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抛物线知识点与经典习题


抛物线
l y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
F x y l O x

y F O x l

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y l O F x

抛 物 线

O

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

F

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 定义 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。{ M MF =点 M 到直线 l 的距离} 范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线 的距离 焦点到准线 的距离 焦半径
x?? p 2
x? p 2

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

关于 x 轴对称 (
p ,0) 2

关于 y 轴对称
p p ,0) (0, ) 2 2 焦点在对称轴上

(?

(0, ?

p ) 2

O(0, 0)

e =1
y?? p 2
y? p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p 2

p
AF ? x1 ? p 2 AF ? ? x1 ? p 2 AF ? y1 ? p 2 AF ? ? y1 ? p 2

A( x1 , y1 )
焦 点弦 长

AB
焦点弦 AB 的几条性质
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )

( x1 ? x2 ) ? p

?( x1 ? x2 ) ? p

( y1 ? y2 ) ? p

?( y1 ? y2 ) ? p

y o

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F

以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切 若 AB 的倾斜角为 ? ,则
2p sin 2 ?

AB ?

若 AB 的倾斜角为 ? ,则

AB ?

2p cos 2 ?

x1 x2 ?

p2 4

y1 y2 ? ? p 2

1 1 AF ? BF AB 2 ? ? ? ? AF BF AF ? BF AF ? BF p

切线 方程

y0 y ? p( x ? x0 )

y0 y ? ? p( x ? x0 )

x0 x ? p( y ? y0 )

x0 x ? ? p( y ? y0 )

1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 , ,消 y 得:

(1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时, Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l : y ? kx ? b ① 抛物线 , ( p ? 0)

联立方程法: y ? kx ? b ? k 2 x 2 ? 2(kb ? p) x ? b2 ? 0 ? ? 2 ? y ? 2 px

设 交 点 坐 标 为 A( x , y ) , B( x , y ) , 则 有 ? ? 0 , 以 及 x ? x , x x , 还 可 进 一 步 求 出 1 1 2 2 1 2 1 2
y1 ? y2 ? kx1 ? b ? kx2 ? b ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b , y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2

在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦 AB 的弦长
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1? k 2

? a



AB ? 1 ?

1 1 y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 1 ? k 2 ? 2 k k a

b. 中点 M ( x , y ) , 0 0 ② 点差法:

x0 ?

x1 ? x2 , y ? y2 y0 ? 1 2 2

设交点坐标为 A( x , y ) , B( x , y ) ,代入抛物线方程,得 y 2 ? 2 px , 1 1 2 2 1 1 将两式相减,可得 ( y ? y )( y ? y ) ? 2 p( x ? x ) y ? y 2p 1 2 1 2 1 2 1 2 ? x1 ? x2 y1 ? y2 a. 在涉及斜率问题时,
k AB ? 2p y1 ? y2

y2 ? 2 px2

2

b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段 AB 的中点为 M ( x , y ) , y ? y 2p 2p p , 0 0 1 2 ? ? ? x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0 y0 即
k AB ? p , y0

同理,对于抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) ,若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,点 M ( x , y ) 是弦 AB 的中 0 0 点,则有
k AB ? x1 ? x2 2 x0 x0 ? ? 2p 2p p

(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于 零)

一、抛物线的定义及其应用
例 1、设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

例 2、(2011?山东高考)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一 点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) )

二、抛物线的标准方程和几何性质
例 3、抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,经过 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,交准线 于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK⊥l,垂足为 K,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则△AKF 的面积是 ( A.4 ) B.3 3 C.4 3 D.8

例 4、 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、 B, 交其准线 l 于点 C, 若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3 则此抛物线的方程为 3 A.y =2x
2

( 9 C.y =2x
2

) D.y2=3x

B.y =9x
2

三、抛物线的综合问题
例 5、(2011?江西高考)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,

y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的值.

例 6、(2011?湖南高考)(13 分)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差 等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹 C 相 交于点 D,E,求 AD ? EB 的最小值

例 7、已知点 M(1,y)在抛物线 C:y2=2px(p>0)上,M 点到抛物线 C 的焦点 F 的距离为 2,直线 l: 1

y=-2x+b 与抛物线 C 交于 A,B 两点.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程.

