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片段之十三:从一道自编题来探究圆锥曲线的定值与定点问题


从一道自编题来探究圆锥曲线的定值与定点问题
题目(自编) : 若 A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的长轴顶点, P 为椭圆任一点(非长轴顶点) ,若直线 25 16
25 于 M , N ,证明: y M y N 及 k AN k BM 均为定值. 3

AP , BP 分别交直线 x ?

/>证明如下:令 P( x0,y0 ) ,易得直线 AP , BP 的方程分别为 y ?

y0 ( x ? 5) , x0 ? 5

y?

y0 10y 0 40y 0 25 将两式分别与直线 x ? 联立解得 y M ? ,y N ? ( x ? 5) . 3 x0 ? 5 3( x0 ? 5) 3( x0 ? 5)
256 16 ,将上述 M , N 的坐标代入斜率公式易得 k AN k BM =. 9 25 25 从上述证明过程可以看出本题并不困难,但仔细推敲会发现:直线 x ? 其实就是准 3

由此得到 y M y N = ? ?

线,如果不是准线,会有规律吗?我们从近十年来,特别是新课改以来全国各地的高考(模 拟)试题频繁出现证明定值、定点的问题,而且往往是压轴题,在高考的紧张气氛加上时间 仓促的情况下几乎让考生束手无策.本专题试图探究与圆锥曲线有关的定值、定点问题.

一、一题多变的教学价值
从上述自编题目的前半部分出发经研究得到: 结论 1: A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的长轴顶点, P 为椭圆任一点(非长轴 a2 b2
a2 ( 0 ? m ? a )于 M , N ,则 y M ? y N 为定 m

顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ?

值,且有 y M ? y N ?

b 2 (m 2 ? a 2 ) . m2

证明如下:如图所示,令 P( x0,y0 ) ( x0 ? ?a ) ,容易得到直线 AP , BP 的方程分 别为

y?

y0 y0 ( x ? a) , y ? ( x ? a) . x0 ? a x0 ? a

a2 将上述两式分别与直线 x ? 联立解得 m

yM ?

y0 a 2 y0 a 2 ( ? a) , y N ? ( ? a) x0 ? a m x0 ? a m

498

? yM y N ?

y0
2

2

x0 ? a 2

(

a2 a2 ? a)( ? a) m m

=? 由结论 1 就容易得到: 结论 2 : A , B 为椭圆

b 2 2 a ? m a ? m b 2 (m 2 ? a 2 ) ?a ( )( )= . m m a2 m2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

N ,则 EM ? FN 为定值,且有 EM ? FN =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? m 2 ? b 2 ) . m2

证明如下:如图所示,由结论 1 的推理过程易得 ( EM =

y y a2 a2 a2 a2 ? m , 0 ( ? a) ) , FN ?( ? m , 0 ( ? a) ) m m x0 ? a m x0 ? a m

? EM ? FN = (

y a2 a2 a2 a2 ? m)( ? m) + 2 0 2 ( ? a)( ? a) m m m x0 ? a m
=

2

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? m 2 ) b 2 2 a 2 ? m 2 ? 2 ?a ? m2 a m2 (a 2 ? m 2 )(a 2 ? m 2 ? b 2 ) . m2

=

结论 3 : A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

N ,则 EN ? FM 为定值,且有 EN ? FM =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? m 2 ? b 2 ) . m2

x2 y2 结论 4 : A , B 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a b
(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

a2 于M , m

499

N ,则 FM ? FN 为定值,且有 FM ? FN =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? m 2 ? b 2 ) . m2

结论 5 : A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

(a 2 ? m 2 ) 2 ? b 2 (a 2 ? m 2 ) N ,则 EM ? EN 为定值,且有 EM ? EN = . m2
结论 6 : A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? am ? b 2 ) N ,则 BM ? FN 为定值,且有 BM ? FN = . m2
结论 7 : A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

N ,则 AM ? FN 为定值,且有 AM ? FN =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? am ? b 2 ) . m2

结论 8 : A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

N ,则 AM ? BN 为定值,且有 AM ? BN =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ) . m2

事实上,上述所有的结论完全可以类比到双曲线: 结论 9 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2

500

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,

a2 于M , m

N ,则 y M y N 为定值,且有 y M y N ?

b 2 (a 2 ? m 2 ) . m2

证明如下:如图所示,令 P( x0 , y0 ) ,容易得到直线 AP , BP 的方程分别为

y?

y0 y0 ( x ? a) , y ? ( x ? a) . x0 ? a x0 ? a
a2 联立解得 m

将上述两式分别与直线 x ?

yM

y0 a 2 y0 a 2 ? ( ? a) , y N ? ( ? a) x0 ? a m x0 ? a m

? yM y N ?

y0
2

2

x0 ? a 2

(

a2 a2 ? a)( ? a) m m

= 由结论 9 就容易得到: 结论 10 : A , B 为双曲线

b 2 2 a ? m a ? m b 2 (a 2 ? m 2 ) ?a ( )( )= . m m a2 m2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,

N ,则 EM ? FN 为定值,且有 EM ? FN =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ? m 2 ) . m2

证明如下:如图所示,由结论 9 的推理过程易得

y0 a 2 y0 a 2 a2 a2 ?m, ( , EM = FN ?( ? m , ( ? a) ) ( ? a) ) m m x0 ? a m x0 ? a m

? EM ? FN = (

y a2 a2 a2 a2 ? m)( ? m) + 2 0 2 ( ? a)( ? a) m m m x0 ? a m
=

2

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? m 2 ) b 2 2 a 2 ? m 2 ? 2 ?a ? m2 a m2

501

=

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ? m 2 ) . m2

结论 11 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ? m 2 ) N ,则 EN ? FM 为定值,且有 EN ? FM = . m2
结论 12 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ? m 2 ) N ,则 FM ? FN 为定值,且有 FM ? FN = . m2
结论 13 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,

N ,则 EM ? EN 为定值,且有 EM ? EN =

(a 2 ? m 2 ) 2 ? b 2 (a 2 ? m 2 ) . m2

结论 14 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,

N ,则 BM ? FN 为定值,且有 BM ? FN =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ? am) . m2

结论 15 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,
502

N ,则 AM ? FN 为定值,且有 AM ? FN =

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ? am) . m2

结论 16 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP ,

(a 2 ? m 2 )(a 2 ? b 2 ) N ,则 AM ? BN 为定值,且有 AM ? BN = . m2
从上述自编题目的后半部分出发经研究得到: 结论 17: A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, P 为椭圆任一点(非长 a2 b2
a2 于 M , N ,则 k AP k BP 为定值,且有 m
2

轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ?

b2 k AP k BP ? k AM k BN = e ? 1 = ? 2 . a
证明如下:令 P( x0 , y0 ) ,如图所示, k AP = k AM =

y0 y0 , k BP = k BN = ,则有 x0 ? a x0 ? a
2

y0 y0 y0 = 2 k AP k BP = x0 ? a x0 ? a x 0 ? a 2

b2 a2 ? c2 2 =? 2 =? = e ? 1 = k AM k BN . 2 a a
结论 18: A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, P 为椭圆任一点(非长 a2 b2
a2 于 M , N ,则 k AN k BM 为定值,且有 m

轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ?

k AN k BM = e 2 ? 1 = ?

b2 . a2

结论 19: A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, P 为椭圆任一点(非长 a2 b2

503

轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ?

a2 于 M , N ,则 k AM k AN 为定值,且有 m

k AM k AN =
结论 20: A , B 为椭圆

a?m 2 (e ? 1) . a?m

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, P 为椭圆任一点(非长 a2 b2

a2 轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ? 于 M , N ,则 k BM k BN 为定值,且有 m

k BM k BN =
结论 21 : A , B 为椭圆

a?m 2 (e ? 1) . a?m

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

b2 N ,则 k EM k FN 为定值,且有 k EM k FN = ? 2 . a ? m2
证明如下:如图所示,由结论 1 的推理过程易得

y0 a 2 y0 a2 ( ? a) ( ? a) x ?a m x ?a m , k FN = 0 k EM = 0 2 a a2 ?m ?m m m
y0 a 2 y0 a2 ( ? a) ( ? a) x ?a m x0 ? a m k FN = 0 2 a a2 ?m ?m m m
b2 2 a2 ? m2 ?a ? 2 2 b2 a m = 2 =? 2 . (a ? m 2 )(a 2 ? m 2 ) a ? m2 m2 ?

? k EM

x2 y2 结论 22 : A , B 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a b
(0 ? m ? a ) ,P 为椭圆任一点 (非长轴顶点) , 若直线 AP ,BP 分别交直线 x ?

a2 于M , m

504

N ,则 k EN k FM 为定值,且有 k EN k FM = ?

b2 . a2 ? m2

上述结论到结论 22 中, A , B 均为椭圆(双曲线)长轴顶点(顶点) ,即 A B 是椭圆 (双曲线)最长(最短)的中心弦,那对于一般的中心弦会有何结论呢? 由结论 1 进一步得到: 结论 23: A , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的任一直径(中心弦) , P 为椭圆上任 a2 b2 b2 2 = e ?1 . 2 a

一点(不与 A , B 点重合) ,则 k PA k PB 为定值,且有 k PA k PB = ?

