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2016


第 三 章

不等式

§1 不等关系

学课前预习学案

[问题 1] 判断数轴上(如图)的点 A,B,C 所对应的数 a,b, c 的大小关系.

[提示] c<a<b

[问题 2] 某单位招收员工的条件是“年龄不超过 35 岁,身 高 165 cm 以上”,小李被单位录用,那么,你能用不等式表示 出小李的身高 S(cm)和年龄 N(岁)满足的不等关系吗?

[提示] S>165,N≤35

在数学意义上,不等关系可以体现在以下几个方面

常量与常量 之间的不等关系; 1. _____________ 变量与常量 之间的不等关系; 2. _____________

函数与函数 之间的不等关系; 3. _____________
一组变量 之间的不等关系. 4. ___________

不等关系 在客观世界中,量与量之间有的是相等关系,有的是不等关 系.我们用数学符号“≠” “>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代 数式,以表示不等关系. 文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 > < ≥ ≤ 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤

实数大小比较 比较实数 a, b 大小 1.文字叙述

正数 ,那么 a>b; 如果 a-b 是______
等于0 ,那么 a=b; 如果 a-b________ 负数 ,那么 a<b,反之也成立. 如果 a-b 是______
2.符号表示

> b; a- b>0? a____

= b; a- b=0?a____
< b. a- b<0? a____

实数比较大小的注意事项 1.符号 “?”表示“等价于”,即可以互相推出.“ ?” 的右边反映的是两个实数 a, b 的大小关系,左边反映的是实数 的运算性质,三个等价式子体现的是实数的大小顺序和实数的运 算性质之间的关系. 2.比较两实数 a, b 的大小,只需确定它们的差 a- b 与 0 的大小关系,与差的具体数值无关.因此,比较两实数 a, b 的 大小,其关键在于经过适当变形,能够确认差 a- b 的符号,变 形的常用方法有配方、分解因式等.

不等式性质 1.不等式的性质

a>c . (1)如果 a>b, b>c,那么______ > +c. (2)如果 a>b,那么 a+c___b

> . (3)如果 a>b, c>0,那么 ac___bc
(4)如果 a>b, c<0,那么 ac___bc < . 2.一个重要结论 a+ m a > . 设 a,b 为正实数,且 a< b, m>0,则 ___ b+ m b

关于性质的几点说明 1.性质 1 把不等式两边的式子交换,所得不等式和原不等 式异向. 2.注意传递性是有条件的! 3.性质 3 是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后, 可以把它从一边移到另一边.即 a+b>c? a>c-b.性质 3 是可逆 的,即 a>b? a+c>b+ c.

4.注意不等式的单向性和双向性.性质 1 和 3 是双向的, 其余的在一般情况下是不可逆的. 5.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不 可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思 维定势.

1.若 b<0,a+b>0,则 a-b 的值( A.大于零 C.等于零 B.小于零

)

D.不能确定

解析:

∵b<0,a+b>0,

∴a>-b>0,∴a-b>0.
答案: A

2. 某高速公路对行驶的各种车辆的速度 v 的最大限速为 120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m,用 不等式表示为( ) B.v≤120(km/h)或 d≥10(m) D.d≥10(m)

? ?v≤ 120? km/h? A.? ? ?d≥ 10? m?

C.v≤120(km/h)

答案:

A

3.若 f(x)=3x2- x+1,g(x)= 2x2+x-1,则 f(x)与 g(x)的大 小关系是________.(用“>”连接)

解析:

f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,

∴f(x)>g(x).

答案:

f(x)>g(x)

4.已知x>3,试比较x3+11x与6x2+6的大小.
解析: x3+11x- (6x2+6) = x3- 3x2- 3x2+11x- 6 = x2(x-3)+(- 3x+ 2)(x- 3) = (x- 3)· (x2- 3x+ 2) = (x- 3)(x-2)(x- 1), 由 x>3,得 x- 3>0,x-2>0, x-1>0, 所以 x3+11x>6x2+ 6.

讲课堂互动讲义

用不等式?组?表示不等关系 某厂使用两种零件 A、 B,装配两种产品:甲、乙, 该厂的生产能力是月产甲最多 2 500 件,月产乙最多 1 200 件, 而组装一件甲需要 4 个 A,2 个 B;组装一件乙需要 6 个 A,8 个 B. 某个月, 该厂能用的 A 最多有 14 000 个, B 最多有 12 000 个. 用 不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来.

