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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第7节 圆锥曲线的综合问题


第八章

第七节

一、选择题 x2 y2 1.(文)(2014· 云南部分名校联考)P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦 a b → → 点,且PF1· PF2=0,若△F1PF2 的面积是 9,a+b=7,则双曲线的离心率为( 7 A. 4 C. 5 2 B. 7 2 )

5 D. 4

[答案] D → → [解析] 由PF1· PF2=0 得∠F1PF2=90° ,在△F1PF2 中有|PF1|2+|PF2|2=4c2,(|PF1|-|PF2|)2 +2|PF1||PF2|=4c2.由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=2a,且|PF1||PF2|=18,代入得 b=3,∴a=4, 5 c=5,则离心率为 . 4 x2 y2 (理)(2014· 湖北荆门调研)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 a b 点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M, 若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1, 2) C.( 3,2) [答案] D b b [解析] 过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线 y=- (x-c),与 y= x 联立,解得 a a c bc c bc M( , ).由点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,得( )2+( )2>c2, 2 2a 2 2a b2 ∴1+ 2>4,∴e= a b2 1+ 2>2. a ) B.( 2, 3) D.(2,+∞)

x2 y2 2.(2014· 北京石景山统一测试)已知动点 P(x,y)在椭圆 C: + =1 上,F 为椭圆 C 的 25 16 → → → → 右焦点,若点 M 满足|MF|=1 且MP· MF=0,则|PM|的最小值为( A. 3 12 C. 5 [答案] A
-1-

)

B .3 D.1

x2 y2 [解析] 在椭圆 C: + =1 中,a=5,b=4,c=3, 25 16 M 在以 F 为圆心,1 为半径的圆上,PM 为圆的切线,所以 PF 最小时,切线长最小.设 P(x0,y0),
2 则|PM|2=|PF|2-1=(x0-3)2+y0 -1

16x2 0 =(x0-3)2+16- -1 25 = 9 2 9 25 x -6x0+24= (x0- )2-1, 25 0 25 3

∵-5≤x0≤5, ∴当 x0=5 时,|PM|2 取到最小值 3, ∴|PM|min= 3.. 3.(文)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物线在第一、四 |AF| 象限分别交于 A、B 两点,则 的值为( |BF| A.5 C .3 [答案] C p y p [解析] 由题意设直线 l 的方程为 y= 3(x- ),即 x= + ,代入抛物线方程 y2=2px 2 3 2 中,整理得 3y2-2py- 3p2=0,设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 yA= 3p,yB=- yA =| |=3. yB x2 (理)已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y2 a =1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( 1 A. 25 1 C. 5 [答案] B [解析] ∵M(1,m)到焦点距离为 5,∴M 到准线距离为 5, p 又 xM=1,∴ =4,∴p=8,∴y2=16x, 2
-2-

) B .4 D.2

3 |AF| p,所以 3 |BF|

)

1 B. 9 1 D. 3

当 x=1 时,y=± 4,∵m>0,∴m=4,即 M(1,4), 双曲线左顶点 A(- a,0),∴kMA= 又双曲线的一条渐近线方程为 y= 4 1 1 由题意知 = ,∴a= . 9 a 1+ a 4.(2014· 辽宁省协作校三模)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且∠AFB |MM′| 2 = π,弦 AB 中点 M 在准线 l 上的射影为 M′,则 的最大值为( 3 |AB| 4 3 A. 3 2 3 C. 3 [答案] B [解析] 如图,由抛物线定义及条件知, B. 3 3 ) , 1+ a 4

1 x, a

D. 3

1 1 |MM′|= (AA′+BB′)= (|AF|+|BF|). 2 2 |AF|+|BF| 2 ? ? 2 |MM′| 2 ∴( )= 2 |AB| |AB| 1 ?|AF|2+|BF|2+2|AF|· |BF|? 4 |AF|2+|BF|2+|AF|· |BF|



1 |AF|· |BF| = (1+ ) 2 2 4 |AF| +|BF| +|AF|· |BF| 1 |AF||BF| 1 ≤ (1+ )= , 4 3|AF|· |BF| 3 |MM′| 3 ∴ ≤ ,等号成立时,|AF|=|BF|. AB| 3
-3-

x2 y2 3 5. (文)(2013· 唐山一中、 湖南师大附中月考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 x2 y2 双曲线 - =1 的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则 2 2 椭圆的方程为( x y A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 [答案] D x2 y2 [解析] 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 2 2 由 e= 3 可得 a=2b, 2
2 2

