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江西省重点中学协作体2015届高考数学一模试卷(文科)


江西省重点中学协作体 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. (5 分)已知 A={x|x <1},B={x|x≥0},全集 U=R,则 A∩(?UB)=() A.{x|x<0} B.{x|x<﹣1} C.{x|﹣1<x<0} D.{x|0<x<1} 2. (5 分)若复数 z 满足: A. B. ,则 z 的虚部为() C. D.
2

3. (5 分)已知 x∈(﹣ A.

,0)且 cosx=

,则 tan2x=() C. D.﹣

B. ﹣

4. (5 分)根据如下样本数据 x 3 4 y ﹣4.0 ﹣2.5 得到的回归方程为 A.a>0,b<0 ,则() B.a>0,b>0

5 0.5

6 ﹣0.5

7 2.0

8 3.0

C.a<0,b<0

D.a<0,b>0

5. (5 分)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=4x+ +3, 则对于 y=f(x)在 x<0 时,下列说法正确的是() A.有最大值 7 B.有最大值﹣7 C.有最小值 7

D.有最小值﹣7

6. (5 分)在等腰△ ABC 中,BC=4,AB=AC,则 A.﹣4 B. 4 C . ﹣8

=() D.8 ,则判断框内应

7. (5 分)计算机执行如图的程序框图设计的程序语言后,输出的数据是 填()

A.n≤3

B.n≤4

C . n≤5

D.n≤6 ,下列结论错误的是()

8. (5 分)已知函数 f(x)=cos A.函数 f(x)的最小正周期为 π B. f(x)的一个对称中心是 C. 函数 f(x)在区间 D.将 f(x)的图象向左平移 上是减函数 个单位得到的函数为偶函数

9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()

A.64﹣

B.64﹣

C.64﹣16π

D.64﹣

10. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆 C:x +y ﹣6x+1=0 相交

2

2

于 A,B 两点,且|AB|=4,则该双曲线离心率等于() A. B. C. D.

11. (5 分)已知 x,y 满足约束条件
2 2

,当目标函数 z=

ax+by({a>0,b>0})

在该约束条件下取得最大值 4 时,a +b 的最小值为() A.8 B. 4 C. D.2

12. (5 分)已知函数 f(x)= () A.(0,1)

﹣k|x|({k∈R})有三个不同的零点,则实数 k 的取值范围是

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(2,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)A、B、C 是同班同学,其中一个是班长,一个是学习委员,一个是小组组长,现 在知道:C 比组长年龄大,学习委员比 B 小,A 和学习委员不同岁,由此可以判断担任班长 的同学是.

14. (5 分)已知 f(x)=

,则关于 x 的不等式 f(x)> 的解集为.

15. (5 分)如上图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α=60°,在塔底 C 处 测得 A 处的俯角为 β=45°,已知铁塔 BC 部分的高为 米,山高 CD=米.

16. (5 分)边长为 的正△ ABC 的三个顶点都在体积是 到平面 ABC 的最大距离是.

的球面上,则球面上的点

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知数列{an}为等比数列,a1=1,且 a2,a3+1,a4 成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足:bn= ,设其前 n 项和为 Sn,证明:Sn< .

18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面四边形 ABCD 为直角梯形,对角线 AC,BD 交与点 M,BC∥AD,AB⊥BC,AB=BC=1,AD=PD=2,PD⊥底面 ABCD,点 N 为棱 PC 上 一动点. (Ⅰ)证明:AC⊥ND; (Ⅱ)若 MN∥平面 ABP,求三棱锥 N﹣ACD 的体积.

19. (12 分)某中学 2014-2015 学年高二学生社团利用国庆节和元旦假期,对居民小区逐户进 行两次“低碳生活习惯”的调查,计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低 碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少 75%的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低 碳小区”,否则称为“非低碳小区”.国庆节期间调查的 6 个小区中低碳族的比例分别为 , , , , , .元旦期间在 6 个住宅小区内选择两个小区进行第二次调查.

