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高中数学必修一知识归纳整理


高中数学必修一知识归纳整理
集合 一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这 些对象的全体构成的集合(或集),构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或 成员)。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 Φ 。 一般地,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做 集合 B 的子集,记作 A ? B或B ? A ,

读作“A 包含于 B”,或“B 包含于 A”。 如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A ? B或B ? A ,读作“A 真包含于 B”,或“B 真包 含 A”。 一般地,如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素,反过来,集合 B 的每 一个元素也都是集合 A 的元素,那么我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B。 一般地,对于两个给定的集合 A,B,由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的 集合,叫做 A,B 的交集,记作 A ? B ,读作“A 交 B”。 一般地,对于两个给定的集合 A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫 做 A 与 B 的并集,记作 A ? B ,读作“A 并 B”。 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素构成的 集合,叫做 A 在 U 中补集,记作 CuA ,读作“A 在 U 中的补集”。

? ()元素与集合的关系:属于( ?)和不属于(?) ?1 ? ? ? 2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ?集合与元素 ( ? ? ( ? 3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? 4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ( ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注 ? ? ? ? 关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ?集合与集合 ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? 交集 ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ?并集 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ?运算 ? ? ? Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B ) - Card ( A ? B ) ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: ? (CU A) ? A ? ?, (CU A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ), ? ? ? ? ? CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ) ? ? ? ? ? ?

1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的―确定性、互异性、无序性‖。 如: 集合 A ? ?x | y ? lg x?,B ? ? y | y ? lg x?,C ? ?( x, y) | y ? lg x?,A、B、C 中元素各表示什么? 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集 ? 的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
2 ? x| a x? 如 : 集 合 A ? x| x ? 2 x? 3 ? 0, B ? ,若 B ? A ,则实数 a 的值构成的集合为 ?1

?

?

答: ??1 , 0, ?

? ?

1? 3?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3.注意下列性质: (1)集合 ?a1,a2,……,an ? 的所有子集的个数是 2 (2)若 A ? B ? A
n

B ? A,A B ? B;

4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的 解 集 为 M , 若 3 ? M 且 5 ? M , 求 实数 a 的 取 值 范 围。 x2 ? a

a ·3?5 ? ∵3 ? M ,∴ 2 ?0 ? ? ? 5? 3 ?a ? a ? ?1, ? ? ·5?5 ? 3? ?∵5 ? M ,∴ a ?0 2 ? 5 ?a ?

25 ? ? 9,

函数
函数是一种关系,在一个变化过程中,有两个变量

x 和 y,如果给定了一个 x 值,

相应地就确定唯一的一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量。 定义 设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一 个元素 x,在 B 中有且仅有一个(唯一确定)元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射。 这时, 称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象, 记作 f(x)。 于是 y=f(x), x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为:f:A→B, x→f(x).其中 A 叫做映射 f 的定义 域(函数定义域的推广),由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域,通常叫作 f(A)。 注意: 1. “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; 2. 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x。 3. 集合 A 和 B 是有先后顺序的, A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的, 其中 f 表示具体的对应法则,可以用多种形式表示。 4. “有且仅有一个(唯一确定)”意思是:一是必有一个,二是只有一个,也 就是说有且只有一个的意思。 构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域。 ? 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对 应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称 这两个函数相等(或为同一函数)。

? 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变 量和函数值的字母无关。 区间的概念 ? 区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 ? 无穷区间 ? 区间的数轴表示 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任意一个元素, 在集合 A 中有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应 关系,并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射。 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则, 这样的函数通常叫作分段函数。 函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, (1)若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; (2)若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数。 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这 一区间上的单调函数。 判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ? 任取 x1,x2 ? D,且 x1<x2; ? 作差 f(x1)-f(x2);

? 变形(通常是因式分解和配方); ? 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ? 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性)。 取值→作差→变形→定号→下结论 设函数 y=f(x)的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有-x ? D ,且 f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数。 设函数 y=f(x)的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有-x ? D ,且 f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数。 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心图形; 反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函 数是奇函数。 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之, 如果一个函数的图像关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数。

