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湖北省高中数学 第1章《解三角形》函数的周期性问题教案 新人教A版必修5


湖北省浠水县团陂高级中学高中数学 第 1 章《解三角形》函数的周期性问 题教案 新人教 A 版必修 5 一、教学目标: 理解周期函数的概念并能运用函数的周期性知识解题。 1. 周期函数定义: 设函数 f ? x ? 的定义域为 D, T 为非零常数, 若对任意 x ? D , 都有 f ? x ? T ? ? f ? x ? 成立,则 f ? x ? 是周期函数,T 是 f ? x ? 的一个周期。若在所有的正周期中存在最小值,则称此值为最小正 周期。 2.从定义表述中可发现,周期函数不一定存在最小正周期。 二、问题举例 例 1.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的函数 选题目的:引导学生理解并掌握周期函数的不同表现形式,感受抽象函数递推式与周期函数的联系; 思路分析:以第(3)小题为例,因为 f ? x ? 2 ? ? ? 1 中的 x 是任意的,可 x ? 2 替代 x ,就可得 f ? x? 到 f ? x ? 4? ? ? 1 1 ?? ? f ? x ? ,从而 f ? x ? 的一个周期为 4; 1 f ? x ? 2? ? f ? x? 其它几个问题也同样可求得结果。 例 2.设 函数 f ? x ? 是定义在 R 上的函数,求解下列问题 (1)直线 x ? a 和 x ? b 是函数 y ? f ? x ? 图象的两条对称轴,问 f ? x ? 是否为周期函数,若是,其周 期为多少? ( 2 ) 直线 x ? a 是函数 y ? f ? x? 图象的对称轴,点 ? b, 0 ? 是函数 y ? f ? x? 图象的对称中心,问问 f ? x ? 是否为周期函数,若是,其周期为多少? 选题目的:两条对称轴就 如人的前后各放置了一面镜子,会在镜子里出现无数多个像,正如周而复始 的现象;指导学生研究函数图象对称性与周期性的内在联系,从而能更好地运用对称性和周期性解决相关 数学问题。 思路分析:以第( 1 )题为例,因为 x ? a 和 x ? b 都是函数 y ? f ? x ? 图象的对称轴,所以必有: f ? 2a ? x ? ? f ? x ? , f ? 2b ? x ? ? f ? x ? , 则 有 f ? 2 a ? ?x ? ? f2 用 ? b? , x 2b ? x 替 代 x 可 得 到 f ? 2a ? 2b ? x ? ? f ? x ? , 由周期函数的定义可知, f ? x ? 的一个正 周期为 2 a ? b 。 例 3.若 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 21? x ;当 x ? 1 时 f ( x) ? f ( x ? 1) , 则函 数 y ? f ( x) ? x 的零点有_______________个. 2 特征,能画 点,又由奇 共有七个交 选题目的:引导学生更透彻理解周期函数的某些 分段函数的图象,运用数形结合的思想方法解题。 思路分析:由题意可得图像在第一象限有三个交 函数性质得在第三象限好有三个交点, 最终加上原点, 点. 例 4. 设 a ? 0 ,f(x)是定义在 R 上的函数,且对任 足: f ? x ? a ? ? 意 x?R 满 1 ? 2 f ? x? ? ? ? f ? x ?? ? 2 (1)试证明:函数是周 f ? x ? 期函数; (2)就 a ? 1 举出一个这种函数的例 f ? x ? 子,但不能 f ? x ? 是常数。 选题目的:掌握周期函数证 明方法,能

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