(Ⅰ)求该社团选的两个小区至少有一个为“低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择了一个“非低碳小区”为小区 A,显示其“低碳族”的比例为 ,国庆节收集的数 据如图甲所示,经过社团成员的大力宣传,经过三个月后,元旦收集的数据如图乙所示,问 这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?

20. (12 分)如图,抛物线 C1:x =2py(p>0)的焦点为 F,椭圆 C2:

2

+

=l (a>b>0)

的离心率 e=

,C1 与 C2 在第一象限的交点为 P(2,1) .

(Ⅰ)求抛物线 C1 及椭圆 C2 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与椭圆 C2 交于不同两点 A、B,点 M 满足 直线 FM 的斜率为 k1,且 k?k1= ,求 t 的取值范围. = ,

21. (12 分)已知函数 f(x)=2ae +1,g(x)=lnx﹣lna+1﹣ln2,其中 a 为常数,e≈2.718,函 数 y=f(x)的图象与坐标轴交点处的切线为 l1,函数 y=g(x)的图象与直线 y=1 交点处的切 线为 l2,且 l1∥l2. (Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)若对任意的 x∈[1,5],不等式 x﹣m> 成立,求实数 m 的取值范围. 2 (Ⅲ)若 F(x)=λx ﹣x+1﹣g(x) (λ>0)有唯一零点,求 λ 的值.

x

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答 时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,已知 PE 切圆 O 于点 E,割线 PBA 交圆 O 于 A,B 两点,∠APE 的平分 线和 AE、BE 分别交于点 C,D

(Ⅰ)求证:CE=DE; (Ⅱ)求证: = .

【选修 4-4:坐标系与参数方程】
2 2

23.直线 l 的参数方程为

,曲线 C 的极坐标方程(1+sin θ)ρ =2.

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于两点 A、B,若点 P 为(1,0) ,求 + .

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知关于 x 的不等式|2x﹣m|≤1 的整数解有且仅有一个值为 1. (Ⅰ)求整数 m 的值; (Ⅱ)已知 a,b,c 均为正数,若 2a+2b+2c=m,求 的最小值.

江西省重点中学协作体 2015 届高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 2 1. (5 分)已知 A={x|x <1},B={x|x≥0},全集 U=R,则 A∩(?UB)=() A.{x|x<0} B.{x|x<﹣1} C.{x|﹣1<x<0} D.{x|0<x<1} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 A,然后求解 A∩(?UB)即可. 2 解答: 解:A={x|x <1},B={x|x≥0},全集 U=R, 则 A={x|﹣1<x<1},

?UB={x|x>0} A∩(?UB)={x|0<x<1}. 故选:D. 点评: 本题考查集合的交、并、补的运算,基本知识的考查.

2. (5 分)若复数 z 满足: A. B.

,则 z 的虚部为() C. D.

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵ ∴z=﹣ = , = =﹣ ,

∴z 的虚部为 . 故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3. (5 分)已知 x∈(﹣ A.

,0)且 cosx=

,则 tan2x=() C. D.﹣

B. ﹣

考点: 二倍角的正切. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系,求得 tanx 的值,再利用二倍角的正切公式求 得 tan2x 的值. 解答: 解:∵x∈(﹣ 则 tan2x= =﹣ ,0)且 cosx= , ,∴sinx=﹣ =﹣ ,tanx= =﹣ ,

故选:D. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正切公式,以及三角函数在各个 象限中的符号,属于基础题. 4. (5 分)根据如下样本数据 x 3 4 y ﹣4.0 ﹣2.5

5 0.5

6 ﹣0.5

7 2.0

8 3.0

得到的回归方程为 A.a>0,b<0

,则() B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0

考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 利用公式求出 b,a,即可得出结论. 解答: 解:样本平均数 =5.5, =﹣0.25, ∴ =23, =17.5,∴b= = >0,

∴a=﹣0.25﹣

?5.5<0,

故选:D. 点评: 本题考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,属于基础题.