?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :? B为从集合A到集合B的一个映射 ? ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? 按照某个对应关系f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么y 就是x的函数。记作y ? f ( x ?定义 ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示 ?函数的三要素 ?值域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函数的表示方法 ?列表法 ? ? ?图象法 ? ? ?传统定义:在区间? a ,b ?上,若a ? x1? x2 ?b ,如f ( x1 )? f ( x2 ),则f ( x ) 在? a ,b ?上递增, ?a ,b ?是 ? ? ? 递增区间;如f ( x1 ) ? f ( x2 ),则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ?单调性?导数定义:在区间 a ,b 上,若f ( x )?0,则f ( x ) 在 a ,b 上递增, a ,b 是递增区间;如f ( x )?0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, ? a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? M ; ? 函数 ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? M。则称M 是函数y ? f ( x )的最大值 函数的基本性质 ?最值? ?最小值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数 ? N 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? N; ? ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? N。则称N 是函数y ? f ( x )的最小值 ? ? ? ? ? ?(1) f ( ? x ) ?? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ?奇偶性?( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 ? ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ?周期性:在函数f ( x )的定义域上恒有f ( x ?T )? f ( x )( T ? 0的常数 ) 则f ( x ) 叫做周期函数,T 为周期; ? ? T的最小正值叫做f ( x )的最小正周期,简称周期 ? ? ? ( ? 1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ?向左平移? 个单位:y1? y , x1? a ? x? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向右平移a个单位:y ? y , x ? a ? x? y ? f ( x ? a ) ? ?平移变换?向上平移b个单位:x1? x , y1?b ? y? y ?b ? f ( x ) 1 1 ? ? ? ? ? ? ?向下平移b个单位:x1? x , y1?b ? y ? y ?b ? f ( x ) ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当 0? w?1时) ? ? ? ? 到原来的1 / w倍(纵坐标不变),即x1? wx? y ? f ( wx ) 伸缩变换 ? ? ?纵坐标变换:把各点的纵坐标y 伸长(A?1) 或缩短( 0? A?1) 到原来的A倍 1 ? ? ? ?函数图象的画法 ? (横坐标不变), 即y1? y / A? y ? f ( x ) ? ? ? ? ( ? x ? x1?2 x0 x ?2 x0 ? x ? 2)变换法? ? 1 ?2 y0 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ?关于点 ( x0 , y0 ) 对称: ? ? y ? y1? 2 y0 ? y1? 2 y0 ? y ? ? ? x ? x1?2 x0 x ? 2 x0 ? x ?关于直线x ? x0对称: ? ? ?? 1 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? y ? y1 y1? y ?对称变换? ? ? x ? x1 x ?x ? ? ?关于直线y ? y0对称: ? 1 ? 2 y0 ? y ? f ( x ) ? ? ? ? y1? y ? 2 y0 ? y1? 2 y0 ? y ? ? ? ? x1 ? ? 关于直线y ? x对称: ? y ? f ?1 ( x ) ?xy? ? ? ? y1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零; 2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零;

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; 5、三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ? (k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x 中;
2

?

6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其 取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、 配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单 调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f (x), g( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为 增(减)函数 2、若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3、若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x) 与 g ( x) 的单调 性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等 式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是

奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数, 那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数 f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则 f ( x) 可 以 表 示 为
1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] 2 2 ,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶

函数的和。 函数 y=kx+b(k ? 0)叫做一次函数,它的定义域为 R,值域为 R。 一次函数 y=kx+b(k ? 0)的图象是直线,以后简写为直线 y=kx+b,其中 k 叫 做该直线的斜率,b 叫做该直线在 y 轴上的截距。 一次函数又叫做线性函数。 函数 y=ax2+bx+c(a ? 0)叫做二次函数,它的定义域是 R。 函数的应用

? ? ?零点:对于函数y ? f(x), 我们把使f ( x ) ? 0的实数x叫做函数y ? f ( x )的零点。 ? ? ?定理:如果函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f ( a ) ? f ( b ) ? 0, ? ?零点与根的关系 ? 那么,函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在c ? ( a , b ), 使得f ( c ) ? 0, 这个c也是方 ? ? ? 程f ( x ) ? 0的根。(反之不成立) ? ? ?关系:方程f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数y ? f ( x ) 有零点 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证f ( a ) ? f ( b ) ? 0, 给定精确度? ; ?函数与方程 ? ?( 2 ) 求区间( a , b )的中点c ; ? ? 函数的应用 ? ? ?( 3) 计算f ( c ); ? ? 二分法求方程的近似解 ? ①若f ( c ) ? 0, 则c 就是函数的零点; ? c x ? ( a , b )); ? 0 ? ②若f ( a ) ? f ( c ) ? 0, 则令b ? (此时零点 ? ? ③若 f ( c ) ? f ( b ) ? 0, 则令 a ? (此时零点 c x ? ( c , b )); ? 0 ? ? ? ?( 4 ) 判断是否达到精确度? :即若 a - b ? ? , 则得到零点的近似值a ( 或b ); 否则重复 2 ? 4。 ? ? ?几类不同的增长函数模型 ?函数模型及其应用 ?用已知函数模型解决问题 ? ?建立实际问题的函数模型 ?
基本初等函数 整数指数: an 叫做 a 的 n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数。并规定 a1=a。n 必须是正 整数,所以这样的幂叫做正整指数幂。正整指数幂的运算满足如下法则:
a m ? a n ? a m?n (a m ) n ? a mn (ab) n ? a n b n am ? a m ? n ( m ? n , a ? 0) an

