.4 个

中,正确的有( ) A.1 个 B.2 个

8、在 ?ABC 中, A ? 60?, AB ? 2, 且 S?ABC ? A. 3 B.3 C. 7

3 ,则 BC=( 2
D.7

)

9、设 p : x ? ?1或x ? 1 ; A.充分不必要条件 C.充要条件

q : x ? ?2或x ? 1 ,则 ?p是?q 的(
B.必要不充分条件 D.既充分也不必要条件



-1-

10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线 的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是( A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) ) )

x2 y2 a b

11.若方程 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根,则 a 的取值范围是( A. a ≤ 1 B. a ? 1 C. 0 ? a ≤ 1

D. 0 ? a ≤ 1 或 a ? 0

12.已知 F1、F2 的椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,M 为椭圆上一点,MF1 垂直于 x 轴, a2 b2
( )

且 ?F 1MF2 ? 60?, 则椭圆的离心率为 A.

3 3

B.

3 2

C.

1 2

D.

2 2

二.填空题,20 分 13. 双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 16 的焦点坐标是_________________.

a ? a3 ? a9 14. 设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0,又 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 1 ? a2 ? a4 ? a10
15. .在 ?ABC 中,若

?

3b ? c cos A ? a cosC ,则 cos A ?

?

.

16.有下列命题:①双曲线
2

1 x2 y2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点;②“- <x<0”是 25 9 35 2

“2x -5x-3<0”必要不充分条件;③若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行;④等轴双曲 线的离心率是
2 ;⑤ ?x ? R , x ? 3x ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

其中是真命题的有:_

___.

三、解答题 17(10)在⊿ABC 中,已知 c ? 3, b ? 1, B ? 300 . (1)求出角 C 和 A ; (2)求⊿ABC 的面积 S.

-2-

18(12)已知 f ( x) ? ?3x 2 ? m(6 ? m) x ? 6 (Ⅰ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? n 的解集为 ? ?1,3? , 求实数 m, n 的值; (Ⅱ)解关于 m 的不等式 f (1) ? 0 .

19、 (12)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子 棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元, 每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少,能使利润总额最大?

2 2 20. (12)已知命题 p :c < c ,和命题 q :?x ? R,x ? 4cx ? 1 ? 0 且 p ? q 为真, p ? q 为

假,求实数 c 的取值范围。

21





12











{an } 的前n项和为 S n , 且有a1 ? 2,3S n ? 5an ? an?1 ? 3S n?1 (n ? 2).

(Ⅰ)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? (2n ? 1)an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

22.(15) 已知椭圆的两焦点为 F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) ,离心率 e ?

3 。 2
-3-

(Ⅰ)求此椭圆的方程。

x ? m 与此椭圆交于 P,Q 两点,且 PQ 的长等于椭圆的短轴长,求 m 的值。 2 x (Ⅲ)若直线 y ? ? m 与此椭圆交于 M,N 两点,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程 2
(Ⅱ)设直线 y ?

-4-

-------------------------------------------------------------------------__________班级,姓名 ______________考号

17、(10 分) 在⊿ABC 中,已知 c ? 3, b ? 1, B ? 300 . (1)求出角 C 和 A ; (2)求⊿ABC 的面积 S. (1) ---------------------------------------线---------------------------------

(2) ------------------------------------------------

_________________

18、(12 分) 已知 f ( x) ? ?3x ? m(6 ? m) x ? 6
2

(Ⅰ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? n 的解集为 ? ?1,3? , 求实数 m, n 的值;

(Ⅱ)解关于 m 的不等式 f (1) ? 0 .



-----------------------------------

二、填空题(每小题 5 分共 20 分) 13、__ _________ 14、_______________ 15、______________ 16、_______________



包屯高中(数学答题卷)

-5-

19、(12 分) 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级 子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不 超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少,能使利润总额最大?

2 2 20. (本小题满分 12 分) 已知命题 p :c < c ,和命题 q :?x ? R,x ? 4cx ? 1 ? 0 且 p ? q

为真, p ? q 为假,求实数 c 的取值范围。

-6-

21



(12

)









{an } 的前n项和为 S n , 且有a1 ? 2,3S n ? 5an ? an?1 ? 3S n?1 (n ? 2).

(Ⅰ)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? (2n ? 1)an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

22.(本小题满分 15 分) 已知椭圆的两焦点为 F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求此椭圆的方程。

3 。 2

x ? m 与此椭圆交于 P,Q 两点,且 PQ 的长等于椭圆的短轴长,求 m 的值。 2 x (Ⅲ)若直线 y ? ? m 与此椭圆交于 M,N 两点,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程 2
(Ⅱ)设直线 y ?

