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湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三数学5月第一次模拟考试试题 文


湖北省黄冈中学 2016 届高三 5 月第一次模拟考试 文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)
a 1.集合 A ? 3, 2 , B ? ?a , b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ?

?

?

/>
A. ?1,2,3?

B. ?2,3,4?

C. ?2,3?

D. ?2,3,5?

2.复数 (1 ? i)(1 ? ai) 是实数,则实数 a 等于 A.2 B.1 C.0

? ? ? ? ? 3.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 ,则 | a ? b |? 3
A.1 B. 2 C. 3

D. ? 1

D.2

4.已知命题 p : ?x ? R, 使得 x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, e x ? 1 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

5.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3sin x cos x ( x ? [0, ? ] )的单调递减区间为 A. [0,

?
3

]

B. [

? 2?
6 , 3

]

C. [

? 5?
3 6 ,

]

D. [

5? ,? ] 6

6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离为 4 ,且 a 2 b2
开始

双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ? ?1, ?1? , 则双曲线的方程为 A.

s ? 0, n ? 1, i ? 1
B.

x y ? ?1 16 4
x y ? ?1 9 9
2 2

2

2

x ? y2 ? 1 4
x y ? ?1 3 3
2 2

2

s ? s ?1/ n


C.

D.

i ? i ?1
否 ② 是 输出 s 结束 第 7 题图

1 1 1 7.如图给出的是计算 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,则图 3 5 2015
中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 A. n ? n ? 1, i ? 1009 B. n ? n ? 2, i ? 1009 C. n ? n ? 1, i ? 1008 D. n ? n ? 2, i ? 1008

1

8.函数 f ( x) ? ( x ? 1) sin x 的图象大致是
2

y

y
O

y
O

y
O

O

x

x
B C

x

x
D

A

9.已知数列 ?an ? 满足: 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) , a1 ? 1 ,且 a2 ? a4 ? 10 ,若 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则

2Sn ? 18 的最小值为 an ? 3
B. 3 C.

A. 4

26 4

D.

13 3

10. 正四面体的四个面上分别写有数字 1,2,3,4,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露 在外面 6 个数字分别为 3,1,2,4,1,4 的概率为 1 1 1 1 A. B. C. D. 64 16 8 9 11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是 某几何体的三视图,则该几何体最长的棱长等于 A. 6 C. 4
2

B. 4 2 D. 8

12.设直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A, B 两点,与圆

( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切于点 M ,且 M 为线段
AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是
A. (2,3) B. (2, 4) C. [2,2 3] 第 11 题图 D. (2,2 3)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上.) 13.各项为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 与 a10 的等比中项为

3 ,则 log3 a4 ? log3 a8 ? 3



?y ? 2 1 x ? 14.设 x , y 满足不等式 ? x ? y ? 1 ,若 M ? 4 x ? y , N ? ( ) ,则 M ? N 的最小值为 2 ?x ? y ? 1 ?
15.已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90 ,侧面 BCC1B1 的面积为 4 ,则直三棱
0



柱 ABC ? A1B1C1 外接球的半径的最小值为



2

3 2 16.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? a ? 1 ? a ? 0 ? , g ( x) ? bx ? 2bx ? bx ?

4 ?b ? 1? ,则 27

函数 y ? g ( f ( x)) 的零点个数为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)如图,在△ ABC 中已知 ?B ? 45 , AC ? 2 3 , D 是 BC 边上的一点.
?

(1)若 AD ? 1, AD ? AC ? 3 ,求 CD 的长; (2)若 AB ? AD ,求△ ACD 面积 S 的最大值.

??? ? ??? ?

18.(本小题满分 12 分)为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这 两学校中分别随机抽取 30 名高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶 图如图所示: 甲 7 3 1 0 4 2 3 2 0 0 2 0 4 5 6 7 8 9 乙 5 3 0 0 1 0

6 5 4 3 3 1 2 2 1 1 9 7 7 6 5 5 8 6

1 2 3 3 3 3 6 6 8 9 9 1 2 5 5 6 7 7 8 8 9 2 4 8

(1)若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.15,求乙校高三年级学生总人数; (2)根据茎叶图,分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩(不要求计算); (3)从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格(低于 60 分为不及格)的学生中随机抽取 2 人,求至少抽到一名乙校学生的概率. 19.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 1, BC ? 2, AC ? BC ,

B1 CC1 ? 1 , ?ACC1 ? 60? , D, E , F 分别为棱 AA1, A1B1, AC 的中点.
(1)求证: EF // 平面 BCC1B1 ; (2)若异面直线 AA1 与 EF 所成的角为 45 ,求三棱 锥 C1 ? DCB 的体积.
?