) x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5

x2 y2 ∴椭圆方程为 2+ 2=1, 4b b 而渐近线 y=± x 与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形, 设在第一象限的小正方形边 长为 m,则 m2=4?m=2,从而点(2,2)在椭圆上, 22 22 即: 2+ 2=1?b2=5,于是 a2=20, 4b b x2 y2 椭圆方程为 + =1,应选 D. 20 5 x2 y2 (理)(2015· 浙江桐乡四校联考)点 P 是双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与圆 C2:x2+y2=a2 a b +b2 的一个交点,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,其中 F1、F2 分别为双曲线 C1 的左右焦点,则双曲 线 C1 的离心率为( A. 3+1 C. 5+1 2 ) B. 3+1 2

D. 5-1

[答案] A [解析] ∵a2+b2=c2,∴⊙C2 以 F1F2 为直径, ∴PF1⊥PF2, ∵∠PF2F1=2∠PF1F2,∴∠PF1F2=30° , ∴|PF2|=c,|PF1|= 3c, 由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a,∴ 3c-c=2a,
-4-

c ∴e= = 3+1. a x2 y2 6.(2014· 广东汕头一模)已知椭圆 + =1 上有一点 P,F1,F2 是椭圆的左、右焦点,若 4 2 △F1PF2 为直角三角形,则这样的点 P 有( A.3 个 C .6 个 [答案] C [解析] 当∠PF1F2 为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点 P 有 2 个;同理,当∠PF2F1 为直角时,这样的点 P 有 2 个;当 P 点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2 最大,且为直角,此时 这样的点 P 有 2 个.故符合要求的点 P 有 6 个. 二、填空题 x2 y2 7.(文)(2013· 唐山一中月考)已知双曲线 2- 2=1(a,b>0)的右焦点 F,若过 F 且倾斜角 a b 为 60° 的直线 l 与双曲线的右支有且只有 1 个交点,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 ________. [答案] [2,+∞) c2-a2 b [解析] 由条件知 ≥tan60° = 3,∴ 2 ≥3, a a ∴e≥2. x2 y2 (理)已知过双曲线 2- 2=1 右焦点且倾斜角为 45° 的直线与双曲线右支有两个交点, 则双 a b 曲线的离心率 e 的取值范围是________. [答案] (1, 2) c2-a2 b c2 [解析] 由条件知,渐近线的倾斜角小于 45° ,即 <1,∴ 2 <1,∴ 2<2, a a a 即 e2<2,∵e>1,∴1<e< 2. 8.已知以 F1(-2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共点, 则椭圆的长轴长为________. [答案] 2 7 y2 [解析] 根据题意设椭圆方程为 2 + 2=1(b>0),则将 x=- 3y-4 代入椭圆方程得, b +4 b 4(b2+1)y2+8 3b2y-b4+12b2=0,
-5-

) B .4 个 D.8 个

x2

∵椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共点, ∴Δ=(8 3b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0, 即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3, 长轴长为 2 b2+4=2 7.

x2 y2 9.(2014· 山东文)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x2= a b 2py(p>0)的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近 线方程为________. [答案] y=± x p p2 [解析] 抛物线 x2=2py 的准线方程为 y=- ,与双曲线的方程联立得 x2=a2(1+ 2),根 2 4b p2 据已知得 a2(1+ 2)=c2 4b p2 ①.由|AF|=c,得 +a2=c2 4 ②.由①②可得 a2=b2,即 a=b,所以

所求双曲线的渐近线方程是 y=± x. 三、解答题 10.(文)(2014· 唐山一模)P 为圆 A:(x+1)2+y2=8 上的动点,点 B(1,0).线段 PB 的垂直 平分线与半径 PA 相交于点 M,记点 M 的轨迹为 Γ. (1)求曲线 Γ 的方程; 2 2 (2)当点 P 在第一象限,且 cos∠BAP= 时,求点 M 的坐标. 3 [解析] (1)圆 A 的圆心为 A(-1,0),半径等于 2 2. 由已知|MB|=|MP|,于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2, 故曲线 Γ 是以 A,B 为焦点,以 2 2为长轴长的椭圆,a= 2,c=1,b=1, x2 曲线 Γ 的方程为 +y2=1. 2 2 2 5 2 2 (2)由 cos∠BAP= ,|AP|=2 2,得 P( , ). 3 3 3 于是直线 AP 方程为 y= 2 (x+1). 4