-7-

-8-

高二数学答案 一、选择题(每小题 5 分共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 D 6 D 7 B 8 A 9 A 10 C 11 A 12 A

17 (1)?

sin C c 3 ? , sin C ? ??????????????????3 分 sin B b 2

? c ? b, C ? B,?C ? 600 , 此时A ? 900 , 或者C ? 1200 , 此时A ? 300 ???6 分
(2)S=0.5bcsinA=

3 3 ??? , 2 4

18 (Ⅰ)? f ( x) ? n ?3x2 ? m(6 ? m) x ? n ? 6 ? 0

? ?1,3 是方程 3x2 ? m(6 ? m) x ? n ? 6 ? 0 的两根

m(6 ? m) ? 2? ? ? 3 ? ?? ?m ? 3 ? 3 ?? n ? 6 ??3 ? ? ? n ? ?3 ? 3 ?

???6 分

(Ⅱ)由已知 f (1) ? ?m2 ? 6m ? 3??m2 ? 6m ? 3 ? 0? m2 ? 6m ? 3 ? 0

?3 ? 2 3 ? m或m ? 3 ? 2 3
? 不等式 f (1) ? 0 的解集为: {m | 3 ? 2 3 ? m或m ? 3 ? 2 3}

19 分析:将已知数据列成下表: 消耗量 资源 产品 甲种棉纱 乙种棉纱 资源限额
-9-

(1 吨) 一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利 润(元) 2 1 600

(1 吨) 1 2 900

(吨) 300 250

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元, ?2 x ? y ? 300 ? 那么 ? x ? 2 y ? 250 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

y

2x+y=300

z=600x+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平 移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大, 此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组
50 50 x+2y=250 x

?2 x ? y ? 300,得 M 的坐标为 x= 350 ≈117,y= 200 ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大. 20 解:由不等式 c2 < c ,得 0 ? c ? 1 , 即命题 p : 0 ? c ? 1 , 所以命题 ? p : c ? 0 或 c ? 1 , 又由 (4c) ? 4 ? 0 ,得 ?
2

1 1 ?c? , 2 2

1 1 ?c? 2 2 1 1 所以命题 ? q : c ? ? 或 c ? , 2 2 由题知: p 和 q 必有一个为真一个为假。 1 当 p 真 q 假时: ? c ? 1 2 1 当 q 真 p 假时: ? ? c ? 0 2 1 1 故 c 的取值范围是: ? ? c ? 0 或 ? c ? 1 。 2 2
得命题 q : ? 21 (Ⅰ) 3S n ? 3S n?1 ? 5an ? an?1

(n ? 2) ????????2 分

? 2an ? an?1 ,

an 1 ? ??????????????????????3 分 an?1 2
- 10 -

又? a1 ? 2 ,

?{a n }是以2为首项公比为

1 的等比数列 . ????????????4 分 2

1 1 ? a n ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 2? n ????????5 分 2 2
(Ⅱ) bn ? (2n ? 1)22?n

Tn ? 1? 21 ? 3 ? 20 ? 5 ? 2?1 ? ? (2n ? 1) ? 22?n ??????????7 分
1 Tn ? 1 ? 2 0 ? 3 ? 2 ?1 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 2? n ? (2n ? 1) ? 21? n ????????8 分 2 1 ? Tn ? 2 ? 2(2 0 ? 2 ?1 ? ? ? 2 2? n ) ? (2n ? 1) ? 21? n ????????9 分 2

? 2?

2[1 ? (2 ?1 ) n ?1 ] ? (2n ? 1)21?n 1 ? 2 ?1

? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n ??????
22 .解: (Ⅰ )

c? 3
c 3 ? ? a 2

c? 3
a?2

所以,椭圆的方程为:

x2 ? y 2 ? 1。 4



y?

x2 ? y2 ? 1 联立消去 y 4 x

2

?m

(Ⅱ
2 2 得到关于 x 的方程: x ? 2mx ? 2m ? 2 ? 0

由△ ? 4m ? 4(2m ? 2) ? 0
2 2

2 解得: m ? 2

设 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y2 )

x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 2
5 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2

PQ ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?

- 11 -

?

5 8 ? 4m2 ? 5 2 ? m2 ? 2 2

所以: m ? ?

30 5

(Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,MN 的中点为 P ( x, y )

x12 ? 4y12 ? 4 x 2 ? 4y 2 ? 4
2 2

两式相减得 (x1 +x 2)+4(y 1 +y2) 1

y -y2 ?0 x1 -x 2

又 x1 +x 2 =2x,y 1 +y2 ? 2y, 1 即 x ? 2y ? 0

y -y 2 1 ? x1 -x 2 2

因为 P 在椭圆内部,可求得 ? 2 ? x ?

2
2)

所以线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 0 ( ? 2 ? x ?

- 12 -


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