5. (5 分)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=4x+ +3, 则对于 y=f(x)在 x<0 时,下列说法正确的是() A.有最大值 7 B.有最大值﹣7 C.有最小值 7

D.有最小值﹣7

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(x)的图象关于原点对称,运用基本不 等式求得 f(x)在 x>0 的最值,即可得到 x<0 的最值. 解答: 解:由于 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则 f(x)的图象关于原点对称, 当 x>0 时,f(x)=4x+ +3, 由 4x+ ≥2 =4,

当且仅当 x= ,取得最小值,且为 4, 即有 x>0 时,f(x)的最小值为 7, 则 x<0 时,f(x)取得最大值﹣7. 故选:B. 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求最值,主要考查奇函数的图象关于原点对称,同 时考查基本不等式的运用,属于中档题.

6. (5 分)在等腰△ ABC 中,BC=4,AB=AC,则 A.﹣4 B. 4 C . ﹣8

=() D.8

考点: 平面向量数量积的运算.

专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用已知条件求解即可. 解答: 解:在等腰△ ABC 中,BC=4,AB=AC,则 故选:D. 点评: 本题考查向量数量积的求法,基本知识的考查. = cosB= |BC| =8.
2

7. (5 分)计算机执行如图的程序框图设计的程序语言后,输出的数据是 填()

,则判断框内应

A.n≤3

B.n≤4

C . n≤5

D.n≤6

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y,z,n 的值,当 n=5 时应该不满 足条件,退出循环,输出 的值为 ,从而可得解.

解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=1,y=1,n=1 z=2,满足条件,x=1,y=2,n=2,z=3 满足条件,x=2,y=3,n=3,z=5 满足条件,x=3,y=5,n=4,z=8 满足条件,x=5,y=8,n=5,z=13 由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 的值为 则判断框内应填:n≤4, 故选:B. ,

点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 x,y,z,n 的 值是解题的关键,属于基本知识的考查.

8. (5 分)已知函数 f(x)=cos A.函数 f(x)的最小正周期为 π B. f(x)的一个对称中心是 C. 函数 f(x)在区间 D.将 f(x)的图象向左平移 上是减函数 个单位得到的函数为偶函数

,下列结论错误的是()

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;正弦函 数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先化简三角函数解析式,然后对选项分别分析选择. 解答: 解:f(x)=cos ( ﹣2x)=2cos2x, ;故 A 正确; ;故 B 正确; 不是[kπ,kπ ], =2sin[ ﹣(2x﹣ )]=2sin

所以此函数的最小正周期为 x= 时,f(x)=2cos

=0,所以 f(x)的一个对称中心是 ],k∈Z,函数在区间

f(x)=2cos2x 的递减区间为[kπ,kπ k∈Z 的子集;故 C 错误; 将 f(x)的图象向左平移

个单位得到的函数 2cos2(x+

)=﹣2cos2x,此函数为偶函数;

故 D 正确; 故选 C 点评: 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的性质运用;关键是正确化简解析式,利 用余弦函数性质解答. 9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()

A.64﹣

B.64﹣

C.64﹣16π

D.64﹣

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是正方体内挖去两个圆锥,且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆, 根据三视图判断正方体的边长,圆锥的底面半径与高,代入正方体与圆锥的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知: 、几何体是正方体内挖去两个圆锥,且两圆锥的底面分别是正方体 上、下面的内接圆, 两圆锥的顶点重合, ∵正方体的边长为 4,∴挖去两个圆锥的底面半径都为 2,上圆锥的高为 3,下圆锥的高为 1, ∴几何体的体积 .

故选:A. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何量是 解答此类问题的关键.

10. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆 C:x +y ﹣6x+1=0 相交

2

2

于 A,B 两点,且|AB|=4,则该双曲线离心率等于() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的渐近线方程,圆的圆心与半径,利用体积推出 ab 关系式,然后求解离 心率即可. 解答: 解:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为:bx+ay=0, 2 2 圆 C:x +y ﹣6x+1=0 的圆心(3,0) ,半径为:2 , 双曲线 且|AB|=4, =1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆 C:x +y ﹣6x+1=0 相交于 A,B 两点,
2 2

可得



即:5b =4a , 2 2 2 可得 5(c ﹣a )=4a , 解得 e= = .

2

2

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.

11. (5 分)已知 x,y 满足约束条件
2 2

,当目标函数 z=

ax+by({a>0,b>0})

在该约束条件下取得最大值 4 时,a +b 的最小值为() A.8 B. 4 C. D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划求出最优解,结合点到直线的距离公 式进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z= ax+by 得 y=﹣ x+ ,

∵a>0,b>0, ∴目标函数的斜率 k=﹣ 平移直线 y=﹣ x+ , x+ 经过点 A 时,直线的截距最大,此时 z 最大为 4, x<0,

由图象知当直线 y=﹣



,解得

,即 A(1,1) ,

此时 a+b=4, 2 2 a +b 的几何意义为直线 原点到直线
2 2

a+b=4 上的点到原点的距离的平方, ,

a+b=4 的距离 d=
2

则 a +b 的最小值为 d =4, 故选:B.

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,训练了点到直线的 距离公式的应用,是中档题. ﹣k|x|({k∈R})有三个不同的零点,则实数 k 的取值范围是

12. (5 分)已知函数 f(x)= () A.(0,1)

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(2,+∞)

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 把函数的零点转化为两个函数图象交点的横坐标,由题意画出图形,数形结合得到 实数 k 的取值范围. 解答: 解:如图, 函数 f(x)= ﹣k|x|的零点,就是方程 ﹣k|x|=0 的根,

也就是函数

与函数

图象交点的横坐标.

若 k=0,则 y=k|x|=0,函数 若 k<0,则当 x>0 时,y=kx 与 当 k>0 时,y=kx 与
2

与 y=0 无交点; 无交点,不合题意;

右支有一个交点,
2

再由

,得 kx +2kx+1=0,由△ =4k ﹣4k=0,得 k=1.

由图可知,当 k>1 时 y=﹣kx 与 ∴使函数 f(x)= 故选:C.

左支有两个交点.

﹣k|x|({k∈R})有三个不同的零点的实数 k 的取值范围是(1,+∞) .

点评: 本题考查了函数的零点和方程根的关系,考查了数形结合的解题思想方法,考查了 数学转化思想方法,是中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)A、B、C 是同班同学,其中一个是班长,一个是学习委员,一个是小组组长,现 在知道:C 比组长年龄大,学习委员比 B 小,A 和学习委员不同岁,由此可以判断担任班长 的同学是 B. 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 学习委员比 B 小,A 和学习委员不同岁,可知 B、A 都不是学习委员,只有 C 是学 习委员;由 C 比组长年龄大,学习委员比 B 小,说明 B 不是小组组长是班长. 解答: 解:由学习委员比 B 小,A 和学习委员不同岁,可知 B、A 都不是学习委员,只有 C 是学习委员; 由 C 比组长年龄大,学习委员比 B 小,说明 B 不是小组组长是班长; 故答案为:B. 点评: 完成本题要理清思路,根据所给条件逐步推理出结论.

