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淮口中学高2014届高三数学模拟试题(七)


内部资料 整理保存

则其中分数在 90,100 范围内的样本数据有(

淮口中学高 2014 届高三数学模拟试题(七)

?

?



理工农医类
命题人:崔亮 I ( 本试卷分选择题和非选择题两部分。第 卷 选择题)1 至 2 页,第 II 卷

(非选择题)3 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂 其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 结束后,只将答题卡交回。 第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项,有且只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数 y ? lg x 的定义域为 A , B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B ? ( A. ? 0, ??? B. 0,1

A. 5 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个 6 .在 ?ABC ,三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若内角 A 、 B 、 C 依次成等差数列,且不等式

? x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 S ?ABC ? (
A.

) C. 3 3 D. 4 3 ( )

?

?

3

B. 2 3

) D. 0,1? )

? ?

C. ? 0,1

?

?

7.用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 A.18 B.36 C.54 D.72

2.已知复数 z 对应的向量如图所示,则复数 z+1 所对应的向量正确的是(

y 2 x2 8.已知双曲线 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率为 2,若抛物线 C2: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐 a b
近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是 A. y 2 ? 8x B. y 2 ?

16 3 x 3

C. y 2 ?

8 3 x 3
??? ? ??? ?

D. y 2 ? 16 x

3. sin15? ? cos15? 的值为 A.

9.已知圆 O 的半径为 1 , PA、PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为( C.

)

1 2

B.

6 4

6 2

D. )

3 2 2

A. ?4 ? 2

B. ?3 ? 2

C. ?4 ? 2 2

D. ?3 ? 2 2

4. 对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是( A.若 a ? m, a ? n, m ? ? , n ? ? , ,则 a ? ? B.若 a // b, b ? ? ,则 a // ? C.若 ? / / ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?

? 2x3 ?1 ? , x ? ? ,1?, ? ? ? x ?1 ?2 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) ,若存在 x1 , x2 ? ?0,1? ,使得 6 ?? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ?. ? ? ? 6 ? 2? ? 3
f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
A. ? , ? 2 3

?1 4? ? ?

B. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D. ? ,1? 2

?1 ? ? ?

5. 某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数, 并绘制成如图所示的频率分布直方图, 样本数据分组为 50,60? 、

?

?60,70? 、 ?70,80? 、 ?80,90? 、 ?90,100? .若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在 ?80,100? 范围内的数据 16 个,
试卷第 1 页,总 2 页

第 II 卷(选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.二项式 ( x ?
2

17.已知函数 f(x)=2sin ?

??x ? ? ? ? (0≤x≤5),点 A、B 分别是函数 y=f(x)图象上的最高点和最低点. ? 6 3?
??? ? ??? ?

1 9 ) 的展开式中,含 x3 的项的系数是__________ x

(Ⅰ)求点 A、B 的坐标以及 OA · OB 的值;

12.若直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 和 l2 :3x ? ? a ? 1? y ? 1 ? 0 垂直,则实数

a 的值为

.

(Ⅱ)设点 A、B 分别在角 α、β 的终边上,求 tan(α-2β)的值. 18.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 t 该产品获利润 元,未售出的产品,每 t 亏损 元. t

13.某班数学Ⅰ测试的卷面成绩从高到低依次为 a1 、 a2 、… a50 ,小兵设计了一个程序框图(如图) ,计算并输出 本次测试卷面成绩最高的前 30 名学生的平均分 a .图 3 中,语句(1)是 ,语句(2)是 .

根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 该农产品,以 (单位:t, )表示下一个销售季度内的市场需求量, (单位:元)表示下一个销售

季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ) 将 表示为 的函数; 不少于 57000 元的概率;
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

频率 / 组距

(Ⅱ) 根据直方图估计利润

(Ⅲ) 在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 ,则取 的概率),求利润 ,且 的数学期望.
?