分数指数: 正数的分数指数幂的意义 规定:
1

a n ? n a (a ? 0)
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , 且

m 为既约分数) n

负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,同样可以定义为:

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , 且

m 为既约分数) n

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数 指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 有理数指数幂:

运算性质 (1) a r ? a r
? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) ;
(a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

(2) (a r ) s ? a rs

(3) (ab) r ? a r a s
根式的概念

一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *. 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此 时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示. 式子 n a 叫做根式(radical),这里 n 叫做根指数(radical exponent), a 叫做被 开方数(radicand). 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的 正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负 的 n 次方根可以合并成± n a ( a >0). 由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 .

表 1 定 义 域 值 域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x ?? 0, ???
y?R

y ? ? 0, ???

图 象

过定点 (0,1) 减函数 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ??) x ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)
性 质

x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??,0)

x ? (0,1)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

a?b
底数越小越接近坐标轴 表2

a?b
底数越大越接近坐标 轴

a?b
底数越小越接近坐标轴

a?b
底数越大越接近坐标轴

幂函数 y ? x? (? ? R)

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
第一象限 性质

偶函数

减函数

增函数

(0, 1) 过定点

m n a , n为根指数,a为被开方数 ? ? ? ?根式: ?n m ? ? an ? ? ? a ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r s r ? s ? 指数的运算 a a ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? ? r s ? ?指数函数 ? rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? r r s ? ? ? ?( ab) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? 对数的运算 . N ? ? ? 性质 ? ? n ? ? ? n log a M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) ?log a M ?对数函数 ? ? ? ? ? log c b ? log a b ? ( a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: ? ? log ? c a ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? 定义:一般地,函数y ? x? 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ?幂函数 ? ? ? ?性质:见表2 ?

以 10 为底的对数叫做常用对数。 换底公式: logb N ?
loga N loga b

自然对数:以 e 为底的对数叫做自然对数。 积、商、幂的对数运算法则: (1)loga(MN)=logaM+logaN loga(N1 N2 N3?Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+?+logaNk 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。 (2)loga(
M )=logaM-logaN N

即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。

(3)loga M ? = ? logaM 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。 幂函数定义:一般地,函数 y=xa 叫做幂函数,x 是自变量,a 是常数。

幂函数的性质: 1、 所有的幂函数在(0,+ ? )都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因:1x=1); 2、 在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低); 在(1,+ ? )上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴。 3、 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,值域是 否出现在第二、第三象限内,要看函数的奇偶性,幂函数的图象最多只能同 事出现在两个象限内,如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点。 4、 幂函数的定义域的求法可分五种情况,即:(1)? 为 0;(2)? 为正整数; (3) ? 为负整数;(4) ? 为正分数;(5) ? 为负分数。 5、 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,只要作出 幂函数在第一象限的图象, 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内

完整的图象。 6、 幂函数 y ? x (? ? R) 的图象主要分为以下几类:
?

(1) 当 ? =0 时,图象是过(1, 1)点平行于 x 轴但抠去(0, 1)点的一条“断” 直线; (2) 当 ? 为正偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限及原点。 (3) 当 ? 为正奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第三象限及原点。 (4) 当 ? 为负偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。 (5) 当 ? 为负奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。 7、 当 ? >0 时,幂函数 y ? x 图象一些性质:
?

(1) 图象都通过点(1,1),(0,0); (2) 在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大; (3) 在第一象限内, ? >1 时,图象是向下凸的;0< ? <1 时,图象是向上凸的。 8、 当 ? <0 时,幂函数 y ? x 图象一些性质:
?