B

E
C1 A1
C

F D
A

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 (0, 2) ,且离心率 a 2 b2
3



5 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)从椭圆 C 上一点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 引两条切线,切点为 A, B ,当直线 AB 分别与 x 轴, y 轴交于 N , M 两点时,求 | MN | 的最小值.

21.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? mx ? a ln x ? m, g ( x) ? (1)若 m ? 2 ,求函数 f ( x ) 的极值;

ex ,其中 m, a 均为实数, ex

( 2 ) 设 a ? 2 , 若 对 任 意 给 定 的 x0 ? ( 0 , e ), 在 区 间 (0, e) 上 总 存 在 t1 , t 2 (t1 ? t 2 ) 使 得

f (t1 ) ? f (t 2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知 A, B, C , D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,

D 为切点, AC //DE , AC 与 BD 相交于 H 点. (1)求证: BD 平分 ?ABC ;

(2)若 AB ? 4, AD ? 6, BD ? 8 ,求 AH 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取 相同的长度单位.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,直线 l 的参数方程为

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线的倾斜角). ? ? y ? t sin ?
(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 有唯一的公共点,求角 ? 的大小. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知 m ? 0, n ? 0 , f ( x) ? x ? m ? 2x ? n . (1)求 f ( x) 的最小值; (2)若 f ( x) 的最小值为 2 ,求 m ?
2

n2 的最小值. 4
4

高三 5 月第一次模拟考试文科数学答案 一、选择题 1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.D 10. C

11.A 【解析】该几何体为三棱锥,其棱长分别为:2 5,2 5,4 2,4 2,4 2,6 , 其中最长的棱长为 6 . 12.【答案】D 【解析】设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 l 的斜率设为 k ,则 y12 ? 4 x1 ,

y22 ? 4 x2 ,两式相减,得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,当 l 的斜率存在时,得 ky0 ? 2 ,因为直
线与圆相切,所以

y0 1 ? ? ,所以 x0 ? 2 ,即 M 的轨迹是直线 x ? 2 .将 x ? 2 代入 y 2 ? 4 x , x0 ? 4 k

得 y 2 ? 8 ,∴ ?2 2 ? y0 ? 2 2 ,∵ M 在圆上,∴ ( x0 ? 4)2 ? y02 ? r 2 ,?r 2 ? y02 ? 4 ? 12 ,∵ 直线 l 恰有 4 条,∴ y0 ? 0 ,∴ 4 ? r ? 12 ,故 2 ? r ? 2 3 时,直线 l 有 2 条;斜率不存在时,直
2

线 l 有 2 条;所以直线 l 恰有 4 条时, 2 ? r ? 2 3 ,故选 D. 二、填空题 13. ? 1 14. ? 4 15. 2
2

2 16. 2 【解析】 f ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? 1 , g '( x ) ? 3bx ? 4bx ? b ? 3b( x ? )( x ? 1) ,因为 b ? 1 ,

因此 g ( x) 在 (??, ) 和 (1, ??) 上递增,在 ( , 1) 上递减,且 g ( x) max

1 3

1 3

1 3 1 4 4 ? g( ) ? b ? ?0 , 3 27 27

g ( x) min ? g (1) ? ?

4 1 1 ? 0 ,所以 g ( x) 在 (??, ) , ( , 1) , (1, ??) 上各有一个零点,依次记为 27 3 3

x1 , x2 , x3 ,则 f ( x) ? x1 无解, f ( x) ? x2 无解, f ( x) ? x3 有两解,故 y ? g ( f ( x)) 有 2 个零点.
三、解答题 17.【解析】在△ADC 中,AD=1, AC ? 2 3 , AD ? AC ?| AD | ? | AC | ? cos ?DAC

??? ? ??? ?
3 2

??? ?

??? ?

? 1? 2 3 ? cos ?DAC ? 3

,

? cos ?DAC ?

,















CD2 ? AC 2 ? AD2 ? 2 AC ? AD ? cos ?DAC ? 12 ? 1 ? 2 ? 2 3 ? 1 ?


