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《不等式》单元复习与巩固


《不等式》单元复习与巩固
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数! 学习目标:
? ? ? ? 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景; 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组; 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式; 了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组, 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题,并能加以解决; ? 掌握基本不等式

a?b ? ab (a, b ? 0) , 2

会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

重点:
? 不等式性质的应用,一元二次不等式的解法,含有参数的不等式的解法,用二元一次不等式(组)表示平面区域, 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,基本不等式的应用。

难点:
? 含有参数的不等式的解法,求目标函数的最优解,基本不等式的应用。

学习策略:
? 方程、不等式、函数有着密不可分的联系,只有从函数的观点出发来看待这三者,才会理解它们之间深刻的内在联 系。

二、学习与应用
“凡事预则立,不预则废” 。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 性。我们要在预习的基础上,认真听讲,做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识要点——复习
把下列知识要点内容补充完整,带着自己的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源 ID:#tbjx6#217461

知识点一:不等式的主要性质
(一)对称性: (二)传递性: (三)加法法则:

1

(四)乘法法则:

(五)乘方法则: (六)开方法则:

知识点二:一元二次不等式的解法
(一)一元二次不等式 ax 2

? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集: ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
的 两 根 为
2

设 相 应 的 一 元 二 次 方 程

x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表: ??0 ??0 ??0
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
(a

? 0 )的图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
注意:若 a

? 0 ,可以转化为 a ? 0 的情形解决.

(二)解一元二次不等式的步骤

知识点三:线性规划
(一)用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示

2

(二)二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

(三)线性规划的有关概念: (1)线性约束条件:

(2)线性目标函数:

(3)线性规划问题:

(4)可行解、可行域和最优解:

(四)求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤

知识点四:基本不等式
(一)两个重要不等式 (1) a, b ? R ,那么 (2)基本不等式:如果 a , b 是正数,那么 时取等号“=” ). (二)算术平均数和几何平均数 算术平均数: 几何平均数: 称为 a , b 的算术平均数; 称为 a , b 的几何平均数. 它们的几何平均数. (当且仅当 a ) ? b 时取等号“=” (当且仅当 a

?b

因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数 (三)基本不等式的应用

, x, y ? (0, ??) ,且 xy ? P(定值) 那么当 x ? y 时, x ? y 有最





3

,那么当 x ? y 时, xy 有最 x, y ? (0, ??) ,且 x ? y ? S (定值) 注意:在用基本不等式求函数的最值时,应具备的三个条件:





(1) (2) (3)

经典例题——自主学习
认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完成举一反 三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源 ID: #jdlt0#217461

类型一:用不等式表示不等关系
例 1.某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件 和盒装软件,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,写出满足上述不等 关系的不等式。 解:

举一反三 【变式】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 9g、4g、3g;乙 种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 4g、5g、5g.已知每天使用原料为奶粉 3600g, 咖啡 2000g,糖 3000g。 写出配制两种饮料杯数所满足的所有不等关系的不等式。

类型二:比较大小
例 2.在下列横线上填上适当的不等号 (1)( 3 - 2 )2 6-2 6 ; (2)

1 10 ? 3

1 ; 11 ? 10

(3) (a+3)(a-5) 举一反三

(a+2)(a-4) ;

(4) ( x2 ? 1)2

x4 ? x2 ? 1

【变式】 ( 3 - 2 )2 (1)

( 6 -1)2; 4

(2)当 a>b>0 时,log 1 a
2

log 1 b
2

类型三:利用不等式的性质求取值范围
例 3.如果 30 ? x ? 42 , 16 ? (1) x ?

y ? 24 ,则


y 的取值范围是

(2) xy 的取值范围是 举一反三 【变式】如果 30 ?

x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则

(1) x ? 2 y 的取值范围是



(2)

x y

的取值范围是

例 4.已知函数 f ( x) ? ax2 ? c ,满足 ?4 ? f (1) ? ?1 , ?1 ? 围.(至少 2 种方法求解) 解:

f (2) ? 5 ,求 f (3) 的取值范

举一反三 【变式】已知 ?1 ?

a ? b ? 5 , ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围。

类型四:有关一元二次不等式的问题
例 5.解不等式: (1) 2 x 2

? 7x ? 4 ? 0
5

解:

(2) ? x 解:

2

? 8x ? 9 ? 0

举一反三: 【变式】解不等式: (1) ?3x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 ;

(2) 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ;

例 6.已知不等式 ax2+bx+12>0 的解集为{x|-1<x<2},求 a,b 的值。 解:

总结升华:

举一反三: 【变式 1】若不等式 ( x ? a)( x ? 1) ? 0 的解集为(-∞,-1] ∪[2,+ ∞),求实数 a 的值。

【变式 2】 已知关于 x 的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0 有两个相异实根, 求实数 k 的取值 范围。 6

例 7.若关于 x 的不等式 (m ? 1) x 求 m 的取值范围. 解:

2

? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的解集为一切实数 R,

总结升华:

举一反三: 【变式 1】若对于任意 X ? R 恒有 3x2+2x+2>m(x2+x+1) (m ? N* ) ,求 m 的值

【变式 2】若不等式 ?15x 2 ? 10x ? 15 ? x 2 ? 2mx ? 1 ? 15x 2 ? 10x ? 15 对一切 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围。

× × × 【变式 3】在 R 上定义运算○:x○y=x(1-y),若不等式(x-a)○(x+a)<1 对任意实 数 x 成立,则( A.-1<a<1 ) C. ?