(1) 图象都通过点(1,1); (2) 在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,图象是向下凸的。 反函数:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数 的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互 为反函数。

高中数学必修 2 知识点 数轴上的基本公式 如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移动到另一点 B,则说点在轴 上作了一次位移,点不动则说点作了零位移。位移是一个既有大小又有方向的量, 通常叫做位移向量,简称向量。

数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。 平面直角坐标系中的基本公式 1、两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2) 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 。 2、中点公式:设 A( x1 , y1 ),( ,M(x,y)是线段 AB 的中点, x ? B x2 , y2)
x1 ? x2 y ? y2 ,y ? 1 2 2

直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0° ≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线 的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? ?0? ,90? ? 时, k ? 0 ; 当 ? ? ?90? ,180? ?时, k ? 0 ; 当 ? ? 90? 时, k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式: k ? 注意下面四点: (1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

(3)直线方程的几种形式 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ?

x y ? ?1 ④截矩式: a b

其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) , 与 y 轴交于点 (0,b ) , 即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为
a, b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 注意:○ 1 各式的适用范围 ○ 2 特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数); 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系:
A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)

(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? y 0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ; (ⅱ) 过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数),其中直线 l 2 不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 时, 两直线平行的充要条件: l1 // l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; 两直线垂直的充要条件: l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 (7)两条直线的交点
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

方程组无解 ? l1 // l2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定 长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r; 特别的, 如果圆心在坐标原点, 这时 a=0, b=0, 圆的标准方程就是 x2 ? y 2 ? r 2 。 (2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E ? ,半径为 r ? 1 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ? ? 2 2?

2

D 2 ? E 2 ? 4F

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点;

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的 标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的 位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: ( 1 )设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有

d ? r ? l与C相离 ;
d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一 个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有
? ? 0 ? l与C相离 ;

? ? 0 ? l与C相切 ;
? ? 0 ? l与C相交

注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 2 去解直线与圆相切的问题, 其中 ?x0 , y0 ? 表示切点坐标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 (课本命

题 ). ② 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比 较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2
? R2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确 定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 空间直角坐标系 (1)定义:如图, OBCD ? D A B C 是单位正方体.以 A 为原点,
, , , ,

分别以 OD,OA1,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x 轴、y 轴、z 轴。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。 大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这

样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z) 来表示,有序 实数组 ( x, y, z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z ) (x 叫做 点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) 空间两点的距离公式: 空间两点 A( x1, y1, z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) 的距离公式为
d ( A, B) ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

特别地,点 A( x1, y1, z1 ) 到原点 O 的距离公式为
d (O, A) ? OA ? x 2 ? y2 ? z 2
2

立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A' B'C ' D' E ' 或用对角线的端点字母,如五棱 柱 AD
'

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形; 侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所 围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E
' ' ' ' '

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比 等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A' B 'C ' D ' E ' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④ 侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图 是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向 右)、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
S 直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ? 1 (c1 ? c2 )h' 2
'

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

S圆锥表 ? ?r?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h ??

2

r h

1 V锥 ? Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' 2 2 V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r ? rR ? R )h 3 3

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R ; S 球面 = 4? R 2
3

3

4、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在一个锐角 内); 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A? l;

直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面α 内,记作 l?α 。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在 这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线)

应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确 定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定: 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是 异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’ ∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的
B? A B ? l, P ? l

②它是证明平面重合的

角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直 角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明:(1)判定空间直线是异面直线方法: ①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 (3)求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊 的位置,顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等 或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α

a∩α =A

a∥α

(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平 面平行。

线线平行 ?线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ?线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平 行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行 →线线平行) 6、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直 线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和 这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个

半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂 直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线 垂直于另一个平面。 7、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所 成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行 的直线 a ?, b? , 形成两条相交直线, 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两 条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0? 。 规定为 90? 。 ③平面的斜线与平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。 ②平面的垂线与平面所成的角:

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2) 过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条 直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内 分别作垂直于 .. ... 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如 果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平 面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线 所成的角为二面角的平面角

高一数学必修 3 公式总结 §1 算法初步
秦九韶算法是一种将一元 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法。 一般地,一元 n 次多项式的求值需要经过[n(n+1)]/2 次乘法和 n 次加法,

而秦九韶算法只需要 n 次乘法和 n 次加法。 对于一个 n 次多项式,至多做 n 次乘法和 n 次加法 表达式如下:
an xn ? an ?1xn ?1 ? ... ? a1 ? ????an x ? an ?1 ?x ? an ?2 ?x ? ...?x ? a2 ?x ? a1
6 5 4 3 2 例题:秦九韶算法计算多项式 3x ? 4x ? 5x ? 6x ? 7 x ? 8x ? 1 , 当 x ? 0.4 时,

需要做几次加法和乘法 运算?

答案: 6 , 6

即:

?????3x ? 4?x ? 5?x ? 6?x ? 7?x ? 8?x ? 1

?

理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为

算法,其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌 的算法,空调说明书是空调使用的算法(algorithm) 1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代 码). 2. 算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出 可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。 ③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器 在一定时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度 3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等② 控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构。

?