14. (5 分)已知 f(x)=

,则关于 x 的不等式 f(x)> 的解集为{x|x

<0 或 x

}.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 当 x>0 时,原不等式可化为 解不等式即可求解 解答: 解:当 x>0 时,原不等式可化为 解不等式可得,x , ,当 x≤0 时,原不等式可化为 ,

此时 x 当 x≤0 时,原不等式可化为 此时 x<0 综上可得,原不等式的解集为{x|x<0 或 x } 故答案为:{x|x<0 或 x } 点评: 本题主要考查了分式不等式及对数不等式的求解,解题中要注意分类 讨论的应用. 15. (5 分)如上图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α=60°,在塔底 C 处 测得 A 处的俯角为 β=45°,已知铁塔 BC 部分的高为 米,山高 CD=18+6 米. ,解可得,x<0

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: 设 AD=x,则根据∠CAD 和∠BAD 可以计算 CD 和 BD 的值,根据 BC=BD﹣CD 即 可求得 x 的值,即可解题. 解答: 解:设 AD=x, 则 CD=AD?tan45°=AD=x, BD=AD?tan60°= x, ∴BC=( ﹣1)x=12 , ∴x= =18+6 (米)

故答案为:18+6 . 点评: 本题考查了特殊角的三角函数值,考查了三角函数在直角三角形中的运用,易错点 是错误运用特殊角的三角函数值.本题中计算特殊角的三角函数值是解题的关键. 16. (5 分)边长为 的正△ ABC 的三个顶点都在体积是 . 的球面上,则球面上的点

到平面 ABC 的最大距离是

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 边长是 2 的正三角形 ABC 内接于体积是 4 的球 O,易求出△ ABC 的外接圆 半径及球的半径,进而求出球心距,由于球面上的点到平面 ABC 的最大距离为球半径加球心 距,代入即可得到答案. 解答: 解:边长是 2 的正三角形 ABC 的外接圆半径 r= ? = .

, ∴球 O 的半径 R= . = . = .

∴球心 O 到平面 ABC 的距离 d=

∴球面上的点到平面 ABC 的最大距离为 R+d= 故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是点、面之间的距离,其中根据球的几何特征分析出球面上的点 到平面 ABC 的最大距离为球半径加球心距,是解答本题的关键. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知数列{an}为等比数列,a1=1,且 a2,a3+1,a4 成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足:bn= ,设其前 n 项和为 Sn,证明:Sn< .

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,通过 a1=1,a2、a3+1、a4 成等差数列,可得 q=2,进 而即得结论; (Ⅱ)通过对 bn 分离分母,利用并项法相加即得结论. 解答: (Ⅰ)解:设数列{an}的公比为 q, 2 3 ∵a1=1,∴a2=q,a3=q ,a4=q , 又∵a2,a3+1,a4 成等差数列, 2 3 ∴2(1+q )=q+q , 解得 q=2, ∴an=2
n﹣1



(Ⅱ)证明:∵bn=

= = ∴Sn= = ﹣ ﹣ ﹣ + , ﹣ + ﹣ +…+ ﹣

< ,

即 Sn< . 点评: 本题考查求数列的通项及求和,利用裂项相消法是解决本题的关键,属于中档题. 18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面四边形 ABCD 为直角梯形,对角线 AC,BD 交与点 M,BC∥AD,AB⊥BC,AB=BC=1,AD=PD=2,PD⊥底面 ABCD,点 N 为棱 PC 上 一动点. (Ⅰ)证明:AC⊥ND; (Ⅱ)若 MN∥平面 ABP,求三棱锥 N﹣ACD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据底面的图形,线段长度判断 AC⊥CD,利用 PD⊥底面 ABCD,AC?底面 ABCD, 转化 PD⊥AC,得出 AC⊥面 PCD,利用直线平面垂直问题的转化即可得证. (2)根据平面图形运用你相似三角形得出 DK=BK,GK=BK,MK=MB, 把 MN∥平面 ABP,转化得出 MN∥AP,PD∥NW,NW= = , =2,