? ? 2 ?y= 4 ?x+1?

x2 2 +y =1 2

7 ,解得 5x2+2x-7=0,x1=1,x2=- . 5

-6-

由于点 M 在线段 AP 上,所以点 M 坐标为(1,

2 ). 2

(理)(2013· 唐山一中月考)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l x2 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2 (1)求 k 的取值范围; → (2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B, 是否存在常数 k, 使得向量OP+ → → OQ与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. x2 [解析] (1)由已知条件,知直线 l 的方程为 y=kx+ 2,代入椭圆方程,得 +(kx+ 2)2 2 =1, 1 整理得( +k2)x2+2 2kx+1=0.① 2 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q, 1 得 Δ=8k2-4( +k2)=4k2-2>0, 2 解得 k<- 2 2 或 k> , 2 2 2 2 )∪( ,+∞). 2 2

即 k 的取值范围为(-∞,- (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

→ → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2). 4 2k 由方程①,知 x1+x2=- .② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2= .③ 1+2k2 2 2

→ 由 A( 2,0),B(0,1),得AB=(- 2,1). → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 将②③代入,解得 k= 由(1)知 k<- 2 . 2

2 2 或 k> , 2 2

故不存在符合题意的常数 k.
-7-

一、解答题 x2 y2 11.(文)(2014· 湖南岳阳一模)已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 a b → → P(- 2,1)在椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足PM+F2M=0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上任一动点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1),求 3x1-4y1 的取值 范围. [解析] (1)∵点 P(- 2,1)在椭圆上, 2 1 ∴ 2+ 2=1.① a b → → 又∵PM+F2M=0,M 在 y 轴上, ∴M 为 PF2 的中点, ∴- 2+c=0,c= 2. ∴a2-b2=2,② 联立①②,解得 b2=2(b2=-1 舍去), ∴a2=4. x2 y2 故所求椭圆 C 的方程是 + =1. 4 2 (2)∵点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1), -y ×2=-1, ?xy - x ∴? y +y x +x ? 2 =2× 2 .
0 1 0 0 1 1 0 1

4y -3x ? ?x = 5 , 解得? 3y +4x ? ?y = 5 .
0 0 1 0 0 1

∴3x1-4y1=-5x0. x2 y2 ∵点 N(x0,y0)在椭圆 C: + =1 上, 4 2
-8-

∴-2≤x0≤2, ∴-10≤-5x0≤10, 即 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10]. (理)(2014· 中原名校联考)已知 A(1,0),P 为圆 F:(x+1)2+y2=16 上任意一点,线段 AP 的 垂直平分线交半径 FP 于点 Q,当点 P 在圆上运动时. (1)求点 Q 的轨迹方程; (2)设点 D(0,1),是否存在不平行于 x 轴的直线 l 与点 Q 的轨迹交于不同的两点 M,N,使 → → → (DM+DN)· MN=0,若存在,求出直线 l 斜率的取值范围,若不存在,请说明理由. [解析] (1)依题意知:|QF|+|QA|=|PF|=4>|FA|=2,所以点 Q 的轨迹是以 F,A 为焦点的 椭圆, x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 4 3 → → → → → (2)∵条件(DM+DN)· MN=0 等价于|DM|=|DN|, ∴若存在符合条件的直线,该直线的斜率一定存在, 否则点 D(0,1)在 x 轴上,矛盾. ∴可设直线 l:y=kx+m(k≠0),

? ?y=kx+m 由?x2 y2 ? ? 4 + 3 =1

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,

由 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0 得 4k2+3>m2. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 Q(x0,y0), x1+x2 4km 3m 则 x0= =- ,y0=kx0+m= . 2 2 3+4k 3+4k2 → → 又∵|DM|=|DN|, -1 3+4k2 y0-1 1 1 ∴ =- ,即 =- ,解得:m=-3-4k2. x0 k 4km k - 2 3+4k 由 4k2+3>m2 得 4k2+3>(3+4k2)2,
-9-