流程图: (flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算

法及程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意:

1. 画流程图的时候一定要清晰, 用铅笔和直尺画, 要养成有开始和结束的好习惯。 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇 到判断框时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好 大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就 可以有几种书写方法了。 3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起, 一起终结到结束框。 ?算法结构: 顺序结构,
A B

选择结构,
Y A p N B

循环结构
A

A p Y N N

N

p Y

直到型循环 Ⅰ.顺序结构(sequence

当型循环

structure ):是一种最简单最基本的结构它不存在条件

判断、控制转移和重复执行的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先 后顺序执行的。 Ⅱ.选择结构(selection structure ):或者称为分支结构。其中的判断框,书写时 主要是注意临界条件的确定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语 句,不能同时执行,其中的 A,B 两语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只 是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行 其它语句。 Ⅲ.循环结构(cycle structure):它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到

型(until)和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环 体时(即不知道循环次数时)用当型循环。

?基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo

code),且是使用 BASIC 语言

编写的,是介自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用 的好方法。伪代码没有统一的格式,只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意 符号要相对统一,避免引起混淆。如:赋值语句中可以用 x ? y ,也可以用 x ? y , 表示两变量相乘时可以用“*”,也可以用“ ? ” Ⅰ. 赋值语句(assignment statement):用 ? 表示, 如: x ? y ,表示将 y 的值 赋给 x,其中 x 是一个变量,y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式。 一般格式:“ 变量 ? 表达式”,有时在伪代码的书写时也可以用“ x ? y ”,但此 时的“=”不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号。 注: 1. 赋值号左边只能是变量, 不能是常数或者表达式, 右边可以是常数或者表达式。 “= ”具有计算功能。 如:3=a,b+6=a,都是错误的,而 a=3*5–1,a=2a +3 都是正确的。 2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如:a=b=c=2,a,b,c =2 都是错误的,而 a=3 是正确的。 例题:将 x 和 y 的值交换
p?x p?x x? y x ? y 同样的如果交换三个变量 x,y,z 的值:y ? z y? p z? p

Ⅱ.输入语句(input statement):Read a,b 表示输入的数一次送给 a,b 输出语句(out statement):Print x,y 表示一次输出运算结果 x,y

注: 1.支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开! 2.Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3.Print 语句不能起赋值语句,意旨不能在 Print 语句中用“=” 4.Print 语句可以输出常量和表达式的值 5.有多个语句在一行书写时用“;”隔开 例题:当 x 等于 5 时,Print“x= ”;x 在屏幕上输出的结果是 x=5 Ⅲ.条件语句(conditional statement): 1.行 If 语句: 2.块 If 语句: 注: ①不要忘记结束语句 End 有几个 End If ②. Else If 是对上一个条件的否定, 即已经不属于上面的条件, 另外 Else If 后 面也要有 End If If ,当有 If 语句嵌套使用时,有几个 If,就必须要 If A Then B 注:没有 End If

③注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件。 ④为了使得书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下:
If Else C End If A Then B If A Then B Else If C Then D End If

例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法。
Read a , b , c If a≥b Then If a≥c Then Print a Else

Read a , b , c If a≥b and a≥c Then Print a Else If b≥c Then Print b Else

或者

Print c End If

注:1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数 Ⅳ.循环语句(cycle statement): ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N 次也是已知次数的循环 ? 当循环次数不确定时用 While 循环 ? Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.
For I From 初值 to 终值 Step 步长 … End For For 循环 While A … End While

While 循环

Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

说明: 1. While 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一 般在解决有关问题时,可以写成 While 循环,较为简单,因为它的条件相对好判 断. 2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书写

3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.

高中数学必修 4 知识点
角的概念
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?

各角和的旋转量等于各角旋转量的和。 2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴 n
*

的正半轴的上方起, 依次将各区域标上一、 二、 三、 四, 则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域。

? n

弧度制和弧度制与角度制的换算 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角。

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

l 。 r

7、弧度制与角度制的换算公式:
2? ? 360 ,
1 ?

?
180

rad ? 0.01745 rad,

? 180? ? ? 1 rad= ? ? ? 57.30 ? 57 18? ? ? ? ? 180? ? ? ? ? ?
?

?

180°= ? rad

? rad= ?

n? ? n ?

rad 180

?

8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S , 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 任意角的三角函数 三角函数的定义
9 、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是
1 2 1 2

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则
y y 叫做角 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? , r r x x 叫做角 ? 的余弦,记作 cos ? ,即 cos ? ? , r r y y 叫做角 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ? x ? 0 ? x x

?

?