证明如下:如图所示,令 P ( x0 , y0 ) , A ( m ,n ) ,由椭圆的对称性,则 B ( ? m , .由斜率公式得到 ? n)

y0 ? n y0 ? (?n) y 0 ? n 2 = k PA k PB = ? x0 ? m x0 ? (?m) x 0 2 ? m 2

2

x0 m2 2 b (1 ? 2 ) ? b (1 ? 2 ) 2 a a = ? b = e2 ?1 . = 2 a2 x0 ? m 2
2

2

值得注意的是:上述结论 23 就是 2009 年江南十校模拟试题,事实上,上述结论 17 就 是结论 23 的特殊情况. 若 A B 是非中心弦,那又会有何结论呢? 结论 24:A ,B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的任一弦 (不过原点且不与对称轴平行) , a2 b2

M 为弦 A B 的中点,若 kOM 与 k AB 均存在,则 kOM k AB 为定值,且有

kOM k AB = ?

b2 2 = e ?1 . 2 a

证明如下:如图所示,令 M ( x0,y0 ) , A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) ,则

x1 y x y x ?x y ?y ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 ? 1 2 2 ? 1 2 2 ? 0 2 a b a b a b

2

2

2

2

2

2

2

2

?

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 a2 b2 x0 ( x1 ? x 2 ) y 0 ( y1 ? y 2 ) ? ?0 a2 b2

?

505

?

y 0 y1 ? y 2 b2 b2 ? ? ? 2 = e 2 ? 1 ? kOM k AB = ? 2 = e 2 ? 1 . x0 x1 ? x 2 a a

结论 25:A B 为椭圆

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) 的任一弦 (不与对称轴平行) , 若平行于 AB a2 b2 b2 2 = e ?1 . a2

的弦的中点的轨迹为直线 PQ ,则有 k AB k PQ = ?

x2 y2 结论 26:过椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )上任意一点 P (不是其顶点)作椭圆的切线 PA , a b
则有 k PA k OP = ?

b2 2 = e ?1 . 2 a x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )及定点 F (m,0) , ( ?a ? m ? a) ,过 F 的弦的 a2 b2

结论 27:椭圆

a2 a2 端点为 A , B ,过点 A , B 分别作直线 x ? 的垂线,垂足分别为 D , C ,直线 x ? m m
与 x 轴相交于 E ,则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中点,且有 k AE ? k BE ? 0 . 结论 28: 椭圆

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) 及定点 F (m,0) , ( m ?± c ) , 过 F 任作一条弦 AB , a2 b2
a2 相交于 P , Q ,则有 m

E 为椭圆上任一点,连接 AE , BE ,且分别与准线 x ?

k FP ? k FQ = ? 1 .
那么结论 28 能推广到更一般的情形吗?回答是肯定的! 结论 29:椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )及定点 F (m,0) , ( ? a ? m ? a ,m ? 0 ) ,过 F a2 b2
a2 相交于 P ,Q , m

任作一条弦 AB ,E 为椭圆上任一点, 连接 AE ,BE , 且分别与直线 x ?

则有

b2 . k FP ? k FQ = 2 m ? a2

显然,结论 28 就是结论 29 的特殊情况,即只要令 m =± c 即可. 证明如下:如图所示,利用椭圆的参数方程 ?
506

? x ? a cos? ? ( ? 为参数) ,令 t ? tan , 2 ? y ? b sin ?

? 1? t2 x ? a ? ? ? 1 ? t 2 ( t 为参数) 利用万能公式得到 ? .由此得到 ? y ? b ? 2t ? 1? t2 ?
? 1 ? t1 2 2t1 A ?a ? ? 1? t 2 ,b ? 1? t 2 1 1 ? ? ? ,B ? ? ? 1 ? t2 2 2t 2 ?a ? ? 1? t 2 ,b ? 1? t 2 2 2 ? ? ? ,E ? ? ? 1 ? t3 2 2t 3 ?a ? ? 1? t 2 ,b ? 1? t 2 3 3 ? ? ?. ? ?

利用直线的两点式容易得到直线 AB ,直线 AE 及直线 BE 的方程,由于直线 AB 过点

m?a a2 AE BE .直线 、 分别与直线 x ? 联立,推出 F (m,0) ,代入得到 t1 ? t 2 = m?a m
P ? ?

? a 2 b m ? a ? (m ? a)(t1 ? t 3 ) ? ? , ? ? ,Q t1 ? t 3 ?m m ?

? a 2 b m ? a ? (m ? a)(t 2 ? t 3 ) ? ? ? ? m ,m? ?. t 2 ? t3 ? ?

将上述这些结果代入斜率公式即可. 事实上,上述所有的结论完全可以类比到双曲线. 结论 30: A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的顶点, P 为双曲线上任一点(非 a2 b2
a2 ( m ? a )于 M , N ,则 k AP k BP 为定值, m

实轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ?

且有 k AP k BP ? k AM k BN = e ? 1 =
2

b2 . a2

证明如下:令 P( x0 , y0 ) ,如图所示,则有

k AP = k AM =

y0 y0 , k BP = k BN = x0 ? a x0 ? a
2

y0 y y0 = 2 ? k AP k BP = 0 x0 ? a x0 ? a x 0 ? a 2
=

b2 c2 ? a2 2 = = e ? 1 = k AM k BN . a2 a2

结论 31: A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的顶点, P 为双曲线上任一点(非 a2 b2
a2 ( m ? a )于 M , N ,则 k AN k BM 为定 m

实轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ? 值,且有 k AN k BM = e ? 1 .
2

507

证明如下:如图所示,由结论 9 的推理过程易得

y0 y0 a 2 a2 ( ? a) ( ? a) x0 ? a m x0 ? a m , k BM ? k AN = a2 a2 ?a ?a m m

? k AN k BM =

y0 x0
2

b2 c2 ? a2 2 = 2 = = e ?1 . 2 2 a ?a a

2

结论 32: A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的顶点, P 为双曲线上任一点(非 a2 b2
a2 ( m ? a )于 M , N ,则 k AM k AN 为定 m

实轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ? 值,且有 k AM k AN =

a?m 2 (e ? 1) . a?m

结论 33: A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的顶点, P 为双曲线上任一点(非 a2 b2
a2 ( m ? a )于 M , N ,则 k BM k BN 为定 m

实轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ? 值,且有 k BM k BN =

a?m 2 (e ? 1) . a?m

结论 34 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2

a2 P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非实轴顶点) , 若直线 AP , 于M , m
N ,则 k EM k FN 为定值,且有 k EM k FN =

b2 . a2 ? m2

结论 35 : A , B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的顶点, E (?m,0) , F (m,0) , a2 b2
a2 于M , m

P 为双曲线上任一点 BP 分别交直线 x ? (m?a) , (非长轴顶点) , 若直线 AP ,

N ,则 k EN k FM 为定值,且有 k EN k FM =

b2 . a2 ? m2

508

结论 36:A B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的任一直径,P 为双曲线上任一点 (不 a2 b2
b2 2 = e ?1 . 2 a

与 A , B 点重合) ,则 k PA k PB 为定值,且有 k PA k PB =

证明如下: 如图所示, 令 P ( x0 , y 0 ) , A( m ,n ) , 由双曲线的对称性, 则 B( ? m , .又由于 P , A 均在双曲线上,代入得到 ? n)

x0 y0 y0 ? n y0 ? n b 2 m2 n2 ? ? 1 , = ? ? 1 ? ? a2 b2 x0 ? m x0 ? m a 2 a2 b2

2

2

? k PA k PB =

b2 2 = e ?1 . 2 a

结论 37: A B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的任一弦(不过原点且不与对称轴平 a2 b2
b2 k AB = 2 . a

行) , M 为弦 A B 的中点,若 kOM 与 k AB 均存在,则 kOM k AB 为定值,且有 kOM 证明如下:如图所示,令 M ( x0 , y0 ) , A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) ,则

x1 y x y x ?x y ?y ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 ? 1 2 2 ? 1 2 2 ? 0 2 a b a b a b

2

2

2

2

2

2

2

2

? ?

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 a2 b2 x0 ( x1 ? x 2 ) y 0 ( y1 ? y 2 ) y 0 y1 ? y 2 b 2 ? ? 0 ? ? ? a2 b2 x0 x1 ? x 2 a 2

? kOM k AB =

b2 . a2

结论 38: A B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的任一弦(不与对称轴平行) ,若平 a2 b2

b2 2 行于 AB 的弦的中点的轨迹为直线 PQ ,则有 k AB k PQ = 2 = e ? 1 . a
结论 39:过双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上任意一点 P (不是其顶点)作双曲线的切 a2 b2

509

线 PA ,则有 k PA k OP =

b2 2 = e ?1 . 2 a

结论 40:双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )及定点 F (m,0) , ( m ? a 或 m ? ?a ) ,过 F a2 b2
a2 a2 C, 的垂线, 垂足分别为 D , 直线 x ? m m

的弦的端点为 A ,B , 过 A ,B 分别作直线 x ?

与 x 轴相交于 E ,则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中点,且有 k AE ? k BE ? 0 . 结论 41:双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )及定点 F (m,0) , ( m ?±c ) ,过 F 任作一 a2 b2
a2 相交于 P , Q , m

条弦 AB , E 为双曲线上任一点,连接 AE , BE ,且分别与准线 x ? 则有 k FP ? k FQ = ? 1 . 那么结论 41 能推广到更一般的情形吗?回答是肯定的! 结论 42:双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )及定点 F (m,0) , ( m ? a 或 m ? ?a ) ,过 F a2 b2
a2 相交于 P , m

任作一条弦 AB , E 为双曲线上任一点,连接 AE , BE ,且分别与直线 x ?