的概率等于需求量落入

100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

ABCD , BB1 、 ?BAD ? 60 ,AB ? a , 19. 如图, 几何体 ABCD ? B1C1D1 中, 四边形 ABCD 为菱形, 面 BCD 1 1 1 ∥面

CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点, F 为 AB 的中点.
(Ⅰ)当正视图方向与向量 FD 的方向相同时,画出四棱锥 ABCD ? B1C1D1 的三视图 (要求标出尺寸); 14.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ,若过点 A ? 0,16? 且与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程为 y ? ax ? 16 ,则实数 a 的值是 (Ⅱ)求几何体 ABCD ? B1C1D1 的体积; (III)求二面角 B1 ? DE ? F 的大小. 20.已知 A, B 是抛物线 W : y ? x2 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为 k, O 为坐标原点. (Ⅰ)若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D ,求 OD 的最小值.

??? ?

15 . 已 知 D 是 函 数 y ? f ( x ), x ? [a , b] 图 象 上 的 任 意 一 点 , A, B 是 该 图 象 的 两 个 端 点 , 点 C 满 足

AC ? ? AB , DC ? i ? 0 , (其中 0 ? ? ? 1, i 是 x 轴上的单位向量) , 若 | DC |? T ( T 为常数)在区间 [a , b] 上恒成立,
则称 y ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上具有 “ T 性质”.现有函数:

?

?

?

?

?

?

2 ① y ? 2x ? 1; ② y ? ?1; x 1 则在区间 [1,2] 上具有“ 性质”的函数为 4

③ y ? x2 ; .

1 ④ y ? x? . x

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1(a ? 0) 。 (Ⅰ)试探究函数 f ( x) 的零点个数; (Ⅱ)若 f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0)( x1 ? x2 ) 两点, AB 中点为 C ( x0 , 0) ,设函数 f ( x) 的导函数为

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。 16.已知等差数列 ?a n ? 满足: a 5 ? 11, a 2 ? a 6 ? 18 . (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? q n ( q ? 0 ),求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n .
a

f ?( x) , 求证: f ?( x0 ) ? 0 。

试卷第 2 页,总 2 页

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:∵

A? x x?0

?

? ,∴ A ? B ?

?x 0 ? x ? 1? ,选 C.

考点:1、函数的定义域;2、集合的运算. 2.A 【解析】 试题分析:由图可知 z ? ?2 ? i ,所以 z ? 1 ? ?1 ? i ,则复数 z+1 所对应的向量的坐标为

? ?1,1? 。故 A 正确。
考点:1 复数的基本运算,2 复数和复平面内的点一一对应。 3.C. 4



5. 【答案】B 【解析】 试题分析:分数段在 80,100 范围内占所有分数段的百分比为 ? 0.025 ? 0.010? ?10 ? 0.4 , 其中分数在 90,100 范围内的人数占所有分数段的百分比为 0.015 ?10 ? 0.15 , 因此分数在

?

?

?

?

?90,100? 占分数在 ?80,100? 范围内的百分比为
本数据有 16 ?

0.15 3 ? ,因此分数在 ?90,100? 范围内的样 0.4 8

3 ? 6 ,故选 B. 8

考点:频率分布直方图 6.B 【解析】
2 c ? 4, 试题分析: 由于不等式 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} , 又角 A 、 ? a ? 2,

B 、 C 依次成等差数列,? B ?

? 1 ? ,于是 S ?ABC ? ? 2 ? 4 ? sin ? 2 3 . 3 2 3

考点:一元二次不等式的解法,等差数列的性质,三角形的面积. 7.B 8.D 【解析】
答案第 1 页,总 9 页

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试题分析:双 曲 线 C1:

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的 离 心 率 为 2 . a 2 b2

所以

c a 2 ? b2 b2 =2 , 即 , 所 以 ? 4 ? 3;双曲线的渐近线方程为: a a2 a2

y x p ? ? 0 ,抛 物 线 C 2 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 ( , 0) 到 双 曲 线 C 1 的 渐 近 线 的 距 离 a b 2
为 2,

p | 2 |? 1 2 1 2 b2 b ? 2 所以 , 所 以 p=4b ( ) ? ( ) =4 1 ? 2 ? 8 . a b a 1 2 1 2 ( ) ?( ) a b
抛 物 线 C 2 的 方 程 为 y 2 ? 16 x . 9.D 【解析】 试题分析: 如图, 设 ?APO ? ? , AP ? x , 由圆的半径为 1 , 得到:BP ? x,sin ? ? 所 以
2

??? ?