还有三个函数:

角 ? 的正割:sec ? =

1 r ? ; cos ? x

角 ? 的余割:csc ? =

1 r ? ; sin ? y

角 ? 的余切:cot ? =

1 x ? ; tan? y

这就是说,sec ? ,csc,cot 分别是 ? 的余弦、正弦和正切的倒数。 一般地,我们把半径为 1 的圆叫做单位圆。

角 ? 的余弦和正弦分别等于角 ? 的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正。
11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? 12、同角三角函数的基本关系:
y P T v O
2

?1? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

? sin

2

? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ?
2 2

M A

x



? 2?

sin ? sin ? ? ? ? tan ? , ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. cos ? tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

?? ?? ? ? tan?? ? ? ? ? cot? , cot?? ? ? ? ? tan? 2? 2? ? ?
?? ?? ? ? tan? ? ? ? ? ? cot? , cot? ? ? ? ? ? tan? 2? 2? ? ?
角 ? 与 ? +(2k+1) ? (k ? Z)的三角函数间的关系

(7) cos[ ? +(2k+1) ? ]=-cos ? (8) sin[ ? +(2k+1) ? ]=-sin ? (9) tan[ ? +(2k+1) ? ]=tan ? 三角函数的图象与性质
14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: ?函 ? y ? cos x ? y ? sin x 数 性


? y ? tan x

图象 ? ? ? 定 义 域 ? 值域 ? ? R ? R ? ?

? ? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
? R

??1,1?
?
2

??1,1?

? 当 x ? 2 k? ?

? k ???

? 当 x ? 2k? ? k ??? 时, ? 既无最大值也无最小 值

时 , ymax ? 1 ; 当 ? ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ? ? 最值
x ? 2 k? ?

?
2

?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
? 2? ? 偶函数

? ? 周期 性 ? 奇偶 性 ? 单调 性

? k ??? 时, ymin ? ?1.
? 2? ? 奇函数 ? ? ? 奇函数

? ?? ? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? 在

?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

上 是 增 函 数 ; 在

? ?? ? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

?

? k ??? 上是增函数;
在 ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.

?

? k ??? 上是增函数.

? 3? ? ? ? ?2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
?

? k ??? 上是减函数.
称 中 心 ? 对 称 中 心

? 对 ? 对称 性

? k? ,0?? k ???
? 对
x ? k? ?

称 ?
2



? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

?

? 对







? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

?k ? ??

? 对称轴 x ? k? ? k ???

? 无对称轴

15、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图 象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的
1

?

倍 (纵坐标不变) ,

得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变),得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函 ?

数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原 来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax , 则? ?
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? 2 2 2

平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量。零向量与任一向量平行。 相等向量:长度相等且方向相同的向量。 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连。 ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 :

a ? b ? a ?b ? a ? b .

⑷运算性质: ①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: ? a ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ; ③a ?0 ? 0?a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量。 ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 。 设 ? 、 ? 两 点 的 坐 标 分 别 为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 则 AB ? ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) ,
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 。
?
?

19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律: ① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ; ② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ; ③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b (分配律). ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算。 20、向量共线定理:向量 a ? a ? 0 ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b ? b ? 0 ? 共线。 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? 2e 2 .(不共线的 向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? ? 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 ? .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则 ① a ? b ? a ?b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;
x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ? 1? ? ? ? 1? ?

当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ;
a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ? a .
2

③ a ?b ? a b . ⑶运算律: ① a ?b ? b ? a ; ② ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ? ; ③ ?a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .
2

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则
cos ? ? a ?b a b ? x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

.,夹角范围是[0, ? ]。 向量的应用 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ); 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ). 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos 2 ? ? ⑶ tan 2? ?
2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? . ? cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ). 2 2

26、 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

高中数学必修 5 知识点
解三角形 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外 接圆的半径,则有
a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?
a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R

③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ;
a?b?c a b c ? ? ? . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2



4、余弦定理:在 ??? C 中,有
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos ? ? , cos C ? 2bc 2ab 2ac

6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 ; ②若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 ; ③若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 .

应用举例 数列 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数叫做数列。 8、数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项。 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的 数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1(或前几项)间的关系的公 式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这 个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与
b 的等差中项.若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ? 1? d . 20、通项公式的变形: ① an ? am ? ? n ? m? d ; ② a1 ? an ? ? n ?1? d ;

③d ? ④n ?

an ? a1 ; n ?1

an ? a1 ? 1; d

⑤d ?

an ? am . n?m

21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ; 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 2an ? ap ? aq . 22、等差数列的前 n 项和的公式: ① Sn ?

n ? a1 ? an ? ; 2
n ? n ? 1? d. 2

② Sn ? na1 ?

