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七立几教师版


2009 届高三数学基础知识

立体几何
一、空间的直线与平面 1、平面:几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示. (1)平面的表示方法: 。 (2)用集合论中的符号表示它们之间的关系,例如:A∈l 表示点 A 在直线 l 上; A ? α 表示点 A 不在平面α 内;l ? α 表示直线 l 在平面α 内; a ? α 表示直线

a 不在平面α 内;l∩m=A 表示直线 l 与直线 m 相交于 A 点; α ∩l=A 表示平面α 与直线 l 交于 A 点;α ∩β =l 表示平面α 与平面β 相交于直线 l. 2.平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 3.证题方法 直接证法 反证法 证题方法 间接证法 同一法 4.空间线面的位置关系 平行—没有公共点 共面 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交)

直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) (3)平面与平面 平行—没有公共点 5.异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 6.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交 线平行,即若 a∥α ,a β ,α ∩β =b,则 a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ④两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ ,β ∩γ =b,则 a ∥b
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(2)两直线垂直的判定 ①定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a⊥b,则 a⊥c ③一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线 .即若 a⊥α ,b ? α ,a ⊥b.④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂 直,则它也和这条斜线垂直. (3)直线与平面平行的判定 ①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行.即 若 a ? α ,b ? α ,a∥b,则 a∥α . ③两个平面平行, 其中一个平面内的直线平行于另一个平面, 即若α ∥β ,l ? α , 则 l∥β . (4)直线与平面垂直的判定 ①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若 m ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α . ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a,a⊥ α ,则 l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 它也垂直于另一个平面, 即若α ∥β ,l⊥β , 则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面, 即 若α ⊥β ,a∩β =α ,l ? β ,l⊥a,则 l⊥α . (5)两平面平行的判定 ①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点 ? α ∥β . ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若 a,b ? α ,a∩b=P,a∥β ,b∥β ,则α ∥β . ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α ⊥a,β ⊥a,则α ∥β . ④平行于同一平面的两平面平行.即若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ . (6)两平面垂直的判定 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面 角α -a-β =90° ? α ⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直, 即若 l⊥β ,l ? α , 则α ⊥β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α ∥β ,α ⊥γ ,则β ⊥ γ . (7)线、线关系和线、面关系的辨证法

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7.射影及有关性质 (1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,点的 射影还是点. (2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在 这平面上的射影. (4)射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: (i)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; (ii)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; (iii)垂线段比任何一条斜线段都短. 9.空间中的各种角 等角定理及其推论 定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等. 推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 异面直线所成的角 (1)定义:a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a′∥a,b′∥b,则 a′ 和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. (2)取值范围: . (3)求解方法 ①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角θ ; ②解含有θ 的三角形,求出角θ 的大小. 10、直线和平面所成的角 (1)定义 和平面所成的角有三种: (i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和 这个平面所成的角. (ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角. (iii)一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是 0°的角. (2)取值范围: (3)求解方法 ①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角θ . ②解含θ 的三角形,求出其大小. 11、二面角及二面角的平面角 (1)半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面. (2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 .这条直线叫做二面角的 棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成. 二面角的平面角θ 的取值范围是 0°<θ ≤180° (3)二面角的平面角 ①以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的 角叫做二面角的平面角. 如图,∠PCD 是二面角α -AB-β 的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点 C 在棱 AB 上的位置无 关. ②二面角的平面角具有下列性质:

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(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即 AB⊥平面 PCD. (ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线, 垂足必在平面角 的另一边(或其反向延长线)上. (iii)二面角的平面角所在平面与二面角的两个面都垂直,即平面 PCD⊥α , 平面 PCD⊥β .

二、棱柱、球
1、多面体: ____________________________________________________________________ 2、棱柱: (1)棱柱的有关概念: 的多面体叫棱柱; 的 棱柱叫直棱柱; 的棱柱叫正棱柱; 叫平行六面 体; _______________________________叫长方体; 的叫正方体. (2)棱柱的分类: ①按侧棱与底面的位置关系分: 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱, 侧棱垂直于底面的 棱柱叫直棱柱, 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 ②按底面多边形的边数分:棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱 柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… {正方体}?{长方体}?{直平行六面体}?{平行六面体}?{四棱柱} (3)棱柱的性质:①___________________②___________________③__________________.

设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,对角线长为 l ,则 l 2=a 2+b
2

+c

2

(4) 两个定理①______________________________; ②_______________________________. 3、棱椎: ⑴棱锥:有一个面是_______________(底面)②其余各面都是有__________________(侧 面). 正棱锥:底面____________② 顶点________________ 叫正棱锥 ⑵棱椎的截面性质定理:_________________________. ⑶正棱锥的性质 :①________________________②___________________________. 4、正多面体的概念:____________________种类:_______________________________. 5、球的定义: 叫球体(简称球), 叫球 面. 6 、球的截面性质:用一个平面截一个球面,所得截线是以 为圆心,以r= 为半径的一个圆,截面是一个 . 7、大圆、小圆与球面距离: 。 8、 S 球 = , V球 = 。

9、球的截面的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面。作图并讨论垂直的理由。 ②设球心到截面的距离为 d,截面圆的半径为 r,球的半径为 R,则:r= R 2 ? d 2