练习题 1.已知抛物线 x2=ay 的焦点恰好为双曲线 y2-x2=2 的上焦点,则 a 等于 A.1 B.4 C. 8 D.16 ( ) ( )

2.抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 17 A.-16 15 B.-16 7 C.16 15 D.16

3.(2011?辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2=x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3, 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3 A.4 B.1 5 C.4 ( ) 7 D.4 )

4.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定

5.(2012?宜宾检测)已知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两 点,则||FA|-|FB||的值等于 B.8C. 8 2 D.16 ( ) A.4 2

6 .在 y = 2x2 上有一点 P ,它到 A(1,3) 的距离与它到焦点的距离之和最小,则点 P 的坐标是 ( ) A.(-2,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(-1,2)

7.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的

斜率为- 3,那么|PF|= A.4 3 B.8

(

) C.8 3 D.16

8 . (2011 ? 陕 西 高 考 ) 设 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点 , 准 线 方 程 为 x = - 2 , 则 抛 物 线 的 方 程 是 ( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x

9 . (2012 ?永州模拟 ) 以抛物线 x2 = 16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ________. 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(-3,m)到焦点的距离是 5,则抛 物线的方程为________. 11.已知抛物线 y2=4x 与直线 2x+y-4=0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦点为 F,那么| FA | + | FB | =________. 12.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点,若 x1+x2=6,那么 |AB|等于________ 13.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4).

14.已知点 A(-1,0),B(1,-1),抛物线 C:y2=4x,O 为坐标原点,过点 A 的动直线 l 交抛物线

C 于 M,P 两点,直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM 与 OP 的夹角为 4 ,求△POM 的面积.

π

答案 一、抛物线的定义及其应用 例 1、(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1. 由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和 最小.显然,连结 AF 交曲线于 P 点,则所求的最小值为|AF|,即为 5. (2)如图,自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B| +|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为 4. 例 2、解析:圆心到抛物线准线的距离为 p,即 p=4,根据已 知只要|FM|>4 即可.根据抛物线定 |FM|=y0+2 由 y0+2>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范围是(2,+∞). 二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、设点 A(x1,y1),其中 y1>0.由点 B 作抛物线的准线的垂线,垂足为 B1.则有 |BF|=|BB1|;

|BB1| 1 π 又|CB|=2|FB|,因此有|CB|=2|BB1|,cos∠CBB1= |BC| =2,∠CBB1= 3 .即直线 AB 与 x 轴的夹角 π p π 1 1 为 3 .又|AF|=|AK|=x1+2=4,因此 y1=4sin 3 =2 3,因此△AKF 的面积等于2|AK|?y1=2?4 ?2 3=4 3. 例 4.分别过点 A、B 作 AA1、BB1 垂直于 l,且垂足分别为 A1、B1,由已知条件|BC|=2|BF|得|BC| =2|BB1|,∴∠BCB1=30°,又|AA1|=|AF|=3, ∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F 为线段 AC 的中点.故点 F 到准线的距离 1 3 为 p=2|AA1|=2,故抛物线的方程为 y2=3x. 三、抛物线的综合问题

p
例 5、(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x-2),与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0,所以:x1 5p +x2= 4 ,由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); 设 OC =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2)=(4λ +1,4 2λ -2 2). 又 y2 2(2λ -1)]2=8(4λ +1). 3=8x3,即[2 即(2λ -1)2=4λ +1.解得λ =0,或λ =2.

例 6、 (1)设动点 P 的坐标为(x,y),由题意有 当 x≥0 时,y2=4x;当 x<0 时,y=0.

x-1

2

+y2-|x|=1.化简得 y2=2x+2|x|.

所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≥0)和 y=0(x<0). (2) 由 题 意 知 , 直线 l1 的斜率存在且 不为 0 ,设为 k ,则 l1 的方程为 y = k(x - 1) . 由 ?y=k x-1 ? 2 ?y =4x ,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. (7 分)

4 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 + x2 = 2 + k2 , x1x2 = 1. (8 分) 1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为-k. 设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得

x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)?(x4+1) = x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 (11 分) 1

4 1 =1+(2+k2)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+k2)≥8+4?2 1 当且仅当 k2=k2,即 k=±1 时,

k2?k2=16.

AD EB 取最小值 16.
?

p
例 7 、(1)抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=-2,由抛物线定义和已知条件可知

p

p

|MF|=1-(-2)=1+2=2,解得 p=2, 故所求抛物线 C 的方程为 y2=4x.