23、等差数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 S2n ? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,
S奇 a ? n . S偶 an?1
S奇 n (其中 ? S偶 n ? 1

② 若 项 数 为 2n ? 1? n ? ? * ? , 则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an , 且 S奇 ? S偶 ? a n ,
S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an ).

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个 数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比。 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比 中项.若 G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项。 26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 。 27、通项公式的变形: ① an ? amq
n ?m



② a1 ? an q ③ q n ?1 ? ④q
n?m

?? n ?1?



an ; a1

?

an . am

28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ;若
2 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 an ? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

30、等比数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则
n ② Sn?m ? Sn ? q ? Sm .

S偶 S奇

?q.

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 成等比数列. 不等式 含有不等号的式子,叫做不等式。 31、
a ?b ? 0 ? a ? b ; a ?b ? 0 ? a ? b ; a ?b ? 0 ? a ? b.

32、不等式的性质: ①a ?b ? b ? a; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③a ?b? a?c ?b?c; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; ⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;

⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; ⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 均值不等式 均值定理 如果 a, b ? R ? ,那么
a?b ? ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立。通常称 2

为均值不等式。 ? 对任意两个正实数 a 、 b ,数 几何平均值。 均值定理可以表述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。 规律: (1)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; (2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值。 ? 常用的基本不等式: ? ① a2 ? b2 ? 2ab ? a, b ? R? ; ? ② ab ?
a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2
2

a?b 叫做 a 、 b 的算术平均值,数 ab 叫做 a 、 b 的 2

a?b ? ③ ab ? ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ?



a 2 ? b2 ? a ? b ? ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?

2

? 极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

⑴若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

不等式 33、一元二次不等式:一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的 整式不等式,叫做一元二次不等式。 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
? 判别式 ? ? b ? 4ac
2

?

??0

?

??0

?

??0

? 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ?

? a ? 0? 的图象
? ? 有两个相异实 ? 一元二次方程 数根 ? ? ? 有两个相等实 ?

ax2 ? bx ? c ? 0
?

x1,2 ?

?b ? ? 2a

数根

? a ? 0? 的根
? ?

b x1 ? x2 ? ? 2a

? 没有实数 根

? x1 ? x2 ?

ax2 ? bx ? c ? 0
?

? 一元 二次 不等 式的 解集 ? ? ?

?x x ? x 或x ? x ? ?
1 2

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0
?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

?

R

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

?

?

? a ? 0?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1,这样的不等式 叫做二元一次不等式。 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有 序数对 ? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 简单线性规划

38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . ①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示 直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域. ②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示 直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线 性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

命题

四种命题 命题及其关系 充分条件与必要条件

常 用 逻 辑 用 语

或 简单的逻辑联接词 且 非 量词 全称量词与存在量词

并集 交集 补集 全称量词 存在量词 运算

含有一个量词的否定

1. 命题的定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,能判断真假的语句 叫命题(proposition)。其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假 命题。 2、命题的四种形式及其相互关系: 若原命题是“若 p 则 q”,则逆命题为“若 q 则 p”;否命题为“若﹁p 则﹁ q”;逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题 与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题 都不等价;当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;
原命题 若p则q 互 互逆 否 为 逆 为 逆 互 逆否命题 若 ?q 则 ?p 互逆 否 逆否命题 若 ?q 则 ?p 逆命题 若q则p

互 否

互 否

由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题,因此这四种命题的真假之间的关系如

下: (1)两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性。 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。 四种命题的真假性:(真值表)
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q p且q 真 真 真 假 真 假 假 假

常见结论的否定形式
原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x ,成立 存在某 x ,不成立 对任何 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有 n 个 至多有( n ? 1 )个 至多有 n 个 至少有( n ? 1 )个 p 或q ?p 且 ?q p 且q ?p 或 ?q

3、充要条件: ① 若 A=>B 且 B 推不出 A,则 A 是 B 的充分非必要条件; ② 若 A 推不出 B 且 B=>A,则 A 是 B 的必要非充分条件 ③ 若 A=>B 且 B=>A,则 A 是 B 的充要条件 ④ 若 A 推不出 B 且 B 推不出 A,则 A 既不是 B 的充分条件,也不是 B 的必要 条件。 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4、逻辑联结词:或、且、非;含逻辑联结词的命题真假的判断; 5、全称量词与存在量词;全称命题与存在性命题;命题的否定。 全称命题 p : ?x ? M , P( x) ,它的否定┓ p : ?x ? M , ┓ P( x) 特称命题 p : ?x ? M , P( x) ,它的否定┓ p : ?x ? M , ┓ P( x) 圆锥曲线与方程