??? ?

1 x2 ? 1






2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? PA ? PB ? cos 2? ? x 2 ? ?1 ? 2sin ? ? ? x ?

2 2 2 ?2 ? x ? 1? 2 ?3? 2 2 ?3 x ?1 x ?1

A
O

P

B
10.A 【解析】记函数 f ( x ) 的值域为 A ,函数 g ( x) 的值域为 B ,由题 A ? B ? ? 1、当 x ? ? ,1? 时, f ?( x) ?

?1 ? ?2 ?

4 x 2 +6 x 2

? x ? 1?

2

1 >0, 故 f ( x ) ? ( ,1] 6

当 x ? ?0, ? 时, f ( x) ? [0, ] 6 2 因此 A ? [0,1]

? 1? ? ?

1

答案第 2 页,总 9 页

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1 3 x) ? [0, ] ,于是 B =[2 ? 2a,2 ? a] 6 6 6 2 2 3 1 4 3、若 A ? B =? ,则 2 ? 2a >1 或 2 ? a <0 ,解得 a < 或 a > 2 2 3
2、当 x ? 0,1 时,

? ?

?

x ? [0,

?

] ? sin (

?

于是答案选 A 11.-126 【解析】 试题分析:利用二项展开式通项公式可得, Tr ?1 ? C9 ( x )
r 2 9?r

1 (? ) r ? (?1) r C9r x18?3r ,令 x

5 18 ? 3r ? 3,可得 r ? 5 ,代入可得所求系数为 (?1)5 C9 ? ?126 .

12. ?

1 5
s s (或 a ? 、…) 30 i ?1


13. 【答案】⑴ i ? 30 (或 i ? 31 、…) ;⑵ a ? 14

15.①②③④ 【解析】 试题分析:① y ? 2 x ? 1 ;显然

DC ? 0 ?

1 4;

y?


y ? 3 x ?1 2 ?1 ? ? y ? ?x ? 4 x ;直线 AB 的方程为: 2 ? 3 2 ? 1 ,设 D 点的横坐标为

2 2 1 DC ? ?t ? 4 ? ? 1 ? 3 ? (t ? ) ? 3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? t (1 ? t ? 2) ,则 t t 4 .所以具有 T 性
质;

y?4 x?2 ? ? y ? 3x ? 2 1? 4 1? 2 ③y?x , 直线 AB 的方程为: , 设 D 点的横坐标为 t (1 ? t ? 2) ,
2

答案第 3 页,总 9 页

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3 1 1 DC ? 3t ? 2 ? t 2 ? 3t ? 2 ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? ? 2 4 4; 则



y ? x?

3 3 1 y ? x? 2 2 ,设 D 点的横坐标为 t (1 ? t ? 2) ,则 x . 直线 AB 的方程为:

DC ?

3 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 t? ?t ? ? ? ( t?) ? ? 2 t ? ? ?2 ? 2 2 t 2 2 t 2 2 t 2 4 .

考点:1、新定义;2、函数及重要不等式.
?n?n ? 3?, ?q ? 1? ? q 3 1 ? q 2n 16. (I) a n ? 2n ? 1 ; (II) s n ? ? 2 . n ? 2 n ? , ?q ? 0, q ? 1? ? 2 1? q ?

?

?