?y=-1 2x+b, (2)联立? ?y =4x
2

消去 x 并化简整理得 y2+8y-8b=0.

依题意应有Δ =64+32b>0,解得 b>-2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=-8,y1y2=-8b, 设圆心 Q(x0,y0),则应用 x0=

x1+x2
2

,y0=

y1+y2
2 =-4.

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,所以圆的半径为 r=|y0|=4. 又|AB|= 5[

x1-x2
2

2

y1-y2

2



1+4

y1-y2

2



y1+y2

-4y1y2]= 5 64+32b

64+32b 8 =8,解得 b=-5.

所以|AB|=2r= 5

48 所以 x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16= 5 ,

24 24 则圆心 Q 的坐标为( 5 ,-4).故所求圆的方程为(x- 5 )2+(y+4)2=16.

练习题:
a
解得 a=8.

a

1.解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为 (0,4),双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有4=2

y 1 2.解析:抛物线方程可化为 x2=-4,其准线方程为 y=16.设 M(x0,y0),则由抛物线的定义,可
1 15 知16-y0=1? y0=-16. 1 1 3.解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为:2(|AF|+|BF|)-4 3 1 5 =2-4=4. 4.解析:设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线 l,A1、B1 分别为 A、B 在直线 l 上的射影,则|AA1| 1 1 1 =|AF|,|BB1|=|BF|,于是 M 到 l 的距离 d=2(|AA1|+|BB1|)=2(|AF|+|BF|)=2|AB|=半径,故 相切. ?y=x-2, 2 5.解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2 由? ?y =8x ,消去 y 得 x2-12x+4=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= 144-16=8 2. 6.解析:如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x2 的准线,F 为其焦点,PN⊥l,AN1⊥l, 由抛物线的定义知,|PF|=|PN|,∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|,当且仅当

A、P、N 三点共线时取等号.∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1,则可排
除 A、C、D.答案:B 7.解析:设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直 线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= A.4 3 C.8 3 B.8 D.16 ( )

8.解析:由准线方程 x=-2,可知抛物线为焦点在 x 轴正 ,半轴上的标准方程,同时得 p=4, 所以标准方程为 y2=2px=8x 9.解析:抛物线的焦点为 F(0,4),准线为 y=-4,则圆心为(0,4),半径 r=8. 所以,圆的方程 为 x2+(y-4)2=64.

a
10.解析:设抛物线方程为 x2=ay(a≠0),则准线为 y=-4.∵Q(-3,m)在抛物线上,∴9=am.

a 9 9 a 而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离, ∴|m-(-4)|=5.将 m=a代入, 得|a+4|=5, 解得, a=±2,或 a=±18,∴所求抛物线的方程为 x2=±2y,或 x2=±18y.
?y =4x 11.解析:由? ?2x+y-4=0
2

,消去 y,得 x2-5x+4=0(*),方程(*)的两根为 A、B 两点的横坐

标,故 x1+x2=5,因为抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),所以| FA | +| FB | =(x1+1)+(x2+ 1)=7 12.解析:因线段 AB 过焦点 F,则|AB|=|AF|+|BF|.又由抛物线的定义知|AF|=x1+1,|BF|=

x2+1,故|AB|=x1+x2+2=8. x2 y2
13.解析:双曲线方程化为 9 -16=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为

p y2=-2px(p>0),则-2=-3,∴p=6,∴抛物线方程为 y2=-12x.
(2)由于 P(2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为 y2=mx 或 x2=ny,代 入 P 点坐标求得 m=8,n=-1, ∴所求抛物线方程为 y2=8x 或 x2=-y. 14.解:设点 M( 4 ,y1),P( 4 ,y2), ∵P,M,A 三点共线, ∴kAM=kPM, 即y2 1

y2 1

y2 2

y1-y2 y1 1 2,即 2 =y2 = y2 y1+4 y1+y2,∴y1y2=4. 1 4 +1 4 - 4 y2 y2 1 2

y1

π ∴ OM ? OP = 4 ? 4 +y1y2=5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为 4 ,
π 1 π 5 ∴| OM |?| OP |?cos 4 =5.∴S△POM=2| OM | ?| OP | ?sin 4 =2.


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