Q ,则有 k FP ? k FQ =

b2 . a2 ? m2

显然,结论 41 就是结论 42 的特殊情况,即只要令 m =± c 即可. 证明如下: 如图所示, 利用双曲线的参数方程 ?

? x ? a sec ? ? ( ? 为参数) , 令 t ? tan , 2 ? y ? b tan?

? 1? t2 x ? a ? ? ? 1 ? t 2 ( t 为参数) 利用万能公式得到 ? .由此得到 ? y ? b ? 2t ? 1? t2 ?
? 1 ? t1 2 2t1 A ?a ? , b ? 2 2 ? 1? t 1 ? t1 1 ? ? ? ,B ? ? ? 1 ? t2 2 2t 2 ?a ? , b ? 2 2 ? 1? t 1 ? t2 2 ? ? ? ,E ? ? ? 1 ? t3 2 2t 3 ?a ? , b ? 2 2 ? 1? t 1 ? t3 3 ? ? ?. ? ?

以下推理过程与结论 29 的过程一样(略) . 有意思的是,还可以得到:
2 结论 43:抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )及定点 F (m,0) , (m ? 0) ,过 F 的弦的端点为 A ,

510

B ,过 A , B 分别作直线 x ? ?m 的垂线,垂足分别为 D , C ,直线 x ? ?m 与 x 轴相交于 E ,则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中点,且有 k AE ? k BE ? 0 .
结论 44:抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )及定点 F (m,0) , (m ?

p ) ,过 F 任作一条弦 AB , 2

E 为抛物线上任一点,连接 AE ,BE ,分别与准线 x ? ?m 相交 P ,Q ,则 k FP ? k FQ = ? 1 .
同理也能推广到更一般的情况: 结论 45:抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )及定点 F (m,0) , (m ? 0) ,过 F 任作一条弦 AB ,

E 为抛物线上任一点, 连 AE ,BE , 分别与直线 x ? ?m 相交 P ,Q , 则 k FP ? k FQ = ?
显然,结论 44 就是结论 45 的特殊情形,只要令 m ? 结论 46:过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F (
2

p . 2m

p 即可. 2

p ,0)的弦(焦点弦)与抛物线相交 2 于 A , B ,过 B 作直线 BC 与 x 轴平行,且交准线于 C ,则直线 AC 必过原点(即其准线 与 x 轴交点 E 与焦点 F 的线段的中点) .
结论 46 的证明过程见练习 6. 结论 47: A B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的焦点 F 的弦,其相应的准线与 x 轴交点 a2 b2

为 E ,过 A , B 作 x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 M , N ,则直线 AN ,BM 均 过线段 EF 的中点. 结论 48: A B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的焦点 F 的弦,其相应的准线与 x 轴 a2 b2

交点为 E , 过 A ,B 作 x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 M ,N , 则直线 AN ,BM 均过线段 EF 的中点. 值得注意的是: 上述结论 46 正是 2001 年全国高考试题, 结论 47 正是 2001 年广东省高 考试题.事实上,结论 48 是结论 40 的特殊情况,结论 47 就是结论 27 的特殊情况. 归纳上述结论 46、结论 47、结论 48 可以得到: 结论 49:过圆锥曲线(可以是非标准状态下)焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线, 垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点. 证明如下:设 AB 为经过焦点 F 的焦点弦, l 为相应的准线,且与对称轴相交于 E ,过 A 、 B 分别作 l 的垂线,垂足分别为 C 、 D ,连接 AC ,设 AC 与对称轴相交于 N ,不妨 设圆锥曲线的离心率为 e ,由圆锥曲线第二定义及相似形得到

BF BC
再由相似形得到

? e,

AF AD

? e,

NF BC

?

AF AB

? NF =

AD ? BF AB



EN AD

?

CN CA

?

BF AB

? EN =

AD ? BF AB

? NF = EN .

511

结论 50: AB 为垂直于椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 长轴上的动弦,其准线与 x 轴 a 2 b2

相交于 Q ,则直线 AF 与 BQ(或直线 BF 与 AQ)的交点 M 必在该椭圆上. 证明如下:如图 1 所示,连接 AN,设直线 AQ 与 BF 的交点为 N,这样图就具有对称性, 分别过 M、B 作准线的垂线,垂足分别为 M1、B1 ,则

MM ? 对称性? 1 ? 相似形? M Q BB BQ ? ? 1 ? MF MM1 ? BF 椭圆第二定义 e BB1 ?

N 正弦定理 Q sin ? BQ ? sin ?

?

si ?n正弦定理 s i?n ?

MF BF

故 M 恒在椭圆上.

事实上,刚才上述的证明过程与 e 的大小无关,于是得到: 结论 51: AB 为垂直于双曲线

x2 y 2 ? ? ? ? ? ? 0 ? 实轴的动弦,其准线与 x 轴相交于 Q , a 2 b2

则直线 AF 与 BQ(直线 BF 与 AQ)的交点 M 也恒在该双曲线上.
2 2 结论 52: AB 为垂直于抛物线 y ? tx 或x ? ty

?

? ?t ? 0? 对称轴的动弦,其准线与 x 轴相

交于 Q ,则直线 AF 与 BQ(直线 BF 与 AQ)的交点 M 也恒在该抛物线上. 于是得到更一般的规律: 结论 53:AB 为垂直于圆锥曲线的长轴(椭圆) (或实轴(双曲线)或对称轴(抛物线) )的 动弦,其准线与 x 轴相交于 Q ,则直线 AF 与 BQ(直线 BF 与 AQ)的交点 M 也恒在该圆 锥曲线上. 结论 54:圆锥曲线的焦点弦 AM(不为通径,若双曲线则为单支弦) ,则在 x 轴上有且只有 一点 Q 使 ?AQF ? ?MQF . 结论 55:过 F 任作圆锥曲线的一条弦 AB(若是双曲线则为单支弦) ,分别过 A 、 B 作准线 l 的垂线( Q 是其相应准线与 x 轴的交点) ,垂足为 A1、B1 ,则直线 AB1 与直线 A 1B 都经过 QF 的中点 K,即 A、K、B1 及 B、K、A1 三点共线. 证明如下:以椭圆为例,连接 AB1 ,则
FK ? 相似形 ? AF ? 第二定义 ? e AA1 ? e BB1 ? AA1 ? 第二定义? ? BF ? ? AA ? 相似形? B1K ? AA1 ? KQ ? FK ? ? 1 ? AB ? ? BB1 AB AB AB AB1 ? ? ? ? ? ?

于是我们得到更一般的规律: 结论 56:若 AM、BM 是圆锥曲线过点 F 且关于长轴(椭圆)对称的两条动弦(或实轴(双 曲线)或对称轴(抛物线)),如图 5,则四线 AM1、BN1、NB1、MA1 共点于 K.

512

结论 57: A , B 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点和左顶点, P 为椭圆任 a2 b2
a2 于 M , N ,则以线段 MN 为直 m

一点(非长轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ?

径的圆必过二个定点,且椭圆外定点为 Q (

a 2 ? b a 2 ? m2 , 0 )及椭圆内定点为 R m



a 2 ? b a 2 ? m2 ,0) . m
证明如下:如图所示,由结论 1 的推理过程易得

M(

y0 a 2 y0 a 2 a2 a2 , ,N ( , . ( ? a) ) ( ? a) ) m m x0 ? a m x0 ? a m

则以线段 MN 为直径的圆的方程为

(x ?

? y0 a 2 a2 2 ? ) ? ?y ? ( ? a)? m x0 ? a m ? ?

? ? y0 a 2 y ? ( ? a)? =0, ? x0 ? a m ? ?

令 y ? 0 ,化简得到 ( x ?

a 2 2 b2 2 a 2 ? m2 ) ? 2 ?a ? ?0 m a m2

? x1 ?

a 2 ? b a 2 ? m2 a 2 ? b a 2 ? m2 , x2 ? . m m

即椭圆外定点 Q (

a 2 ? b a 2 ? m2 a 2 ? b a 2 ? m2 ,0)及椭圆内定点 R ( ,0) . m m
x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右顶点和左顶点, P 为双 a2 b2
a2 ( m ? a )于 M , N , m

结论 58: A , B 分别为双曲线

曲线上任一点(非实轴顶点) ,若直线 AP , BP 分别交直线 x ?

