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第2章 数列 习题课1 常见的数列求和及应用


习题课 1

常见的数列求和及应用 对点讲练

一、分组求和 例1 1 1 1 2 n 求和:Sn=?x+x?2+?x +x2?2+…+?x +xn?2. ? ? ? ? ? ?

1 1 1 n n 分析 ?x +xn?2 的结构特征,?x +xn?2=x2n+ 2n+2.分别组成三个数列从而求和. ? ? ? ? x 解 当 x≠±1 时, 1 1 1 2 n Sn=?x+x ?2+?x +x2?2+…+?x +xn?2 ? ? ? ? ? ? 1? ? 4 1? 1 2 2n =?x +2+x2?+?x +2+x4?+…+?x +2+x2n? ? ? ? 1 1 1? =(x2+x4+…+x2n)+2n+?x2+x4+…+x2n? ? -2 -2n 2 2n x (x -1) x (1-x ) = 2 + +2n - x -1 1-x 2 2n 2n+2 (x -1)(x +1) = +2n x2n(x2-1) 当 x=±1 时,Sn=4n. x=±1 ?4n, ? 2n 2n+2 综上知,Sn=?(x -1)(x . +1) ? x2n(x2-1) +2n, x≠±1 ? 总结 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等 差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和. - ?变式训练 1 求数列 1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an 1,…的前 n 项和 Sn(其 中 a≠0). n(n+1) 解 当 a=1 时,则 an=n,于是 Sn=1+2+3+…+n= . 2 1-an 1 当 a≠1 时,an= = (1-an). 1-a 1-a n a(1-an) 1 1 ? a(1-a )? n [n-(a+a2+…+an)]= ∴Sn= ?n- 1-a ?=1-a- (1-a)2 . 1-a 1-a? ?

?n(n+1) ? 2 ∴S =? a(1-a ) n ? ?1-a- (1-a)
n n 2

(a=1), (a≠1).

二、拆项相消 1 1 1 1 求和: 2 + 2 + 2 +…+ 2 ,(n≥2). 2 -1 3 -1 4 -1 n -1 1 分析 认真观察,式中每一项 2 均可拆成两项之差,于是可用拆项相消法求和. n -1 1 1 1 1 1 解 ∵ 2 = = ?n-1-n+1?, ? n -1 (n-1)(n+1) 2? 1 1 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ∴原式= [?1-3?+?2-4?+?3-5?+…+?n-1-n+1?] 2 ? ? 例2

1 1 1 2n+1 1 3 = ?1+2-n-n+1?= - . 2? 4 2n(n+1) ? 总结 如果数列的通项公式可转化为 f(n+1)-f(n)的形式,常采用拆项求和法. 1 1 1 ?变式训练 2 求和:1+ + +…+ . 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n 1 1 1 2 = =2?n-n+1? 解 ∵an= ? 1+2+…+n n(n+1) ? 1 1 1 1 1 ? 2n ∴Sn=2?1-2+2-3+…+n-n+1 = ? ? n+1. 三、奇偶并项 例 3 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1). 分析 通项中含符号数列(-1)n,按 n 为奇数、偶数分类讨论后,再并项求和. 解 当 n 为奇数时, Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1) n-1 =2· +(-2n+1)=-n. 2 n 当 n 为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2· =n. 2 ∴Sn=(-1)nn (n∈N*). ?变式训练 3 已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n(3n-2),…,求其前 n 项和 Sn. 解 n 为偶数时,令 n=2k (k∈N*), Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2) 3 =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]=3k= n; 2 当 n 为奇数时,令 n=2k+1 (k∈N*). -3n+1 Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)= . 2

?-3n+1 (n为奇数), 2 ∴S =? 3n ? 2 (n为偶数).
n

课堂小结: 课堂小结 求数列前 n 项和,一般有下列几种方法. 1.错位相减(前面已复习) 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3.拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式, 相加过程消去中间项, 只剩有限项再求 和. 4.奇偶并项 + 当数列通项中出现(-1)n 或(-1)n 1 时,常常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论. 5.倒序相加 例如,等差数列前 n 项和公式的推导方法.