3m

即 4k2<-2,这是不可能的. 故满足条件的直线不存在. 1 1 12.(文)(2013· 珠海模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 F( ,0),直线 l:x=- ,点 P 2 2 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)设圆 M 过 A(1,0), 且圆心 M 在曲线 C 上, TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, 当 M 运动时, 弦长|TS|是否为定值?请说明理由. [解析] (1)依题意知,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ⊥FP, ∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∵|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离. 点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上, ∴|PQ|=|QF|. 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为 y2=2x(x>0). (2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线 C 上点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为 d=|x0|=x0, 圆的半径 r=|MA|= 则|TS|=2 r2-d2=2 ?x0-1?2+y2 0, y2 0-2x0+1,

y2 0 因为点 M 在曲线 C 上,所以 x0= , 2 所以|TS|=2
2 y2 0-y0+1=2,是定值.

(理)(2013· 山西大学附中月考)已知抛物线 y2=4x, 过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点 C. (1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列; → → → → (2)设MA=αAC,AB=βBC,试问 α+β 是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明 理由. [解析] (1)证明:设直线 l 的方程为 y=kx+2(k≠0),

? ?y=kx+2, 联立方程? 得 k2x2+(4k-4)x+4=0.① 2 ?y =4x ?
- 10 -

2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(- ,0),则 k 4k-4 4 x1+x2=- 2 ,x1· x2= 2.② k k ∴|MA|· |MB|= 4?1+k2? 1+k |x1-0|· 1+k |x2-0|= , k2
2 2

而|MC| =(
2

4?1+k2? 2 2 1+k |- -0|) = , k k2
2

∴|MC|2=|MA|· |MB|≠0, 即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列. → → → → (2)由MA=αAC,MB=βBC得 2 2 (x1,y1-2)=α(-x1- ,-y1),(x2,y2-2)=β(-x2- ,-y2), k k -kx1 -kx2 即得 α= ,β = , kx1+2 kx2+2 -2k2x1x2-2k?x1+x2? 则 α+β= 2 . k x1x2+2k?x1+x2?+4 将②代入得 α+β=-1,故 α+β 为定值,且定值为-1. 13.(文)(2013· 东北三校联考)已知点 E(m,0)为抛物线 y2=4x 内一个定点,过 E 斜率分别 为 k1、k2 的两条直线交抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点. (1)若 m=1,k1k2=-1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2)若 k1+k2=1,求证:直线 MN 过定点.

[解析] (1)当 m=1 时,E 为抛物线 y2=4x 的焦点, 设 AB 方程为 y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).

- 11 -

? ?y=k1?x-1?, 4 由? 得 k1y2-4y-4k1=0,y1+y2= ,y1y2=-4. k1 ?y2=4x, ?
x1+x2 y1+y2 2 2 AB 中点 M( , ),∴M( 2+1, );同理,点 N(2k2 1+1,-2k1). 2 2 k1 k1 ∵k1k2=-1,∴AB⊥CD, 1 1 ∴S△EMN= |EM|· |EN|= 2 2 2 2 2 2 ? 2?2+? ?2· ?2k2 1? +?-2k1? =2 k1 k1 1 2 k1 + 2+2≥2 k1 2+2=4,

1 当且仅当 k2 1 时,△EMN 的面积取最小值 4. 1= 2,即 k1=± k1 (2)设 AB 方程为 y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?y=k1?x-m?, 4 由? 得 k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2= ,y1y2=-4m, k1 ?y2=4x, ?
x1+x2 y1+y2 2 2 AB 中点 M( , ),∴M( 2+m, ); 2 2 k1 k1 2 2 同理,点 N( 2+m, ). k2 k2 yM-yN k1k2 ∵k1+k2=1,∴kMN= = =k1k2, xM-xN k1+k2 2 2 ∴lMN:y- =k1k2[x-( 2+m)],即 y=k1k2(x-m)+2,∴直线 MN 恒过定点(m,2). k1 k1 x2 y2 1 (理)(2015· 洛阳市期中)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距 a b 2 离为 10. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. [解析] (1)∵左焦点(-c,0)到点 P(2,1)的距离为 10,∴ c 1 又 e= = ,解得 a=2,∴b2=a2-c2=3. a 2 x2 y2 ∴所求椭圆 C 的方程为: + =1. 4 3 ?2+c?2+1= 10,解得 c=1.