3 ? 7 ,所以 CD ? 7 .……6 2

(2) 因为 AB ? AD 且∠B=45°,所以 ?ADB ? 45°, ?ADC ? 135°. 在△ADC 中, AC ? 2 3 , 由余弦定理得: AC ? CD ? AD ? 2CD ? AD ? cos ?ADC
2 2 2

5

12 ? CD2 ? AD2 ? 2CD ? AD ? 2CD ? AD ? 2CD ? AD ,即 AD ? CD ? 6(2 ? 2)
1 2 S = AD ? CD ? sin ?ADC ? AD ? CD ? 3 2 ? 3 ,所以当且仅当 AD =CD 时,△ACD 面积 S 取 2 4
得最大值为 3 2 ? 3 .……12 分 18. 【解析】 (1) 因为每位同学被抽取的概率均为 0.15, 则高三年级学生总数 M ?

30 ? 200 ……2 0.15

分(2)由茎叶图可知甲校有 22 位同学分布在 60 至 80 之间,乙校也有 22 位同学分布在 70 至 80 之间,乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大,方差较小.所以,乙校学生的成绩 较好. ……6 分 (3)由茎叶图可知,甲校有 4 位同学成绩不及格,分别记为:1、2、3、4;乙校有 2 位同 学成绩不及格,分别记为:5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能:(1, 2)、(13)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3, 4)、(3,5)、 (3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6),总共有 15 个基本事件.其中,乙校包含至少有一名学 生成绩不及格的事件为 A,则 A 包含 9 个基本事件,如下:(1,5)、(1,6)、(2,5)、(2, 6)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6).所以, P ( A) ?

9 3 ? .……12 分 15 5

19 .【解析】( 1 )取 B1C1 的中点为 G ,连接 EG, CG , ? E , F 分别为棱 A1B1 , AC 的中点,

// 1 A1C1 ? //CF ,所以四边形 EGCF 为平行四边形,? EF / /CG ,又? EF ? / 面 BCC1B1 , ? EG ? 2
CG ? 平面 BCC1B1 ,所以 EF // 平面 BCC1B1 ;……6 分
? ( 2 ) ? EF//CG, AA 1 // CC1 , 异 面 直 线 AA 1 与 EF 所 成 的 角 为 45 , 所 以 ?C1CG ? 45 , 又
?

? AC ? BC ,? B1C1 ? 面 ACC1 A1 , ,且 C1 G ? CC 1 ?1, ?? CC 1 G?90 , ? B 1 C 1 ? CC 1

? ? BC ? 面 DCC1 , 在 ?ACC 1 中 , AC ? CC1 ? 1, ?ACC1 ? 60 , ? S?ACC1 ?

3 ? S?DCC1 , 所 以 4

VC1 ? D C B ? V B ?

D C1C

?

1 ? S? 3

DC 1C

1 3 3 ? BC ? ? 2 ? ? .……12 分 3 4 6
x2 y2 c 5 ? 1; ? ,? a ? 3, c ? 5 ,所以椭圆 C 的方程为 ? 9 4 a 3

20. 【解析】(1)? b ? 2, e ?

……4 分(2)设点 P, A, B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ),( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,过点 A 的圆的切线方程为

x1 x ? y1 y ? 1,过点 B 的圆的切线方程为 x2 x ? y2 y ? 1 ,两条切线都过点 P ,所以

x1 x0 ? y1 y0 ? 1 , x2 x0 ? y2 y0 ? 1 ,则切点弦 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 1 ,……7 分,由题意知
6

x0 y0 ? 0 ,所以 M (0,

1 1 1 1 1 1 x2 y2 ), N ( ,0) ,? | MN |2 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 2 ) ? ( 0 ? 0 ) y0 x0 x0 y0 x0 y0 9 4

?