B. 0<a<2

1 3 ?a? 2 2

D. ? 3 ? a ? 1

2

2

类型五:二元一次方程(组)与平面区域
例 7.设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不 含边界的阴影部分)是( )

7

解:

举一反三: 【变式 1】不等式组 ?

? x ? 2y ? 4 所表示的平面区域为( ?2 x ? 3 y ? 6



y

y

O

x

O

x

A

B

y

y

O

x

O

x

C

D

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? 【变式 2】不等式组 ? 在 xy 平面上的解的集合为( 0 ? x ?1 ? ?0 ? y ? 1 ?
A.四边形内部 B. 三角形內部 C.一点



D.空集

类型六:求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

?3x ? y ? 0 ?2 x ? 3 y ? 16 ? 例 8.已知 x、y 满足不等式组 ? ,求 z=5x+2y 的最大值和最小值。 x?5 ? ?y ? 0 ?
8

解:

举一反三: 【变式 1】 设变量 x、 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 y ( ?

? y ? x,



? y ? 3 x ? 6, ?

A.2

B.3

C.4

D.9

【变式 2】 某公司招收男职员 x 名, 女职员 y 名, 和 y 需满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, x

?5 x ? 11y ? ?22, ? ?2 x ? 11, ?

则z

? 10 x ? 10 y 的最大值是(
A.80 B.85

) D.95

C.90

【变式 3】某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元,售价 50 元;凤梨月饼每个成本 20 元,售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过 10 个,售价不超 过 350 元,问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大?又利润最大为多 少?

类型七:利用基本不等式证明不等式
例 9.已知 a, b ? R ,求证: a 证明:
2

? b 2 ? ab ? a ? b ? 1

总结升华: 9

举一反三: 【变式 1】已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 证明:

【变式 2】已知 a, b, c 是不全相等的正数, 求证: a(b2 ? c2 ) ? b(c2 ? a2 ) ? c(a2 ? b2 ) ? 6abc 证明:

类型八:利用基本不等式求最值
例 10. (1)设 a,b,c 是 RtΔ ABC 的三边,c 为斜边之长,且 a+b+c=4,试求 C 的取值范 围; (2)设三个数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=1,试求 b 的取值范围。 解:

举一反三: 【变式 1】若实数 a , b 满足 a ? b ? 2, 则 3
a

? 3b 的最小值是

.

【变式 2】求

y ? 2 x(3 ? x)(0<x<3) 的最大值。

10

【变式 3】若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值。 x y

三、总结与测评
要想学习成绩好,总结测评少不了!课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们 巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学 相关内容请参看网校资源 ID:#tbjx19#217461

(一)应用不等式的性质比较两数(式)的大小的常用方法:作差法和作商法 作差比较两数(式)大小的依据: (1) (2) (3) 作商比较两数(式)大小的依据: (1) (2) (3) (二)一元二次不等式的解集的端点与相应一元二次方程根的关系: ax2+bx+c>0 的解集为(x1, x2) ? a 0且 为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根。 0且 为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根。

ax2+bx+c>0 的解集为(-∞, x1)∪(x2,+∞) ? a (三)几个常用变形不等式

成果测评
现在来检测一下学习的成果吧!请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的 测试。

知识点:不等式 11

测评系统分数:

模拟考试系统分数:

如果你的分数在 80 分以下,请进入网校资源 ID:#cgcp0#217461 做基础达标#cgcp1#217461 部分的练习,如果你的分数 在 80 分以上,你可以进行能力提升题目#cgcp2#217461 的测试。

自我反馈
学完本节知识,你有哪些新收获?总结本节的有关习题,将其中的好题及错题分类整 理。如有问题,请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

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习题整理
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错题

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网 校 重 要 资 源 ○○○○○○
知识导学:不等关系与不等式(#213876) ;

一元二次不等式及其解法(#213735) ;
12

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(#214039) ; 均值不等式及其运用(#215536) 不等式单元复习与巩固(#217461) 不等式单元测评(#217463)
视听课堂:不等式的性质(#61226)

算术平均数和几何平均数(#16269) 一元二次不等式解法(#16295) 简单的线性规划(#17482)
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对本知识的学案导学的使用率:
□ 好(基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等,使用率达到 80%以上) □ 中(使用本学案导学提供的资源、例题和笔记,使用率在 50%-80%左右) □ 弱(仅作一般参考,使用率在 50%以下)

学生:_______________

家长:______________

指导教师:_________________

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