【解析】 试题分析: (I)由题设得: ?
a n ? 2n ? 1 ;

?a1 ? 4d ? 11 解这个方程组得: ?2a1 ? 6d ? 18

?a1 ? 3 ,所以 ?an ? 的通项公式 ? ?d ? 2

(II)由 a n ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? q 2n?1 .由于 q 的值不确定,故需要对进行讨论. ①当 q ? 0且q ? 1 时,则分为两组求和; ② 当 q ? 1 时, bn ? 2n ? 2 ,得 Sn ? n?n ? 3? . 试题解析: (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 由 a 5 ? 11, a 2 ? a 6 ? 18 得 ?
?a1 ? 4d ? 11 ?2a1 ? 6d ? 18

d ,则
2分

解得 ?

?a1 ? 3 ,所以 ?an ? 的通项公式 a n ? 2n ? 1 ?d ? 2

5分

(II)由 a n ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? q 2n?1 .

7分

①当 q ? 0且q ? 1 时, s n ? ?3 ? 5 ? 7 ? ? ? ?2n ? 1?? ? ?q3 ? q5 ? q7 ? ? ? q 2n ? 1? = n 2 ? 2n ?
q 3 1 ? q 2n 1? q
2

?

?

10 分

② 当 q ? 1 时, bn ? 2n ? 2 ,得 Sn ? n?n ? 3? ;
?n?n ? 3?, ?q ? 1? ? q 3 1 ? q 2n 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n ? ? 2 n ? 2 n ? , ?q ? 0, q ? 1? ? 1? q 2 ?

?

?

12 分

答案第 4 页,总 9 页

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考点:等差数列与等比数列. 17. 【答案】 (1)3(2) 【解析】(1)∵0≤x≤5,∴

29 2

? ? x ? 7? ≤ , ? ≤ 3 6 3 6

∴-

1 ??x ? ? ≤sin ? ? ? ≤1. 2 ? 6 3? ?




?x ?
6 3

? ??x ? ? ,即 x=1 时,sin ? ? ? =1,f(x)取得最大值 2; 2 ? 6 3?
7? 1 ??x ? ? ,即 x=5 时,sin ? ? ? =- ,f(x)取得最小值-1. 6 2 ? 6 3?



?x ?
6 ? 3



因此,点 A、B 的坐标分别是 A(1,2)、B(5,-1). ∴ OA · OB =1×5+2×(-1)=3. (2)∵点 A(1,2)、B(5,-1)分别在角 α、β 的终边上, ∴tan α=2,tan β=- ,

??? ? ??? ?

1 5

1 5 2 ?(- ) 2-(- ) 5 5 =- ,∴tan(α-2β)= 12 = 29 . ∵tan 2β= 1 5 12 1 ?(- )2 1+2(- ) 2 12 5
18.

19



答案第 5 页,总 9 页

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z
D1

C1 B1
E

H
D

C

O

x A

F

B

y

答案第 6 页,总 9 页

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20.试题解析: (Ⅰ)解:抛物线 y ? x2 的焦点为 (0, ) .

1 4

由题意,得直线 AB 的方程为

y ? 1 ? k ( x ? 1) ,
令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? k ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) . 因为抛物线 W 的焦点在直 线 AB 的下方, 所以 1 ? k ?

1 3 ,解得 k ? . 4 4

2 (Ⅱ)解:由题意,设 B( x1 , x12 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) ,

联立方程 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?y ? x ,
2

消去 y ,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 , 由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,
2

所以 x1 ? k ? 1 . 同理, 得 AC 的方程为 y ? 1 ? ?

1 1 ( x ? 1) ,x2 ? ? ? 1 . 对函数 y ? x2 求导, 得 y? ? 2 x , k k

所 以 抛 物 线 y ? x2 在 点 B 处 的 切 线 斜 率 为 2 x1 , 所 以 切 线 BD 的 方 程 为

答案第 7 页,总 9 页

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y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ) , 即 y ? 2 x1x ? x12 . 同理,抛物线 y ? x2 在点 C 处的切线 CD 的方
程为 y ? 2 x2 x ? x
2 2 .联立两条切线的方程
2 ? x ? x2 1 1 ? y ? 2 x1 x ? x1 , ? (k ? ? 2) , 解得 x3 ? 1 ? 2 2 2 k ? ? y ? 2 x2 x ? x2 ,

y3 ? x1 x2 ?