18 12 1 1 x02 y02 1 1 1 1 25 时取等号, ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ,当且仅当 x0 2 ? , y0 2 ? 2 2 5 5 9 4 9 y0 4 x0 9 4 9 4 36

所以 | MN | 的最小值为

5 .……12 分 6

a 2x ? a ? .当 a ? 0 x x a a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 没有极值;当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ,所以当 x ? (0, ) , 2 2 a a a f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ?? ) , f ?( x) ? 0 ,所以当 x ? 时, f ( x ) 取得极小值 f ( ) ? 2 2 2 a a ? 2 ? a ln ,没有极大值. ……5 分 2 e(1 ? x ) (2)? g ?( x ) ? ,所以当 x ? (0,1) 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上单调递增,当 x ? (1, e) ex
21. 【解析】(1)? m ? 2,? f ( x) ? 2 x ? a ln x ? 2 ,? f ?( x ) ? 2 ? 时 , g ?( x ) ? 0, g ( x) 在 (1, e) 上 单 调 递 减 , 所 以

g( x)max ? g(1) ? 1



? g ( x ) ? (0,1] , 又

2 ?0 ,当 m ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, e) 上单调递减,不符合题意;当 m? x 2 ? e ,得 时,要 ?t1 , t2 使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ,那么由题意知 f ( x) 的极值点必在区间 ?0, e ? 内,即 0 ? m 2 2 2 m ? ,且函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e ) 上单调递增,由题意得 g ( x) 在 ?0, e ? 上的值 m m e f ' ( x) ? m ?

? 2 ? f ( ) ? 0 (1) 域包含于 f ( x) 的值域,所以 ? m ? (2) ? f ( e) ? 1

,……8 分

由( 2 )得 m ?

3 ,由( 1 )得 e ?1

2 ln m ? m ? 2 ? 2 ln 2? 0 ) ?2ln m ?m ? 2 ? 2ln2 , 记 ? (m

, 则 ? ?( m) ?

2 3 ? 1 ,当 m ? ( ,2) m e ?1

时 , ? ?(m ) ? 0, ? ( m ) 单 调 递 增 , 当 m ? ( 2 ,? ? )时 , ? ?(m ) ? 0 , ? ( m ) 单 调 递 减 , 所 以 ,即当 m ? ? (m )m a x ? ? ( 2 ) ? 0

3 ? 0 时, 2 lnm ? m ? 2? 2 ln 2 成立,即( 1 )成立,所以 e ?1

m?

3 .……12 分 e ?1

22. 【解析】(1)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD , 又? DE 切圆 O 于点 D ,? ?CDE ? ?CBD , ? ?ACD ? ?CBD ,而 ?ACD ? ?ABD ,? ?CBD ? ?ABD ,即 BD 平分∠ABC;……5 分 (2)由(I)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD ,

7

? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角,∴ ?DBA 与 ?DAH 相似,?
∵AB=4,AD=6,BD=8,∴ AH ? 3 .……10 分 23. 【解析】( 1 )当 ? ?

AH AD ? , AB BD
时 , 直线 l 的普通方程为

?

2

时 , 直线 l 的普通方程为 x = - 1 ;当 ? ?

?
2

y = (tan a )( x +1) . ……2 分 由 ? ? 2 cos? ,得 ? 2 ? 2? cos? ,所以 x2 + y 2 = 2 x ,即为曲线 C 的
直角坐标方程. ……4 分 (2)把 x ? ?1 ? t cos ? , y = t sin a 代入 x2 + y 2 = 2 x ,整理得 t 2 - 4t cos a + 3 = 0 .
2 由 ? ? 16cos2 ? ? 12 ? 0 ,得 cos a =

3 3 3 ,所以 cos a = 或 cos a = , 4 2 2

故直线 l 倾斜角 ? 为

? 5? 或 . ……10 分 6 6

? ? ? 3x ? m ? n, x ? ?m ? n n n ? 24. 【解析】(1)∵ f ( x) ? ?? x ? m ? n,?m ? x ? ,∴ f ( x) 在 (?? , ) 是减函数,在 ( ,?? ) 2 2 2 ? n ? 3x ? m ? n, x ? ? 2 ? n n n 是增函数.∴当 x ? 时, f ( x) 取最小值 f ( ) ? m ? . ……5 分 2 2 2 n n ? (2)由(1)知, f ( x) 的最小值为 m ? ,∴ m ? ? 2 .∵ m, n ? R , 2 2
(m 2 ? n2 1 n2 1 n n ) ? ? 2(m 2 ? ) ? (m ? ) 2 ? 2 , 当 且 仅 当 m ? , 即 m ? 1, n ? 2 时 , 取 等 号 , 2 4 2 4 2 4
2

n2 ∴ 4(m ? ) 的最小值为 2 . ……5 分 4

8


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