= ,求解底面积,高即可求

解体积. 关键是判断 N 点的位置. 解答: 证明(1)∵底面四边形 ABCD 为直角梯形,对角线 AC,BD 交与点 M,BC∥AD, AB⊥BC,AB=BC=1,AD=2, ∴AC= ,DC= , ∵AD=2, ∴根据勾股定理得出 AC⊥CD, ∵PD⊥底面 ABCD,AC?底面 ABCD, ∴PD⊥AC, ∵CD∩PD=D, ∴AC⊥面 PCD, ∵ND?底面 ABCD,点 N 为棱 PC 上一动点. ∴AC⊥ND; 解: (2)∵梯形 ABCD 中:BC∥AD,AB⊥BC,AB=BC=1,AD=PD=2, 取 AD 中点 G,连接如图: ∴DK=BK,GK=BK,MK=MB, ∵MN∥平面 ABP, = , =2

∴MN∥AP, ∴ = = ,

作 NW⊥面 ABCD,垂足在 CD 上, ∵PD⊥底面 ABCD, ∴PD∥NW,

可得

= = , AD×1= =1, =

即 NW= ∵S△ ACD=

∴棱锥 N﹣ACD 的体积=

点评: 本题综合考查了空间直线在几何体中点位置关系,探索点的位置,把立体问题转化 为平面问题求解,运用好平行分线段成比例的知识,属于难题. 19. (12 分)某中学 2014-2015 学年高二学生社团利用国庆节和元旦假期,对居民小区逐户进 行两次“低碳生活习惯”的调查,计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低 碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少 75%的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低 碳小区”,否则称为“非低碳小区”.国庆节期间调查的 6 个小区中低碳族的比例分别为 , , , , , .元旦期间在 6 个住宅小区内选择两个小区进行第二次调查.

(Ⅰ)求该社团选的两个小区至少有一个为“低碳小区”的概率;

(Ⅱ)假定选择了一个“非低碳小区”为小区 A,显示其“低碳族”的比例为 ,国庆节收集的数 据如图甲所示,经过社团成员的大力宣传,经过三个月后,元旦收集的数据如图乙所示,问 这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?

考点: 频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ) 利用列举法求出从 6 个小区中任选 2 个小区的基本事件数以及至少有一个为“低 碳小区”的基本事件数,计算对应的概率; (Ⅱ) 根据题意求出符合“低碳小区”的标准月排放量, 再根据频率分布直方图乙, 计算符合“低 碳小区”对应的频率即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意,得; 这 6 个小区中有 2 个“低碳小区”分别记为 A,B,其他 4 个为“非低碳小区”,记为 c、d、e、f; 从这 6 个小区中任选的 2 个小区,基本事件为: AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef 共 15 种, 其中至少有一个为“低碳小区”的基本事件为: AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf 共 9 种, ∴所求的概率为:P= = ;

(Ⅱ)∵该小区显示其“低碳族”的比例为 , 又结合频率分布直方图甲,得; 0.05+0.15+0.3=0.5= , ∴前 3 个小组的月排放量符合“低碳小区”的标准,即小于或等于 3(百千克) ; ∴根据频率分布直方图乙,得; 月排放量小于或等于 3(千克)的频率为 1﹣0.06﹣0.13=0.81>75%, ∴经过三个月后,元旦收集的数据显示该小区 A 已达到“低碳小区”的标准. 点评: 本题考查了用列举法求古典概率的应用问题,也考查了利用频率估计概率的应用问 题,是基础题目.

20. (12 分)如图,抛物线 C1:x =2py(p>0)的焦点为 F,椭圆 C2:

2

+

=l (a>b>0)

的离心率 e=

,C1 与 C2 在第一象限的交点为 P(2,1) .