椭圆
第一定义:平面内与两个定点 F1 、F2 的距离和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点的距离叫做椭圆的焦距,即

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? F1 F2 )



第二定义: 平面内与一定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的点的轨迹叫做椭 圆。 定点 F 是椭圆的焦点, 定直线 l 是椭圆的准线, 常数 e 是椭圆的离心率。 即 ( d 为 M 到 l 得距离)。 标准方程及其性质: 焦点在 x 轴上 标准方 程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

MF d

? e(0 ? e ? 1)

焦点在 y 轴上
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

c2 ? a2 ? b2

c2 ? a2 ? b2

焦点坐 标 顶点坐 标 范围 对称轴 准线方 程 离心率

F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)
(?a,0) , (0,?b)

F1 (0,?c) 、 F2 (0, c)
(?b,0) , (0,?a)

x ? a, y ? b

x ? b, y ? a

x 轴,长轴为 2a ;
y 轴,短轴为 2b 。

x 轴,短轴为 2b ;
y 轴,长轴为 2 a 。

a2 x?? c
e? c ,0 ? e ?1 a

a2 y?? c

x2 y2 (1)设点 P( x0 , y 0 ) 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 、F2 分别椭圆的左、右焦 a b

焦半径 公式:

点,则 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 ; (2)设点 P( x0 , y 0 ) 为椭圆
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 、F2 分别椭圆的下、上焦 a2 b2

点,则 PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0 ;

双曲线
第一定义:平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫 做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点的距离叫做椭圆的焦距,即
MF1 ? MF 2 ? 2a(2a ? F1 F2 ) 。

第二定义:平面内与一定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比等于常数 e( e ? 1 )的点的 轨迹叫做双曲线。定点 F 是双曲线的焦点,定直线 l 是椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。即

MF d

? e(e ? 1) ( d 为 M 到 l 得距离)。

双曲线的标准方程及其几何性质: 焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

焦点在 y 轴上
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

图形

F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)
焦点坐标
c2 ? a2 ? b2

F1 (0,?c) 、 F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

顶点坐标 范围

(?a,0)

(0,? a)

x ?a

y ?a

x 轴,实轴为 2a ;
对称轴
y 轴,虚轴为 2b 。

x 轴,虚轴为 2b ;
y 轴,实轴为 2a 。

准线方程 离心率 渐近线方 程 等轴双曲 线

x??
e?

a2 c

y??

a2 c

c ,e ?1 a b y?? x a 1、实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线;

y??

a x b

2、等轴双曲线的离心率 e ? 2 ,两条渐近线方程为 y ? ? x
x2 y2 设点 P( x0 , y 0 ) 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点, F1 、F2 分别为双曲线的 a b

左、右焦点,则① P 在右支上时, PF1 ? ex0 ? a , PF2 ? ex0 ? a ;② P 在左支上 焦 半 径 公 时, PF1 ? ?ex0 ? a , PF2 ? ?ex0 ? a ; 式 y2 x2 设点 P( x0 , y 0 ) 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点, F1 、F2 分别为双曲线的 a b 上、 下焦点, 则① P 在上支上时,PF1 ? ,PF2 ? ; ② P 在下支上时,PF1 ? ?ey0 ? a ,

PF2 ? ey0 ? a

抛物线
定义(几何条件):平面上,到定直线与该定直线外一定点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

图形

对称轴 顶点坐标

x轴
O(0,0)

x轴
O(0,0)

y轴

y轴

O(0,0)

O(0,0)

焦点坐标 离心率 准线方程

?p ? F ? ,0 ? ?2 ?
e ?1

? p ? F ? ? ,0 ? ? 2 ?
e ?1

? p? F ? 0, ? ? 2?
e ?1

p? ? F ? 0,? ? 2? ?
e ?1

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2
p 2

y?

p 2
p 2

焦半径公式 范围

PF ? x 0 ?
x?0

p 2

PF ? ? x 0 ?
x?0

p 2

PF ? y 0 ?

PF ? ? y 0 ?

y?0

y?0

焦点弦(以抛物线) y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例 设 AB 是过焦点 F 的弦, A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? 2 p(1 ? k 2 ), k ?
p2 x1 ? x 2 ? , y1 ? y2 ? ? p 2 ; 4

y 2 ? y1 , AB min ? 2 p ; x2 ? x1

以 AB 为直径的圆与准线相切;以 AF 为直径的圆与 y 轴相切。


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