则以线段 MN 为直径的圆必过二个定点,且双曲线内定点为 Q (

a 2 ? b m2 ? a 2 ,0)及 m

双曲线外定点为 R (

a 2 ? b m2 ? a 2 ,0) . m

结论 58 的证明过程见练习 2. 结论 59:过直线 x ? m( m ? 0 )上但在椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )外一点 M 向椭圆 a2 b2

513

引两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过定点 N (

a2 , 0) ,且有 m

k AB k MN ?

b2m2 . a 2 (a 2 ? m 2 )
x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )外(即双曲 a2 b2

结论 60:过直线 x ? m ( m ? 0 )上但在双曲线

线中心所在区域)一点 M 向双曲线引两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过定点

N (

a2 b2m2 , 0) ,且有 k AB k MN ? 2 2 . m a (m ? a 2 )

结论 61:过直线 x ? m ( m ? 0 )上但在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )外(即抛物线准线所

0) , 在区域) 一点 M 向抛物线引两条切线, 切点分别为 A ,B , 则直线 AB 必过定点 N (? m,
且有 k AB k MN ?

p . 2m

由上述结论 59、结论 60、结论 61,我们可以得到特殊情况下的统一的一个结论: 结论 62:设点 M 是圆锥曲线的准线上一点(不在双曲线的渐近线上) ,过点 M 向圆锥曲线 引两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过准线对应的焦点 F ,且 FM ⊥ AB . 对于上述结论 59、结论 60、结论 61,我们可以推广到更加普遍的情况: 结论 63:过直线 m x ? ny ? 1 上但在椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )外一点 M 向椭圆引两 a2 b2
2 2

条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过定点 N (ma ,nb ) .

x2 y2 结论 64:过直线 m x ? ny ? 1 上但在双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )外(即双曲线中心 a b
所在区域)一点 M 向双曲线引两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过定点

N (ma2,nb2 ) .
结论 65:过直线 m x ? ny ? 1 ( m ? 0 )上但在抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )外(即抛物线
2

准线所在区域)一点 M 向抛物线引两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 必过定点

N (?

1 pn , ? ). m m

上述结论 63、结论 64、结论 65 体现了圆锥曲线的统一性、和谐性,以下证明结论 63: 证明如下:令 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) , M ( x0,y0 ) ,则有 切线 AM 的方程为:

x1 x y1 y x x y y ? 2 ? 1 ,切线 BM 的方程为: 22 ? 22 ? 1 . 2 a b a b
514

将切线 AM 与 BM 的方程联立解得 x0 ?

a 2 ( y 2 ? y1 ) b 2 ( x1 ? x2 ) , y0 ? . x1 y 2 ? x2 y1 x1 y 2 ? x2 y1

(1)若 x1 ? x 2 ,则设 AB 的方程为: y ? kx ? t ( t ? 0 ) ,由此推出

x1 y2 ? x2 y1 = x1 (kx2 ? t ) ? x2 (kx1 ? t ) = t ( x1 ? x2 ) , y 2 ? y1 = k ( x2 ? x1 )
a2k b2 , y0 ? . ? x0 ? ? t t
由于点 M 在直线 m x ? ny ? 1 上,于是代入得到

t ? nb2 ? mka2

? AB 的方程为: y ? kx ? nb2 ? mka2 = ( x ? ma2 )k ? nb2 ?直线 AB 必过定点 (ma2,nb2 ) .
(2)若 x1 ? x 2 , y1 ? y2 ,则设 AB 的方程为: x ? ky ? t ( t ? 0 ) ,同理也可证得 直线 AB 必过定点 (ma2,nb2 ) .

结论 66: A ,B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的左右顶点, 点 P 是直线 x ? t( t ? a , a2 b2
? a2 ? , 0? ?. ? t ?

t ? 0 )上的一个动点( P 不在椭圆上) ,直线 PA 及 PB 分别与椭圆相交于 M , N ,则直
线 MN 必与 x 轴相交于定点 Q? ?

结论 67:A ,B 是在双曲线

x2 y2 ? ?1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的顶点, 点 P 是直线 x ? t( t ? a , a2 b2

t ? 0 )上的一个动点( P 不在双曲线上) ,直线 PA 及 PB 分别与双曲线相交于 M , N ,

? a2 ? 0? 则直线 MN 必与 x 轴相交于定点 Q? ? t , ?. ? ?
证明如下:以结论 66 为例,设直线 PB 与 PA 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,联立

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 ? (b 2 ? a 2 k1 ) x 2 ? 2a 3 k1 x ? a 4 k1 ? a 2b 2 ? 0 ?a b ? ? y ? k1 ( x ? a )

515

? a(a 2 k1 2 ? b 2 ) ? 2ab2 k1 ? ?. ? N? 2 ? a2k 2 ? b2 , a 2 k1 ? b 2 ? 1 ? ?
同理可得

? a(a 2 k 2 2 ? b 2 ) 2ab2 k 2 M? 2 ? ? a2k 2 ? b2 , a 2k2 ? b2 2 ?

? ?. ? ?

由点 M 与点 N 的坐标得到直线 MN 的方程,令 y ? 0 即可得到 x ?

a2 . t

结论 68: A , B 是抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上异于顶点 O 的两个动点,若直线 AB 过 定点 N ( 2 p ,0) ,则 OA ⊥ OB ,且 A , B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值. 证明如下:令 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) . (1)当直线 AB 的斜率不存在时,则直线 AB 的方程为 x ? 2 p ,此时 x1 x2 = 4 p 2 ,

y1 y 2 = ? 4 p 2 ,则有 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,即 OA ⊥ OB .
(2)当直线 AB 的斜率存在时,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2 p) ( k ? 0 ) . 代入 y 2 ? 2 px 得到 k 2 x 2 ? (4 pk 2 ? 2 p) x ? 4 p 2 k 2 ? 0 .由韦达定理得到

x1 ? x 2 ?

4 pk 2 ? 2 p , x1 x2 = 4 p 2 , 2 k

? y1 y 2 = k 2 ( x1 ? 2 p)(x2 ? 2 p)
= k x1 x2 ? 2 p( x1 ? x2 ) ? 4 p
2

?

2

?= ? 4 p

2

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? OA ⊥ OB .
事实上,结论 68 的充要条件就是结论 69:
2 结论 69: A , B 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上异于顶点 O 的两个动点,若 OA ⊥ OB ,

则直线 AB 必过定点 N ( 2 p ,0) ,且 A , B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值. 由上述结论 69 可得:
2 结论 70: A , B 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上异于顶点 O 的两个动点,若 OA ⊥ OB , 2 2 过 O 作 OM ⊥ AB ,则动点 M 的轨迹方程为 x ? y ? 2 px ? 0 ( x ? 0 ) .

结论 70 的证明过程见练习 3.
2 结论 71: A , B 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上异于顶点 O 的两个动点,若 OA ⊥ OB ,

516

则 (S ?AOB ) min = 4 p 2 . 证明如下:由上述结论 69 及结论 70 可得

S ?AOB =

1 1 ON ( y1 ? y 2 ) ? (2 p) ? 2 y1 y 2 = 4 p 2 . 2 2

由上述结论 71 还能推出一般情况: 结论 72:过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上任一点 M ( x0 , y0 )作两条弦 MA , MB ,则

MA ⊥ MB 的充要条件是直线 AB 过定点 N ( x0 ? 2 p , ? y0 ) .
上述结论 72 进一步得到更一般的结论: 结论 73:过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上任一点 M ( x0 , y0 )作两条弦 MA , MB ,则

k MA k MB = ? ( ? ? 0 )的充要条件是直线 AB 过定点 N ( x 0 ?

2p

?

, ? y0 ) .

以下只要证明结论 73,因为令 ? ? ?1 就得到结论 72,再令 x0 =0, y0 =0 就得到结论 68. 证明如下:先证必要性.令 M (

y0 y y , y0 ) , A ( A , yA ) , B ( B , yB ) , 2p 2p 2p

2

2

2

依题意得到

k MA k MB =

4 p2 =? ( y A ? y 0 )( y B ? y 0 )
4 p2 ? 0.


2 ? y A y B ? y0 ( y A ? y B ) ? y0 ?

?

又 k AB =

2p 2p ,则直线 AB 的方程为: y ? y A = ( x ? x A ) ,则有 y A ? yB y A ? yB

( y A ? y B ) y ? y 2 A ? y A y B ? 2 px ? 2 pxA

? y A y B ? ( y A ? y B ) y ? 2 px ? 0 .
对照①式与②式,令 ? y ? y0 , 2 px ? y 0 ? 故直线 AB 过定点 N ( x 0 ?
2



4 p2

?

,于是有 y ? ? y0 , x ? x 0 ?

2p

?



2p

?

, ? y0 ) .

同理可证充分性(略,请有兴趣的同学仿照上述方法给予证明) . 上述结论 72 还可以类比到椭圆和双曲线: 结论 74:过椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )上任一点 M ( x0 , y0 )作两条弦 MA , MB , a2 b2

517

则 MA ⊥ MB 的充要条件是直线 AB 过定点 N (

a2 ? b2 b2 ? a2 y0 ) x , . 0 b2 ? a2 a2 ? b2

特别地, (1)当 M 为左、右顶点时,即 x0 = ? a , y0 =0 时, MA ⊥ MB 的充要条件是 直线 AB 过定点 N (

? a(a 2 ? b 2 ) ,0 ) . a2 ? b2

(2)当 M 为上、下顶点时,即 x0 =0, y0 = ? b 时, MA ⊥ MB 的充要条件是直线 AB 过定点 N (0,

? b(b 2 ? a 2 ) ) . b2 ? a2

结论 75: :过双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )上任一点 M ( x0 , y0 )作两条弦 MA , a2 b2 a2 ? b2 b2 ? a2 y0 ) x , . 0 b2 ? a2 a2 ? b2

MB ,则 MA ⊥ MB 的充要条件是直线 AB 过定点 N (

特别地,当 M 为左、右顶点时,即 x0 = ? a , y0 =0 时, MA ⊥ MB 的充要条件是直线

AB 过定点 N (

? a(a 2 ? b 2 ) ,0) . a2 ? b2

上述结论 72、结论 74、结论 75 可以推广到更一般的情况即二次曲线:
2 2 C ,D ,E 为常数,A ? B ? 0 ) 结论 76: 过二次曲线:Ax ? By ? Cx ? Dy ? E( A ,B ,

上任一点 M ( x0 , y0 )作两条弦 MA , MB ,若 MA ⊥ MB ,则直线 AB 恒过定点

2 Ax0 ? C 2By0 ? D ? ? N ? x0 ? ,y0 ? ?. A? B A? B ? ?
值得注意的是:在结论 76 中 (1)令 A ? D ? 0 , B ? 1 , C ? ?2 p , x0 ? y0 ? 0 就是结论 69; (2)令 A ? D ? 0 , B ? 1 , C ? ?2 p 就是结论 72;
2 2 (3)令 A ? a , B ? b , C ? D ? 0 就得到结论 74; 2 2 (4)令 A ? b , B ? ?a , C ? D ? 0 就得到结论 75.