(Ⅰ)求抛物线 C1 及椭圆 C2 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与椭圆 C2 交于不同两点 A、B,点 M 满足 直线 FM 的斜率为 k1,且 k?k1= ,求 t 的取值范围. = ,

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;抛物线的标准方程. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)借助于抛物线过点 P,先求抛物线方程,再利用离心率公式,结合椭圆的 a, b,c 的关系,求椭圆方程; (Ⅱ)点 M 满足 = ,等价于点 M 为线段 AB 的中点,由直线 l 与椭圆方程联立,运

用判别式大于 0,以及韦达定理和中点坐标公式,结合条件得到 t 的不等式,运用二次不等式 的解法,即可得到范围. 解答: 解: (Ⅰ)将 P( 2,1)代入 x =2py 得 p=2, 2 ∴抛物线 C1 的方程为 x =4y,焦点 F(0,1) 把 P(2,1)代入椭圆 C2:
2 2 2 2

+

=l 得

+

=1,

又 e= ∴a=2

,a =b +c , ,b= , + =1;

故椭圆 C2 的方程为

(2)由直线 l:y=kx+t 与
2 2 2

+

=1 联立得,

(1+4k )x +8ktx+4(t ﹣2)=0, 2 2 △ >0 得 2+8k >t ①

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 x1+x2=



由题意点 M 为线段 AB 的中点,设 M(xM,yM) , ∴xM= ,yM= ,

∴k1=



∴kk1= 即有 4k =2t﹣1,
2

= ,

由①可得,2t﹣1> (t ﹣2) , 解得 0<t<4. 则 t 的取值范围为(0,4) . 点评: 本题主要考查圆锥曲线相交,求圆锥曲线方程,利用了待定系数法,同时考查了直 线与曲线相交问题,向量共线的定理的运用,考查运算求解能力,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=2ae +1,g(x)=lnx﹣lna+1﹣ln2,其中 a 为常数,e≈2.718,函 数 y=f(x)的图象与坐标轴交点处的切线为 l1,函数 y=g(x)的图象与直线 y=1 交点处的切 线为 l2,且 l1∥l2. (Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)若对任意的 x∈[1,5],不等式 x﹣m> 成立,求实数 m 的取值范围. 2 (Ⅲ)若 F(x)=λx ﹣x+1﹣g(x) (λ>0)有唯一零点,求 λ 的值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)分别求得切点处的导数值,可得方程,进而可得 a 值; (Ⅱ)不等式可化为 m<x﹣ ex,令 h(x)=x﹣ ex,求导数可得函数 h(x)在[1,5]上 是减函数,从而可得 m<h(5)即可; (Ⅲ)由(Ⅰ)知 g(x)=lnx+1,则 F(x)=λx ﹣lnx﹣x,则 F′(x)= F'(x)=0,2λx ﹣x﹣1=0.由此进行分类讨论,能求出 λ. 解答: 解: (Ⅰ)函数 y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0,2a+1) , x 又 f′(x)=2ae ,∴f′(0)=2a, 函数 y=g(x)的图象与直线 y=1 的交点为(2a,1) , 又 g′(x)= ,g′(2a)= 由题意可知,2a=
2 2 2 x

2

.令



,即 a = 又 a>0,

所以 a= , (Ⅱ)不等式 x﹣m> 令 h(x)=x﹣ ∵x>0,∴
x x

f(x)﹣

可化为 m<x﹣ + )e ,
x

f(x)+

即 m<x﹣

e,

x

e ,则 h′(x)=1﹣( + ≥2 = + ,

又 x>0 时,e >1,∴(

)e >1,故 h′(x)<0,

x

∴h(x)在(0,+∞)上是减函数, 即 h(x)在[1,5]上是减函数, 因此,在对任意的 x∈[1,5],不等式 x﹣m> f(x)﹣ 成立, 5 只需 m<h(5)=5﹣ e , 5 所以实数 m 的取值范围是(﹣∞,5﹣ e ) ; 2 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 g(x)=lnx+1,则 F(x)=λx ﹣lnx﹣x, 则 F′(x)=
2



令 F′(x)=0,2λx ﹣x﹣1=0. 因为 λ>0,所以△ =1+8λ>0, 方程有两异号根设为 x1<0,x2>0. 因为 x>0,所以 x1 应舍去. 当 x∈(0,x2)时,F′(x)<0,F(x)在(0,x2)上单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,F′(x)>0,F(x)在(x2,+∞)单调递增. 当 x=x2 时,F′(x2)=0,F(x)取最小值 F(x2) . 因为 F(x)=0 有唯一解,所以 F(x2)=0, 则 ,因为 λ>0,所以 2lnx2+x2﹣1=0(*)