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课本题 1. 点 A、 B 到平面 ? 距离分别为 12, 20, 若斜线 AB 与 ? 成 30 0 的角, 则 AB 的长等于_____。 2.已知 PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 600,则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 。 3.已知△ABC 中,AB=9,AC=15,∠BAC=1200,这三角形所在平面 α 外的一点 P 与三 个顶点的距离都是 14,那么 P 到平面 α 的距离是 。 4 .在平面角为 60 0 的二面角 ? ? l ? ? 内有一点 P , P 到 α 、 β 的距离分别为 PC =2 cm , PD=3cm,则 P 到棱 l 的距离为____________。 5. 三棱柱的一个侧面面积为 S, 此侧面所对的棱与此面的距离为 h, 则此棱柱的体积为 。

6.在正三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SC⊥侧面 SAB,侧棱 SC= 2 3 ,则此正三棱锥的外接球的 表面积为 。 7 . 自 半 径 为 R 的 球 面 上 一 点 P 引 球 的 两 两 垂 直 的 弦 PA 、 PB 、 PC, 则 PA2 ? PB 2 ? PC 2 =_____。 P23 练习 2,3,4 ; P26 练习 1;P28 练习 6;P29 习题 8,12,13,14;P32 练习 2;P35 练习 1,3 P37 练习 2,3 习题 2,3,7,8,911,13,14 ;P45 练习 3,4 P46 习题 3,5,6,7,8,9,10; P52 练习 5,6 P54 练习 3,4; P60 练习 3,5 P64 复习题 1,2,3,4,5,6,7,12,13,14,15 高考题

1. 给定空间中的直线 l 及平面?,条件“直线 l 与平面?内无数条直线都垂直” 是“直线 l 与平面?垂直”的必要非充分条件

2.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影 为 △ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于

6 3

3. 已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则
AE, SD所成的角的余弦值为

3 3

4.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共 弦长为 2,则两圆的圆心距等于

3

5.设直线 l ? 平面 ? ,过平面 ? 外一点 A 与 l , ? 都成 30 0 角的直线有且只有: 2
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6.设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是 (A) a ? ? , b // ? , ? ? ? (C) a ? ? , b ? ? , ? // ? (B) a ? ? , b ? ? , ? // ? (D) a ? ? , b // ? , ? ? ?

C

7..已知 m, n 是两条不同直线,? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是 D A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n
8 2? 3

8.用与球心距离为 1 的平面去截球, 所得的截面面积为 ? , 则球的体积为

9,设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是 A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 10.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平 面 BB1D1D 所成角的正弦值为
10 5

D

11.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在 9 同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 8 4 ___ ? _ 3 12.若一个球的体积为 4 3? ,则它的表面积为_______12 ? .

13.已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为

3 , 3

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则该正四棱柱的体积等于______2________。 14.若三棱锥的三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 9 ?. 15.如图, 已知球 O 点面上四点 A、 B、 C、 D, DA ? 平面 ABC, AB ? BC, DA=AB=BC= 3 , 则球 O 点体积等于_____
9π ______。 2

16.在体积为 4 3? 的球的表面上有 A,B,C 三点,AB=1,BC= 2 ,A,C 两点的球 面距离为
17.

3 3 ? ,则球心到平面 ABC 的距离为____ _____. 2 3

D 矩 形 . 已 知 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C 是

AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .
(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. (Ⅰ)证明:在 ?PAD 中,由题设 PA ? 2, PD ? 2 2 可得

PA 2 ? AD 2 ? PD 2 于 是 AD ? PA . 在 矩 形 ABCD 中 ,
AD ? AB .又 PA ? AB ? A , 所以 AD ? 平面 PAB . (Ⅱ)解:由题设, BC // AD ,所以 ?PCB (或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 ?PAB 中,由余弦定理得

PB ? PA2 ? AB2 ? 2PA? AB? cos PAB ? 7
由(Ⅰ)知 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB ,因而 BC ? PB ,于是 ?PBC 是直角三角形,故 tan PCB ?

PB 7 . ? BC 2

所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan

7 . 2

(Ⅲ)解:过点 P 做 PH ? AB 于 H,过点 H 做 HE ? BD 于 E,连结 PE 因为 AD ? 平面 PAB , PH ? 平面 PAB ,所以 AD ? PH .又 AD ? AB ? A , 因而 PH ? 平面 ABCD ,故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知, BD ? PE ,从而 ?PEH 是二面角 P ? BD ? A 的平面角。 由题设可得,

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PH ? PA ? sin 60? ? 3, AH ? PA ? cos 60? ? 1,

39 BH ? AB ? AH ? 2, BD ? AB 2 ? AD 2 ? 13, 于是再 RT ?PHE 中, tan PEH ? 4 AD 4 HE ? ? BH ? BD 13
所以二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan

39 . 4

18. 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? ABCD 中 , 底 面 A B C D四 边 长 为 1 的 菱 形 , ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

O

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE 又

M

ME‖ AB,AB ‖ CD, ? ME‖ CD
B

A N C

D

NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD ? MN‖ 平面OCD

(2)

CD‖ AB, ∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)

作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP ∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2

MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,∴ cos ?MDP ?
所以 AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

(3)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作

AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD , 线 段 AQ 的 长 就 是 点 A 到 平 面 OCD 的 距 离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 2? OA ? AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2

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