结论 77: A , B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上不同的两个动点,若 OA ⊥ OB ,则 a2 b2

518

a2 ? b2 + = . 2 2 a 2b 2 OA OB

1

1

证明如下:如图所示,以 O 为极点, OX 轴为极轴建立极坐标系,则 x ? ? cos ? ,

y ? ? sin ? .于是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的极坐标方程为 a2 b2

( ? cos? ) 2 ( ? sin ? ) 2 a 2b 2 2 ?1? ? = 2 ? . b2 a sin 2 ? ? b 2 cos2 ? a2
令 A ( ?1 , ? ) , B ( ?2 ,? ?

?
2

)在椭圆上,代入上述极坐标方程得到

?1 2 =
?

a 2b 2 a 2b 2 2 , = . ? 2 a 2 sin 2 ? ? b 2 cos2 ? a 2 cos2 ? ? b 2 sin 2 ?
2

1 OA

+

1 OB
2

=

1

?1

2

?

1

?22

a 2 sin 2 ? ? b 2 cos2 ? a 2 cos2 ? ? b 2 sin 2 ? a 2 ? b 2 = + = . a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2
非常有趣的是,我们还可以得到: 结论 78: A , B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上不同的两个动点,若 OA ⊥ OB ,则 a2 b2



2(a 2 ? b 2 ) a?b 1 1 1 1 + ,( + . ( ) min = ) max = ab OA OB OA OB ab
证明如下:由结论 77 的证明过程得到

a2 ? b2 + = . 2 2 a 2b 2 OA OB

1

1

于是我们利用柯西不等式推出

1 1 ? 12 ? 12 ? + OA OB
或者我们利用结论 77 的极坐标系得到

2(a 2 ? b 2 ) ? = . 2 2 ab OA OB
1 1

1 1 1 1 ? + = OA OB ?1 ? 2
b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? = . ab
519

利用重要不等式: a ? b ?

2(a 2 ? b 2 ) ,由此得到

1 1 + ? OA OB
=

2 (b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? ) ? (b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? ) ab 2(a 2 ? b 2 ) . ab

?

?

下面我们来求最小值,利用一个不等式:若 a ? d ? 0 , c ? b ? 0 ,则

a?b ? c?d ? a?c ? b?d .
上述不等式利用分析法易证(略) ,事实上,容易看出

a 2 sin 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? 0 , a 2 cos2 ? ? b 2 cos2 ? ? 0 .
利用上述不等式及其事实得到

1 1 b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? + = OA OB ab

?

a 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? ? b 2 cos2 ? ? b 2 sin 2 ? ab

a2 ? b2 a ? b = = . ab ab


(

2(a 2 ? b 2 ) a?b 1 1 1 1 + ,( + . ) min = ) max = ab OA OB OA OB ab

我们用同样的方法可以证明以下结论 79(证明过程略) .

x2 y2 结论 79: A , B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( b ? a ? 0 )上不同的两个动点(在同一支上) , a b
b2 ? a2 若 OA ⊥ OB ,则有 + = . 2 2 a 2b 2 OA OB

1

1

2 0) ,使得过该点的 结论 80:在抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的对称轴上存在一个定点 M ( p,

任意弦 AB 恒有

1 MA
2

?

1 MB
2

?

1 . p2

证明如下: 设 M ( x0, 则弦 AB 的参数方程为 ? 0) 满足题意, 并且代入 y ? 2 px 得到
2

? x ? x0 ? t cos? ( t 为参数) , ? y ? t sin ?

520

t 2 sin 2 ? ? (2 p cos? )t ? 2 px0 ? 0

? t1 ? t 2 ? ?
1 MA
2

? 2 px0 2 p cos ? , t1 t 2 ? 2 sin ? sin 2 ?

?

1 MB
2

=

1 t1
2

?

1 t2
2

=

(t1 ? t 2 ) 2 ? 2t1t 2 (t1t 2 ) 2


=

p cos2 ? ? x0 sin 2 ? px0
2

要使

1 MA
2

?

1 MB
2

0) ,此时 为定值,令 x0 ? p ,即 M ( p,

1 MA
2

?

1 MB
2

?

1 . p2

由上述结论 80 可得椭圆及双曲线也有类似的性质: 结论 81:在椭圆

x2 y2 a2 ? b2 a ? b ? 0 ? ? 1 ( )的长轴上存在定点 M ( ? a , 0) ,使得 a2 b2 a2 ? b2

过该点的任意弦 AB 恒有

1 MA
2

?

1 MB
2

=

a2 ? b2 . b4

x2 y2 a2 ? b2 a ? b ? 0 结论 82:在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( )的实轴上存在定点 M (?a , 0) ,使 a b a2 ? b2
得过该点的任意弦 AB 恒有

1 MA
2

?

1 MB
2

=

a2 ? b2 . b4

以上结论 81、结论 82 的推理过程完全类似于结论 80 的证明步骤,请有兴趣的读者自 行证明. 非常有意思的是,经研究还得到如下漂亮的结论: 结论 83:过椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于 M , N , a2 b2
2a 2 . b2

与 y 轴相交于 P ,若 PM ? ? MF , PN ? ? NF ,则 ? ? ? 为定值,且 ? ? ? ? ?

结论 84: 过双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0,b ? 0 ) 的焦点 F 作一条直线与双曲线相交于 M , a2 b2 2a 2 . b2

N ,与 y 轴相交于 P ,若 PM ? ? MF ,PN ? ? NF ,则 ? ? ? 为定值,且 ? ? ? ?

2 结论 85:过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 作一条直线与抛物线相交于 M , N ,与

521

y 轴相交于 P ,若 PM ? ? MF , PN ? ? NF ,则 ? ? ? 为定值,且 ? ? ? ? ?1 .
证明如下:以上三个结论的的证明方法类似,我们以结论 84 为例给予证明,本结论是 一个定值问题,尽管动直线绕着焦点在旋转,但是 ? ? ? 确实为定值,如果直接证明则显得 特别复杂,于是我们另辟蹊径,将 ? 与 ? 看作线段 PF 的定比分点公式中的参变数,利用 韦达定理即可.令 P(0,p) , F (c, 0) , M ( x0,y0 ) ,由定比分点公式可得

? ?c ? ? p ? ? ? ? ? ?c p 1? ? ? 1? ? ? ? ? x0 ? , y0 ? ? ?1 ? 1? ? 1? ? a2 b2

2

2

? b 4 ?2 ? 2a 2b 2 ? ? a 2 (b 2 ? p 2 ) ? 0 ? ? ? ? =
值得提醒的是:上述证明方法独特,构思巧妙,让人耳目一新. 结论 86:过椭圆

2a 2 . b2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于 M , N , a2 b2

与相应准线相交于 P ,若 PM ? ? MF , PN ? ? NF ,则 ? ? ? 为定值,且 ? ? ? ? 0 . 结论 87: 过双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0,b ? 0 ) 的焦点 F 作一条直线与双曲线相交于 M , a2 b2

N, 与相应准线相交于 P , 若 PM ? ? MF ,PN ? ? NF , 则 ? ? ? 为定值, 且? ? ? ? 0.
2 结论 88:过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 作一条直线与抛物线相交于 M , N ,与

准线相交于 P ,若 PM ? ? MF , PN ? ? NF ,则 ? ? ? 为定值,且 ? ? ? ? 0 . 证明如下:由于上述结论 86、结论 87、结论 88 均属于圆锥曲线,所以我们可以统一给 予证明, , 下面我们结合圆锥曲线的定义与平面几何知识给出更加简洁的方法: 过 M ,N 分 别作相应准线的垂线,垂足分别为 M 1 , N1 ,由相似形及圆锥曲线的定义易得

PM PN PM
由已知条件可得 =

MM 1 NN 1

MF
= . ①

NF

? MF
=

? ? MF
=

PN

? NF

? ? NF





522

MF
由①、②可得

? ? MF
=

NF

? ? NF

? ? ? ? (? ? ? ? 0)? ? ? ? ? 0 .

考虑到圆锥曲线的垂直弦,则得到如下有趣的结论: 结论 89: MN 是垂直椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )长轴的动弦, P 是椭圆上异于顶点的 a2 b2

动点,直线 MP , NP 分别交 x 轴于 E , F ,若 PE ? ? EM , PF ? ? FN ,则 ? ? ? 为 定值,且 ? ? ? ? 0 .