设函数 h(x)=2lnx+x﹣1,因为当 x>0 时, h(x)是增函数,所以 h(x)=0 至多有一解. 因为 h(1)=0,所以方程(*)的解为 x2=1, 代入方程组解得 λ=1. 点评: 本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用,解题时要认真审题,仔细解 答,注意合理地进行等价转化. 请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答 时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,已知 PE 切圆 O 于点 E,割线 PBA 交圆 O 于 A,B 两点,∠APE 的平分 线和 AE、BE 分别交于点 C,D (Ⅰ)求证:CE=DE; (Ⅱ)求证: = .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题. 分析: (Ⅰ)通过弦切角定理以及角的平分线,直接证明三角形是等腰三角形,即可证明 CE=DE; (Ⅱ)利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证: 解答: 证明: (Ⅰ)∵PE 切圆 O 于 E,∴∠PEB=∠A, 又∵PC 平分∠APE,∴∠CPE=∠CPA, ∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA, ∴∠CDE=∠DCE,即 CE=DE. (Ⅱ)因为 PC 平分∠APE∴ , = 即可.

又 PE 切圆 O 于点 E,割线 PBA 交圆 O 于 A,B 两点, 2 ∴PE =PB?PA, 即 ∴ =

点评: 本题考查圆的切割线定理,弦切角定理的应用,考查逻辑推理能力. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】
2 2

23.直线 l 的参数方程为

,曲线 C 的极坐标方程(1+sin θ)ρ =2.

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于两点 A、B,若点 P 为(1,0) ,求 + .

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (I)由直线 l 的参数方程为

,消去 t 即可得出,由曲线 C 的极坐标方程

(1+sin θ)ρ =2,利用 ρ =x +y ,
2 2

2

2

2

2

2

即可得出.
2

(II)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x +2y =2,得 7t +4t﹣4=0.设 A、B 两点在直线 l 中 对应的参数分别为 t1、t2,利用根与系数的关系、参数的意义即可得出.

解答: 解: (I)由直线 l 的参数方程为
2 2 2

,消去 t 可得 l:
2 2



由曲线 C 的极坐标方程(1+sin θ)ρ =2,可得 x +y +y =2. 即 .
2 2 2

(II)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x +2y =2,得 7t +4t﹣4=0. 设 A、B 两点在直线 l 中对应的参数分别为 t1、t2, 则 , .

∴ ∴ .



点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数的应 用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知关于 x 的不等式|2x﹣m|≤1 的整数解有且仅有一个值为 1. (Ⅰ)求整数 m 的值; (Ⅱ)已知 a,b,c 均为正数,若 2a+2b+2c=m,求 的最小值.

考点: 函数的最值及其几何意义;绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (I)通过解|2x﹣m|≤1 可得 论; (II) 通过 2a+2b+2c=m 得 a+b+c=1. 利用基本不等式的性质可得 即可得出结论. 解答: 解: (I)∵|2x﹣m|≤1, +b≥2a, +c≥2c, +a≥2c, ≤x≤ ,利用其整数解有且仅有一个值为 1 即得结

∴﹣1≤2x﹣m≤1, 解得 ≤x≤ ,

由于整数解有且仅有一个值为 1,





∴1<m<3. 故整数 m 的值为 2; (II)由 2a+2b+2c=m,得 a+b+c=1. ∵ ∴ 即 ∴ 故 +b≥2a, + + + + + + + + +c≥2c, +a≥2c,

+(a+b+c)≥2(a+b+c) , ≥a+b+c ≥1,当且仅当 a=b=c 时取等号, 的最小值为 1.

点评: 本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的解法,考查了推理能力与计算能力, 注意解题方法的积累,属于中档题.


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