? ?y=kx+m, (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由?x2 y2 消去 y 得 + =1, ? ?4 3
- 12 -

(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,化为 3+4k2>m2. 4?m2-3? ∴x1+x2= ,x1x2= . 3+4k2 3+4k2 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 = 3?m2-4k2? . 3+4k2 -8mk

∵以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 D(2,0),kAD· kBD=-1, y1 y2 ∴ · =-1, x1-2 x2-2 ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, 3?m2-4k2? 4?m2-3? 16mk ∴ + + +4=0. 3+4k2 3+4k2 3+4k2 2k 化为 7m2+16mk+4k2=0,解得 m1=-2k,m2=- .且满足 3+4k2-m2>0. 7 当 m=-2k 时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0)与已知矛盾; 2k 2 2 当 m=- 时,l:y=k(x- ),直线过定点( ,0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点( ,0). 7 x2 y2 3 14.(文)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,坐标原点到直线 AB 的距离为 ,其 a b 2 中 A(0,-b),B(a,0). (1)求双曲线的标准方程; (2)设 F 是双曲线的右焦点,直线 l 过点 F 且与双曲线的右支交于不同的两点 P、Q,点 M → → → 为线段 PQ 的中点.若点 M 在直线 x=-2 上的射影为 N,满足PN· QN=0,且|PQ|=10,求直 线 l 的方程.

[解析]

? ? ab 3 (1)依题意有? = , 2 a +b ? ?a +b =c .
2 2 2 2 2

c =2, a

- 13 -

解得 a=1,b= 3,c=2. y2 所以,所求双曲线的方程为 x2- =1. 3 → (2)当直线 l⊥x 轴时,|PQ|=6,不合题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y= k(x-2). y 2 ? ?x - 3 =1?x>0?, 由? 消去 y 得, ? ?y=k?x-2?, (3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.① 因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以 3-k2≠0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则 x1、x2 是方程①的两个正根,于是有
2

? ? 4k +3 ?x x = k -3 >0, ? ?Δ=?4k ? -4?3-k ??-4k -3?>0,
2 1 2 2 2 2 2 2

4k2 x1+x2= 2 >0, k -3

所以 k2>3.② 1 → → → 因为PN· QN=0, 则 PN⊥QN, 又 M 为 PQ 的中点, |PQ|=10, 所以|PM|=|MN|=|MQ|= |PQ| 2 =5. 又|MN|=x0+2=5,∴x0=3, x1+x2 2k2 而 x0= = 2 =3,∴k2=9,解得 k=± 3. 2 k -3 ∵k=± 3 满足②式,∴k=± 3 符合题意. 所以直线 l 的方程为 y=± 3(x-2). 即 3x-y-6=0 或 3x+y-6=0. x2 (理)(2014· 天津河东区二模)已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左右焦点分别为 4 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程;
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(2)若直线 l:y=kx+ 2与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个 → → 交点 A 和 B 满足OA· OB<6(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. x2 y2 [解析] (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,则 a2=4-1=3,c2=4,再由 a2+b2=c2 得 a b b2=1. x2 故 C2 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 +y2=1 得(1+4k2)x2+8 2kx+4=0. 4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得, Δ1=128k2-16(1+4k2)=16(4k2-1)>0, 1 即 k2> .① 4 x2 将 y=kx+ 2代入 -y2=1 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 3 由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点得,
2 ? ?1-3k ≠0, ? ② ?Δ2=?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0. ?

1 即 k2≠ 且 k2<1. 3 -9 6 2k 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 xA+xB= ,xA· xB= , 2 1-3k 1-3k2 → → 由OA· OB<6 得 xAxB+yAyB<6, xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 3k2+7 6 2k =(k2+1)· + 2 k · + 2 = . 1-3k2 1-3k2 3k2-1 3k2+7 15k2-13 于是 2 <6,即 2 >0,解此不等式得, 3k -1 3k -1 13 1 k2> 或 k2< .③ 15 3
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1 1 13 由①、②、③得, <k2< 或 <k2<1. 4 3 15 故 k 的取值范围为(-1,- 13 3 1 1 3 )∪(- ,- )∪( , )∪( 15 3 2 2 3 13 ,1). 15

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