结论 90: MN 是垂直双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0,b ? 0 )实轴的动弦, P 是双曲线上异 a2 b2

F, NP 分别交 x 轴于 E , 于顶点的动点, 直线 MP , 若 PE ? ? EM , 则? ? ? PF ? ? FN ,
为定值,且 ? ? ? ? 0 . 结论 91: MN 是垂直抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )对称轴的动弦, P 是抛物线上异于顶点 的动点,直线 MP , NP 分别交 x 轴于 E , F ,若 PE ? ? EM , PF ? ? FN ,则 ? ? ? 为 定值,且 ? ? ? ? 0 .

结论 92: MN 是垂直椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )长轴的动弦, P 是椭圆上异于顶点的 a2 b2

动点,直线 MP , NP 分别交 x 轴于 E ,F , A 为长轴顶点,若 OE ? ? EA,OF ? ? FA , 则 ? ? ? 为定值,且 ? ? ? ? ?1 .

结论 93: MN 是垂直双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0,b ? 0 )实轴的动弦, P 是双曲线上异 a2 b2

于顶点的动点,直线 MP , NP 分别交 x 轴于 E , F , A 为实轴顶点,若 OE ? ? EA ,

OF ? ? FA ,则 ? ? ? 为定值,且 ? ? ? ? ?1 .
2 结论 94: MN 是垂直抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )对称轴的动弦, P 是抛物线上异于顶点

F, A 为抛物线焦点, NP 分别交 x 轴于 E , 的动点, 直线 MP , 若 OE ? ? EA, OF ? ? FA ,

523

则 ? ? ? 为定值,且

1

?

?

1

?

? 2.

上述 6 个结论证明类似,以结论 89 为例:

? b sin ? ) , 证明如下:利用椭圆的三角换元可得 M (a cos?,b sin ? ) , N (a cos?, P(a cos ?,b sin ? ) ,由已知 PE ? ? EM 可得

( xE ? a cos?, ? b sin ? ) = ? (a cos? ? xE,b sin ? ) ? ? ? ?
同理可得 ? ? (以下补充) 结论 95(补充) :点 P 是椭圆

sin ? ,故 ? ? ? ? 0 . sin ?

sin ? . sin ?

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )上任意一点,弦 PA 、 PB 分别过 a2 b2

0) 、 N (m, 0) , 定点 M (?m, (0 ? m ? a ) ,且 PM ? ? MA , PN ? ? NB ,则 ? ? ? 为定

2(a 2 ? m 2 ) 值,且 ? ? ? ? . a2 ? m2
结论 96(补充) :点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上任意一点,弦 PA 、 PB a2 b2

0) 、N (m, 0) , 分别过定点 M (?m, (0 ? m ? a ) , 且 PM ? ? MA ,PN ? ? NB , 则? ? ?
为定值,且 ? ? ? ?

2(a 2 ? m 2 ) . a2 ? m2

证明如下:结论 95 与结论 96 的证明相似,以下证明结论 95: 设 P( x0,y0 ) , A( x1,y1 ) , B( x2,y 2 ) ,由 PM ? ? MA 可得

x1 ? ?

m(1 ? ? ) ? x0

?

, y1 ? ?

y0

?

y ? y ? ? m(1 ? ? ) ? x0 ? m(1 ? ? ) ? x0 . , ? 0 ? ,同理可得 B? , ? 0? ? A? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
将点 A 及点 B 的坐标代入椭圆方程并加以整理得到

(1 ? ?)m2 ? 2x0 m ? (? ? 1)a 2 ? 0 , (1 ? ? )m2 ? 2x0 m ? (? ? 1)a 2 ? 0 .

524

x0 y0 2(a 2 ? m 2 ) 上述两式相加,同时注意 2 ? 2 ? 1 可得 ? ? ? ? . a2 ? m2 a b
应用 (补充) : (2012 年广西省岑溪市高考模拟试题) 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴, 它的一个顶点恰好为抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点,离心率为 (1)求椭圆的方程; ( 2 )点 P 是椭圆 C 上任意一点,弦 PA 、 PB 分别过定点 F1 、 F2 ,且 PF 1 ? ?F 1A ,

2

2

2 5 . 5

PF2 ? ? F2 B ,证明 ? ? ? 为定值.
分析如下: (1)易得椭圆的方程为 代入可得 ? ? ? ? 18 . 结论 97: (补充) : M 、 P 是圆 C : x 2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 )上任意两点,点 M 关于 x 轴

x2 y2 ? ? 1; (2)在上述结论 95 中,令 m ? 2 , 5 1

0) ,则 mn 为定值, 0) 、 B(n, 对称点为 N ,若直线 PM 、 PN 与 x 轴分别相交于点 A(m,
且 mn? r .
2

结论 98: (补充) : M 、 P 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )上任意两点,点 M 关于 a2 b2

0) ,则 mn 为定 0) 、 B(n, x 轴对称点为 N ,若直线 PM 、 PN 与 x 轴分别相交于点 A(m,
值,且 m n ? a .
2

结论 99: (补充) :M 、 P 是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )上任意两点,点 M a2 b2

0) ,则 mn 为 0) 、B(n, 关于 x 轴对称点为 N , 若直线 PM 、PN 与 x 轴分别相交于点 A(m,
定值,且 m n ? a .
2

(注意:依据上述结论 97、98、99 来自编几道试题作为应用)

x2 y2 结论 100(补充) : A 、 B 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )上关于 x 轴对称的任意两 a b
0) 是 x 轴上的定点,直线 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,则直线 AE 恒过 个不同的点,点 P(m,

525

? a2 ? 0? x 轴上的定点,且定点为 Q? ? m, ?. ? ?
结论 101(补充) : A 、 B 是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )上关于 x 轴对称的 a2 b2

任意两个不同的点,点 P(m, 0) 是 x 轴上的定点,直线 PB 交双曲线一点 E ,则直线 AE 恒 过 x 轴上的定点,且定点为 Q? ?

? a2 ? , 0? ?. ?m ?

结论 102 补充) : A 、 B 是抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上关于 x 轴对称的任意两个不

0) 是 x 轴上的定点,直线 PB 交抛物线一点 E ,则直线 AE 恒过 x 轴上的 同的点,点 P(m,
0) . 定点,且定点为 Q(?m,
证明如下:结论 100、101 及 102 相似,以下证明结论 100: 令 B( x1,y1 ) , E ( x2,y 2 ) ,则 A( x1, ? y1 ) ,设 PB 的直线方程为 x ? ky ? m ,并与椭 圆方程联立可得

(b 2 k 2 ? a 2 ) y 2 ? 2kmb2 y ? (m2 ? a 2 )b 2 ? 0

? y1 ? y 2 ? ?

2km b2 (m 2 ? a 2 )b 2 y y ? , . 1 2 b2k 2 ? a2 b2k 2 ? a2

又直线 AE 的方程为 y ? y 2 ?

? y1 ? y 2 ( x ? x2 ) ,令 y ? 0 得到 x1 ? x2

x?

( x1 ? x2 ) y 2 x y ? x 2 y1 ? x2 ? 1 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2

?

(ky1 ? m) y 2 ? (ky2 ? m) y1 2k ( y1 y 2 ) a2 . ? ?m? m y1 ? y 2 y1 ? y 2

(注意:依据上述结论 100、101、102 来自编几道试题作为应用)

二、一题多用的教学价值
x2 ? y 2 ? 1 相交 应用 1. (2006 年湖北省黄冈市调研试题)过点 M (?2,0) 的直线 m 与椭圆 2
于P ,直线 OP 的斜率 1P 2 的中点为 P ,设直线 m 的斜率为 k 1 ( k1 ? 0 ) 1 ,P 2 两点,线段 P

526

为 k 2 ,则 k1k 2 的值为(

) .

A .2

B .? 2

C.

1 2

D .?

1 2

分析如下:由上述结论 24 可得 k1k 2 = ?

1 b2 2 = e ? 1 = ? ,故选 D . 2 2 a

应用 2. ( 2009 年 福 建 省 高 考 试 题 ) 已 知 直 线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经 过 椭 圆

x2 y2 ? ?1 a2 b2

( a ? b ? 0 )的左顶点 A 及上顶点 D ,若椭圆的右顶点为 B ,点 S 是椭圆上位于 x 轴上方 的一个动点,直线 AS , BS 角直线 l : x ? (1)求椭圆的方程; (2)求线段 MN 长度的最小值. 分析如下: (1)由已知易得椭圆方程为

10 分别相交于 M , N 两点. 3

x2 y2 ? ? 1. 4 1

(2) x ?

10 4 6 = ,即 m ? ,由结论 1 及均值不等式可得 3 6 5 5

yM ? yN ?

16 16 b 2 (m 2 ? a 2 ) =? ? y N ? (? y M ) ? 2 9 9 m

8 ? MN ? y N ? yM = y N ? (? y M ) ? 2 y N ? (? y M ) = . 3
应用 3. (2003 年上海市春季高考试题改编)若 M , N 是椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

上关于原点对称的两个点, 点 P 为椭圆上任意点, 若直线 PM 与 PN 的斜率分别为 k 1 ,k 2 , 证明: k1k 2 = e ? 1 .
2

证明如下:由上述结论 23 可得 k1k 2 = ?

b2 2 = e ?1 . a2 x2 y2 ? ? 1 的右准线 l 与 x 轴相交于 E , 2 1

应用 4. (2002 年江西省高考模拟试题) 已知双曲线

过右焦点 F 的直线交双曲线于 A , B ,点 C ? l ,若 BC ∥ x 轴,求证:直线 AC 经过 EF 的中点. 证明如下:直接利用结论 48 即可得证.