课时作业
一、选择题 a1+a2+a3+…+an 所确定的数列{bn}的前 n 1.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= n

项之和是(

)

1 1 1 A.n(n+2) B. n(n+4) C. n(n+5) D. n(n+7) 2 2 2 答案 C n 解析 a1+a2+…+an= (2n+4)=n2+2n. 2 n(n+5) ∴bn=n+2,∴bn 的前 n 项和 Sn= . 2 1 1 1 1 2.已知数列{an}为等比数列,前三项为 a, a+ , a+ ,则 Tn=a2+a2+…+a2等于 1 2 n 2 2 3 3 ( ) 2 2 A.9?1-?3?n? B.81?1-?3?n? ? ? ?? ? ? ?? 4 4 81 C.81?1-?9?n? D. ?1-?9?n? ? ? ?? 5? ? ?? 答案 D 1 1 1 1 解析 由?2a+2?2=a?3a+3?,解得 a=3. ? ? ? ? 4 4 ∴a1=3,a2=2,a3= ,∴{a2}是以 a2=9 为首项,以 为公比的等比数列, n 1 3 9 4?n? 9?1-?9? ? ? ? 4 81 = ?1-?9?n?. ∴Tn= 5? ? ? ? 4 1- 9 - 3.设数列 1,(1+2),(1+2+4),…,(1+2+22+…+2n 1)的前 m 项和为 2 036,则 m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 答案 C + 解析 an=2n-1,Sn=2n 1-n-2,代入选项检验,即得 m=10. 4.在 50 和 350 之间末位数是 1 的所有整数之和是( ) A.5 880 B.5 539 C.5 280 D.4 872 答案 A 30×(341+51) =5 880. 解析 S=51+61+…+341= 2 - 5.已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n 1n,则 S17+S33+S50 等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 答案 B 解析 S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9, S33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17, S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25, 所以 S17+S33+S50=1. 二、填空题 6.(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=________. 答案 5 050 解析 (1002-992)+(982-972)+…+(22-12) 100×(100+1) =100+99+…+2+1= =5 050. 2 7.在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________. 答案 1 473 33×(3+99) =1 683. 解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为:S1=3+6+…+99= 2

100 内所有能被 21 整除的数的和为:S2=21+42+63+84=210. ∴100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1-S2=1 683-210=1 473. 1+3+5+…+(2x-1) 8.若 =132 (x∈N*),则 x=________. 1 1 1 1 + + +…+ 1·2 2·3 3·4 x(x+1) 答案 11 1+3+5+…+(2x-1) x2 x2 解析 = = 1 1 1 1 x + +…+ 1- 1·2 2·3 x(x+1) x+1 x+1 =x(x+1)=132,∴x=11. 三、解答题 1 9.设正项等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且 210S30-(210+1)S20+S10=0. 2 (1)求{an}的通项; (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn. S30-S20 1 解 (1)由 210S30-(210+1)S20+S10=0,得 = 10,设公比为 q, S20-S10 2 a1(1-q30) a1(1-q20) - 1-q 1-q 1 1 = 10,即 q10= 10, 则 2 a1(1-q20) a1(1-q10) 2 - 1-q 1-q 1 1 1 - 1 1 所以 q= ,所以 an= ·?2?n 1= n,即 an= n,n=1,2,…. 2? ? 2 2 2 1 1 (2)因为{an}是首项 a1= ,公比 q= 的等比数列. 2 2 1? 1? 1- n 2? 2 ? 1 n 所以 Sn= =1- n,nSn=n- n. 2 2 1 1- 2 则数列{nSn}的前 n 项和 1 2 n Tn=(1+2+…+n)-?2+22+…+2n?① ? ? n-1 1 2 n ? Tn 1 ? = (1+2+…+n)-?22+23+…+ 2n + n+1?② 2 2 2 ? ? 1 1 1 Tn 1 n ①-②,得 = (1+2+…+n)-?2+22+…+2n?+ n+1 ? ? 2 2 2 1 1? 1- n? n(n+1) 2? 2 ? n = - + n+ 1, 4 1 2 1- 2 n(n+1) 1 n 即 T n= + n-1+ n-2. 2 2 2 3-an-1 ,n=2,3,4,…. 10.设数列{an}的首项 a1∈(0,1),an= 2 (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=an 3-2an,证明 bn<bn+1,其中 n 为正整数. 3-an-1 解 (1)由 an= ,n=2,3,4,…. 2 1 整理得 1-an=- (1-an-1). 2

1 又 1-a1≠0,所以{1-an}是首项为 1-a1,公比为- 的等比数列, 2 1?n-1 得 an=1-(1-a1)?-2? . ? 3 (2)由(1)可知 0<an< ,故 bn>0. 2 那么,b2+1-b2 n n =a2+1(3-2an+1)-a2(3-2an) n n ?3-an?2?3-2×3-an?-a2(3-2a ) = n 2 ? n ? 2 ?? 9an = (an-1)2. 4 又由(1)知 an>0 且 an≠1,故 b2+1-b2>0, n n 因此 bn<bn+1,n 为正整数.


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