1 1 1 1 ? k , 所 以 点 D 的 坐 标 为 ( (k ? ? 2), ? k ) . k 2 k k

因此点 D 在定直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上. 因为点 O 到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| 2?0 ? 0 ? 2 | 2 ?1
2 2

?

2 5 ,所以 5

OD ≥

4 2 1 2 2 5 1? 2 6 , 当且仅当点 D ( ? , ? ) 时等号成立. 由 y3 ? ? k ? ? , 得k ? , 5 5 k 5 5 5
1 ? 26 2 5 时, OD 有最小值 . 5 5

验证知符合题意.所以当 k ?

考点:1、直线的方程;2、直线和抛物线的位置关系;3、导数的几何意义. 21. (1) 0 ? a ? 1 时, f ( x) 有 2 个零点; a ? 1 时, f ( x) 有 1 个零点; a ? 1 时 f ( x) 没有 零点; (2)证明详见解析. 【解析】 试题分析: (1)先求导 f ' ( x) ?

1 1 ? ax ,求出极值点,然后分类求出函数的零点个数. ?a ? x x

(2) 首先用函数的零根 x1 , x2 表示出 a, 即a ? x0 ,

ln x1 ? ln x2 x ?x (0 ? x1 ? x2 ) ,x0 = 1 2 , 2 x1 ? x2
x

2( 1 ? 1) x 1 x1 ,设 1 ? t ? (0,1) , 然后代入 f ?( x0 ) ? ? a 中,整理得 f ' ( x0 ) ? 1 [ x2 ? ln ] x0 x2 x1 ? x2 x1 ? 1 x2 x2

2(t ? 1) ? ln t , t ? (0,1) ,通过导数求 h(t ) 的值域大于 0 即可得证. t ?1 1 1 ? ax 1 1 1 试题解析: (1)f ' ( x) ? ? a ? , 则 x= 是极大值点, 函数 f ( x) 极大值 f ( ) ? ln , x x a a a 1 1 1 (0, ) 是单调增区间, ( , +?) 是单调减区间; (1)当 ln ? 0 , 即 0 ? a ? 1 时, f ( x) a a a 1 1 有 2 个零点; (2)当 ln ? 0 , 即 a ? 1 时,f ( x) 有 1 个零点; (3)当 ln ? 0 , 即 a ? 1 时 f ( x) a a
则 h(t ) ? 没有零点; (2)由 f ( x1 ) ? 0 ? ln x1 ? ax1 ? 1 ? 0, 得 a ? ln x1 ? ln x2 (0 ? x1 ? x2 ) x1 ? x2 f ( x2 ) ? 0 ? ln x2 ? ax2 ? 1 ? 0,

f ' ( x0 ) ?

ln x1 ? ln x2 2( x ? x ) x 1 2 2 1 ?a ? ?a ? ? ? [ 1 2 ? ln 1 ] x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2
答案第 8 页,总 9 页

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x 2( 1 ? 1) x1 2(t ? 1) x x 1 = 2 [ ? ln 1 ] ,令 x ? t ? (0,1) ,设 h(t ) ? t ? 1 ? ln t , t ? (0,1) 2 x1 ? x2 x1 ? 1 x2 x2

则 h' (t ) ?

4 1 ?(t ? 1)2 ,又 t ? (0,1) ,? h' (t ) ? 0 ,? h(t ) ? h(1) ? 0 ? ? (t ? 1)2 t (t ? 1)2 t

x1 ? 1) 1 x 即 x2 ? 0 ,? f ?( x0 ) ? 0 。 ? ln 1 ? 0 ,又 x ? x x1 x 1 2 2 ?1 x2 2(
考点:1.函数的导数和导数的性质;2.不等式的证明.

答案第 9 页,总 9 页


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