527

应用 5. (2008 年厦门市高考模拟题) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 内一定点 F ( m , a2 b2

0) (m ? 0) ,直线 l : x ?

a2 与 x 轴相交于点 A ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P , Q , m

设 AP = ? AQ ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于直线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ,证明

FM = ? ? FQ .
证明如下:如图所示,连接 QF 交椭圆于另一点 M 1 ,利用上面的斜率定值的结论 27 可知 ?M 1 AF ? ?PAF ,易得 PM1 与 x 轴垂直, ,即 M 1 与 M 重合,于是 Q , F , M 三 点共线,过 P , Q , M 作直线 l 的垂线,分别相交于 S , R , N ,又 AP = ? AQ 推出

PS ? ? QR ,于是 MN ? ? QR ,即 MF ? ? FQ ,故 FM = ? ? FQ .
x2 y 2 应用 6. (2008 年高考福建省(文科)第 22 题(压轴题) )椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b
一个焦点为 F(1,0) ,且过点(2,0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 AB 为垂直于 x 轴的动弦,直线 l:x=4 与 x 轴相交于 N,直线 AF 与 BN 交于点 M. (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)求 ?AMN 面积的最大值. 分析:(Ⅰ)易得椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 由上述结论 50 易得证. 应用 7. (1998 年全国高考试题)椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交 a2 b2

于 A,B, M 是弦 AB 的中点,若 AB ? 2 2 , k OC ?

2 ,求椭圆方程. 2

分析如下:由结论 24 可得 k OC k AB = ?

b2 2 =? .再由弦长公式易得一个方程,联立 2 2 a

解得 a ? 3 , b ?
2

2

3 2

,故所求椭圆方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 3 .

应用 8. (2005 年天津市竞赛试题)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的长轴为 AA 1 ,P a2 b2

528

为椭圆任一点(非长轴顶点) ,若直线 AP , A1 P 分别交同一条准线于 M , M 1 ,则以线段

MM 1 为直径的圆必过该椭圆外的一个定点.
证明如下:利用上面的过定点的结论 57,把准线看着直线 x ?

a2 ,即 m ? c ,于是得 m

到必过椭圆外定点为 Q (

a2 ? b2 ,0) . c

应用 9. (课本例题)直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A , B ,求证 OA ⊥ OB .

0) ,即 (2 p, 0) ,由结论 68 即可得证. 证明如下:显然直线过点 ( 2,
应用 10. (2008 年福建省高考模拟试题)过抛物线 y ? x 2 的顶点作相互垂直的两条弦 OA ,

OB ,抛物线的顶点在直线 AB 上的射影为 P ,求动点 P 的轨迹方程.

1) ,则动点 P 的轨迹就是 分析如下:由结论 69 或结论 70 易得直线 AB 必过定点 Q (0,

1? ? ?1? 0) ) 在以 OQ 为直径的圆上,即 ( x ? 0) ? ? y ? ? ? ? ? (去掉点 (0, . 2? ? ? 2?
2

2

2

应用 11 . ( 2005 年上海市 TI 杯高二数学竞赛试题)已知椭圆

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1 ,过点 4 1

?4 ? M? , 0 ? 的直线 l 交椭圆于点 A 、 B ,求 ?AOB 的大小. ?5 ?
分析如下:由于椭圆的中心为 N (2,0) ,在此椭圆中 a ? 2 , b ? 1 ,所以原点就是

4 6 a(a 2 ? b 2 ) 6 ? ,根据平移不变性,依据结论 该椭圆的左顶点,而 MN ? 2 ? ? ,又 5 5 5 a2 ? b2
74 可得 ?AOB ?

?
2



应用 12. (2009 年烟台市模块检测试题)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个 顶点恰好是抛物线 y ?

1 2 2 5 x 的焦点,离心率为 . 4 5

(1)求椭圆的标准方程; (2) 过椭圆的右焦点作一条直线与椭圆相交于 A ,B , 与 y 轴相交于 M , 若 MA ? ?1 AF ,

MB ? ?2 BF ,则 ?1 ? ?2 的值.

529

分析如下: (1)易得椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 5 1

(2)由上述结论 83 可得 ?1 ? ?2 = ?

2a 2 ? ?10 . b2

, 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的一个动点,过 P 作直线 l 的垂线, 应用 13.已知点 F (1
垂足为 Q ,且满足: QP ? QF ? FP ? FQ. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F (1 , 0) 的直线交轨迹 C 于 A , B ,交直线 l 于点 M ,若 MA ? ?1 AF ,

MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值.
分析如下: (1)

QP ? QF ? FP ? FQ ? FQ ? (PQ ? PF) ? 0

? (PQ ? PF) ? (PQ ? PF) ? 0 ? PQ ? PF ? 0 ? PQ ? PF ? 动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x .
(2)由上述结论 88 易得 ?1 ? ?2 =0.

2

2

三、一组巩固训练题
练习 1. (2008 年湖北省高三八校联考试题)经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点任意作弦 AB, 4 3
) .

过 A 作椭圆右准线的垂线,垂足为 M,则直线 BM 必经过点( A.(2,0)

5 B.( ,0) 2

C. (3,0)

7 D.( ,0) 2

练习 2.证明结论 58. 练习 3.利用向量及方程思想证明结论 70.
2 2 练习 4. (2010 年厦门一中模拟试题) 椭圆 mx ? ny ? 1 与直线 x ? y ? 1 相交于 M ,N 两

点,弦 MN 的中点为 P ,若 k OP ?

m 2 ,求 的值. n 2

x2 y2 ? ? 1 的右准线 l 与 x 轴相交于 练习 5. (2001 年广东省、河南省高考试题)已知椭圆 2 1
点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A , B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC 平行 于 x 轴,求证:直线 AC 经过线段 EF 的中点. 练习 6.证明结论 46.
530

练习 7. (2003 年河北省模拟试题)设 A , B 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上两点,点 N (1,2)是 2

弦 A B 的中点. (1)求弦 A B 所在的直线方程; (2)如果线段 A B 的中垂线与双曲线相交于 C , D ,证明: A , B , C , D 四点共圆. 练习 8. (2006 年山东省菏泽市模拟试题) A , B 是抛物线 y ? x 2 上异于原点 O 的不同两 点,且满足 OA ⊥ OB . (1)求 ?AOB 的重心的轨迹方程; (2)求 ?AOB 的面积的最小值. 练习 9. (2004 年长春市模拟试题)已知定点 C (0, 1) ,若 A , B 是抛物线 y ? x 2 上异于原 点 O 的不同两点,且满足 OA ? OB ? 0 . (1)求证: AC ∥ AB ; (2)若 AM ? ? MB ( ? ? R ) ,且 OM ? AB ? 0 ,试求点 M 的轨迹方程. 练习 10. A( x1,y1 ) , B( x2,y 2 ) ( x1 ? x 2 )是抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上两点,点

M ( x0,y0 ) 是弦 AB 的中点,证明: k AB ? k OM ?

p . x0

四、巩固训练题参考答案
1.分析如下:由上述结论 47 易得 BM 必经过其相应的准线与 x 轴交点 E 与焦点 F 的线段 的中点.显然 F (1,0) , E (4,0) ,故选 B. 2.证明如下:如图所示,由结论 1 的推理过程易得以线段 MN 为直径的圆的方程为:

(x ?

? y0 a 2 a2 2 ? ) ? ?y ? ( ? a)? m x0 ? a m ? ?

? ? y0 a 2 y ? ( ? a)? =0. ? x0 ? a m ? ?

令 y ? 0 ,化简得到 ( x ?

a 2 2 b2 2 a 2 ? m2 ) ? 2 ?a ? ?0 m a m2

? x1 ?

a 2 ? b m2 ? a 2 a 2 ? b m2 ? a 2 , x2 ? . m m

即双曲线内定点 Q(

a 2 ? b m2 ? a 2 a 2 ? b m2 ? a 2 , 0) 及双曲线外定点 R ( , 0) . m m
2 2

3.证明如下:令 A ( 2 pt1 , 2 pt1 ) , B ( 2 pt2 , 2 pt2 ) ,M (x, y )

531

2 2 , OB =( 2 pt2 , 2 pt2 ) , ? OA =( 2 pt1 , 2 pt1 ) 2 2 , AB =( 2 pt2 ? 2 pt1 , 2 pt2 ? 2 pt1 ) OM =( x , y )

? OA ? OB =0, OM ? AB =0 ? t1t 2 ? ?1 , t1 ? t 2 ? ?
2

y (x ? 0) . x
2

由 A , M , B 三点共线,易得直线 AB 的方程为

( x ? 2 pt1 )( y ? 2 pt2 ) ? ( x ? 2 pt2 )( y ? 2 pt1 ) .
利用 t1t 2 ? ?1 , t1 ? t 2 ? ?

y 便知定点 N ( 2 p ,0)在直线 AB 上,而且化简可得 x

动点 M 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0 ( x ? 0 ) .

4.分析如下:由结论 24 可得 k OP

1 m b 2 2 . ? k MN = ? 2 ? ? (?1) ? ? n ? = 1 n 2 a 2 m
2

5.证明如下:直接利用结论 47 即可. 6.证明如下:如图所示,过 A 作直线 AD 与 x 轴平行,且交准线于 D ,准线交 x 轴于 E , 令直线 AC 交 x 轴于 N ,利用同一法,只要证明 N 与 O 重合即可. 由平面几何知识易得

EN AD
又由抛物线的性质可得

?

CN AC

?

BF AB



NF BC

?

AF AB



AF ? AD , BF ? BC

? EN ?

AD BF AB

?

AF BC AB

? NF ? N 与 O 重合.

7. 分析如下: (1) 由结论 37:k ON k AB =2, 得 k AB =1, 故弦 A B 所在的直线方程为 y ? x ? 1 . (2)可以求出弦 C D 所在的直线方程为 y ? ? x ? 3 ,与双曲线联立解得 A , B , C ,

D 四点坐标,由此求出弦 C D 的中点 M 的坐标,易得 MA ? MB ? MC ? MD ,故 A , B , C , D 四点共圆.
8.分析如下: (1) A( x1,y1 ) , B( x2,y 2 ) , G ( x,y ) , OA ⊥ OB ,由结论 68 易得

y1 y2 ? 4 p 2 ? 1 , x1 x2 ? ?4 p 2 ? ?1 .依据重心坐标公式可得 x ?

x1 ? x 2 y ? y2 ,y ? 1 3 3

532

即 x1 ? x2 ? 3x , y1 ? y2 ? 3 y .事实上,我们可知

y1 ? y2 ? x1 ? x2 = ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 = ( x1 ? x2 ) 2 ? 2

2

2

? 3 y ? 9 x 2 ? 2 ? ?AOB 的重心的轨迹方程为 y ? 3 x 2 ?
(2)

2 . 3

S ?AOB =

1 1 2 2 2 2 OA ? OB = x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 2 2 1 1 2 2 ( y ` ? y1 )( y 2 ? y 2 ) = (1 ? y1 )(1 ? y 2 ) = 2 2 1 1 ( y1 ? y 2 ) ? 2 ? 2 y1 y 2 ? 2 =1. = 2 2

1) ,即 A , B , C 三点共线,故 AC 9.证明如下: (1)由结论 69 易得直线 A B 过点 C (0,
∥ AB .

1? 1 ? (2)由结论 70 易得点 M 的轨迹是以 OC 为直径的圆,即 x ? ? y ? ? ? ( y ? 0 ) . 2? 4 ?
2

2

10.证明如下:事实上,本题就是结论 24 与结论 37 的姊妹结论,其推理过程也是类似的.

y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ? y1 ? y2 ? 2 p( x1 ? x2 )

2

2

2

2

?

y1 ? y 2 2 y 0 p p ? ? ? k AB ? k OM ? . x0 x1 ? x2 2 x0 x0

(补充定点问题)

结论 1: 过椭圆

x2 y2 ? ?1 0) 作两条相互垂直的弦 AB 、CD , (a ? b ? 0) 的右焦点 F (c, a2 b2

若弦 AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N ,则直线 MN 恒过定点 K ? ? 结论 1 的右焦点可以推广到长轴上任意点得到: 结论 2:过椭圆

? a 2c ? , 0? 2 2 ?. ?a ?b ?

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴上任意点 S ( s, 0) ( ? a ? s ? a )作两条 a2 b2

相互垂直的弦 AB 、 CD ,若弦 AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N ,则直线 MN 恒过定点

? a2s ? K? 0? ? a2 ? b2 , ?. ? ?
533

证明如下: 设直线 AB 的方程为 x ? my ? s( m ? 0 ) , 则 CD 的方程为 x ? ? 联立直线 AB 的方程: x ? my ? s 与椭圆的方程:

1 y?s. m

x2 y2 ? ? 1 得到 a2 b2

(b 2 m2 ? a 2 ) y 2 ? 2b 2 smy ? b 2 s 2 ? a 2b 2 ? 0

? a2s b 2 sm ? ? ?. M , ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? b m ? a b m ? a ? ?
同理可得

? a 2 sm 2 b 2 sm ? ?. N? , ? ? a 2m2 ? b2 a 2m2 ? b2 ? ? ?
因此得到( m ? ?1 )

k MN

(a 2 ? b 2 )m . ? 2 2 a (m ? 1)

所以直线 MN 的方程为:

y?

? b 2 sm (a 2 ? b 2 )m ? a2s ? ?. ? x ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? b m ?a a (m ? 1) ? b m ?a ? ? a2s ? a2s ? ,即恒过定点 K , 0? 2 2 2 2 ? ?. a ?b ?a ?b ?

令 y ? 0 ,则 x ?

显然,当 m ? 0 及 m ? ?1 时容易验证满足上述定点. 相应地,可以把长轴上任意点拓展到短轴上任意点得到: :结论 3:过椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的短轴上任意点 T (0,t ) ( ? b ? t ? b )作两 a2 b2

条相互垂直的弦 AB 、 CD ,若弦 AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N ,则直线 MN 恒过定 点 K? ? 0, 2

? ?

b 2t ? ?. a ? b2 ? ?

既然在长轴及短轴上任意点都有相应的结论, 那是否可以推广到椭圆内任意点呢?回答 是肯定的! 结论 4:过椭圆

x2 y2 s2 t 2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1 )作两条相 Q ( s , t ) ( )内的任意点 ( a2 b2 a2 b2

互垂直的弦 AB 、 CD ,若弦 AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N ,则直线 MN 恒过定点

? a2s b 2t ? K? , ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? ?. ? ?
圆锥曲线一般具有“家族”特征,因此结论 4 可以扩散到整个圆锥曲线,因此得到:
534

结论 5:过双曲线

x2 y2 s2 t 2 a ? 0 b ? 0 ? ? 1 ? ? 1 )作 ( , )内的任意点 ( Q ( s , t ) a2 b2 a2 b2

两条相互垂直的弦 AB 、 CD ,若弦 AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N ,则直线 MN 恒过

? a2s b 2t ? ?. 定点 K ? ? a2 ? b2 , a2 ? b2 ? ? ?
结论 6:过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )内任意点 Q( s,t ) ( t 2 ? 2 ps )作两条相互垂直的

0) . 弦 AB 、 CD ,若弦 AB 、 CD 的中点分别为 M 、 N ,则直线 MN 恒过定点 K ( p ? s,

(补充定值问题)

x2 y2 结论 1:若椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )上某点 P 的法线与 x 轴相交于点 G , F1 、 F2 为 a b
椭圆两个焦点,过点 G 作焦半径 PF 1 的垂线 l ,垂足为 L ,则线段 PL 的长为定值,且

PL ?

b2 ,即线段 PL 的长为半通径. a

证明:设 P( x0,y0 ) ( x0 ? ?a ) ,显然 F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) ,容易得到点 P 的法线方 程为:

a 2 y0 x ? b 2 x0 y ? (a 2 ? b 2 ) xo y0 ? 0 .
令 y ? 0 即可得到点 G(e 2 x0, 0) ,由此可求得垂线 l 的方程为:

( x0 ? c) x ? y0 y ? e 2 ( x0 ? c) x0 ? 0 .
由点到直线的距离公式可得点 P 到垂线 l 的距离为

d?

(1 ? e ) x ? (1 ? e )cx0 ? y
2 2 0 2 2 ( x0 ? c) 2 ? y 0
2 2

2 0

?

b2 2 2 ( x0 ? cx0 ) ? y 0 2 a
2 ( x0 ? c) 2 ? y 0



我们注意到点 P 在椭圆上,因此

x0 y ? 02 ? 1 ,故有 2 a b

535

d?

b2 b2 ? PL ? . a a

同理可证下面结论 2 与结论 3: 结论 2:若椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )上某点 P 的法线与 x 轴相交于点 G , F1 、 F2 为 a2 b2

双曲线两个焦点,过点 G 作焦半径 PF 1 的垂线 l ,垂足为 L ,则线段 PL 的长为定值,且

b2 PL ? ,即线段 PL 的长为半通径. a
结论 3:若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上某点 P 的法线与 x 轴相交于点 G ,过点 G 作焦半 径 PF 的垂线 l , 垂足为 L , 则线段 PL 的长为定值, 且 PL ? p , 即线段 PL 的长为半通径.

(有关定直线问题)

x2 y2 a2 P 结论 1:椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) , A1 、 A2 是左右顶点, 为直线 x ? 上的动点, m a b
0) ;反之,过 连接 PA 2 ,与椭圆交于另外两点 M 、 N ,则直线 MN 恒过定点 Q(m, 1 、 PA

0) ,作一条直线 MN ,则 A1 M 、 A2 N 的交点在定直线 x ? 椭圆内一个定点 Q(m,
(可以推广到双曲线以及抛物线吗?)

a2 上. m

x2 y2 ? ? 1 的左右顶点为 A 、 B , 举例 1: (2010 年江苏省高考试题第 18 题)已知椭圆 9 5
TB 与椭圆分别交于 M ( x1,y1 ) 、N ( x2,y2 )(其 右焦点为 F , 设过点 T (t,m) 的直线 TA 、
中 m ? 0 , y1 ? 0 , y 2 ? 0 ) . (Ⅰ)设动点 P 满足 PA ? PB (Ⅱ)设 x1 ? 2 , x 2 ?
2 2

? 4 ,求点 P 的轨迹;

1 ,求点 T 的坐标; 3 (Ⅲ)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一个定点.
(季福根,圆锥曲线中的伴随曲线与相关点线问题再探讨,数学通报,2013(11) :21-23)

536


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