[思路点拨] 设出甲、乙两种产品的产量,把题中所有不等 关系一一列出,组成不等式组.

[边听边记 ] 设甲、乙两种产品产量分别为 x 件、y 件,由题 意列不等式组如下: ? ?0≤ x≤ 2 500 ?0≤ y≤ 1 200 ? ?4x+ 6y≤ 14 000 ? ?2x+ 8y≤ 12 000 ? ?x, y∈ N+ ? ?0≤ x≤ 2 500 ?0≤ y≤ 1 200 ? ,即? 2x+ 3y≤ 7 000 ? ? x+ 4y≤ 6 000 ? ? x, y∈ N+

.

用不等式表示实际问题中的不等关系时,应 首先读懂题意,设出未知量,寻找不等关系的根源,将不等关系 用未知量表示出来,即得到不等式或不等式组,这是应用不等式 解决实际问题的最基本的一步.要注意把题中所有不等关系全部 列出来.

1.一个两位数大于 50,而小于 60,其个位数字 x 比十位数 字 y 大 2,试用不等式表示上述关系________________.

解析:

该两位数应表示为 10y+ x,

由题意可知 50<10y+ x< 60,且 x- y=2.

答案:

? ?50< 10y+ x< 60 ? ? ? x- y= 2

2. 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至 冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡车每辆每天 可往返 8 次,写出满足上述所有不等关系的不等式.

解析:

设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则 x+ y≤ 9 ? ? ?5x+4y≥30 ,即? ?0≤ x≤ 4 ? ?0≤ y≤ 7

x+y≤9 ? ? ?10× 6x+ 6× 8y≥ 360 ? ?0≤x≤4 ? ?0≤y≤7

.

比较两数?式?的大小 (1)比较 x2-2ax 与 2a-2a2- 3 的大小(a, x∈ R). (2)已知 a, b∈ R ,比较 aabb 与 abba 的大小.


[思路点拨] (1) 作差 ―→ 分解因式或配方 ―→ 确定符号 ―→ 判断大小 讨论 (2) 作商 ――――→ 与1的大小比较 ―→ 判断大小

解析:

(1)(x2-2ax)-(2a-2a2-3)

=(x2-2ax+a2)+(a2-2a+3) =(x-a)2+(a-1)2+2. ∵(x-a)2≥0,(a-1)2≥0, ∴(x2-2ax)-(2a-2a2-3)>0, 即 x2-2ax>2a-2a2-3.

aabb ?a ?a-b (2)由 a, b∈R , b a=? ? 讨论: a b ?b ?


a ①当 a>b 时, >1,a- b> 0, b
?a ?a-b 所以? ? >1,所以 aabb> abba. ?b ?

a ②当 a=b 时, =1,a- b= 0, b
?a ?a-b 所以? ? =1,所以 aabb= abba. ?b ?

a ③当 a<b 时,0< <1,a-b<0, b
?a ?a-b 所以? ? >1,所以 aabb>abba. ?b ?

综上可知,aabb≥abba,a,b∈R+.

(1)作差比较大小的关键是作差后的变形,作差 变形中,可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等 变形.变形的过程是至关重要的,无论施以什么方法,最终要变 到能够判断符号为止.注意变形过程中要保持等价性及正确性.

(2)作商法的适用对象: 所比较的两个式子均为乘积的形式或可以转化为乘积的形 式,往往可以考虑作商法. (3)作商法的一般步骤: ①转化为乘积形式; ②作商; ③判断商值与 1 的大小关系; ④结论.

3.若 m≠2 且 n≠-1,则 M=m2+n2-4m+2n 的值与-5 的大小关系为( A.M>-5 C.M=-5 ) B.M<-5 D.不确定

解析:

∵m≠2,n≠-1,

∴M=(m-2)2+(n+1)2-5>-5. 答案: A

4.比较下列各组中两个代数式的大小; (1)x2+ 3 与 3x; (2)已知 a, b 为正数,且 a≠ b,比较 a3+ b3 与 a2b+ab2.

解析:

(1)(x2+3)-3x= x2- 3x+3

? 3 ?2 3 3 =?x- ? + ≥ >0, 2? 4 4 ?

∴ x2+3>3x. (2)(a3+b3)-(a2b+ab2)= a3+ b3-a2b-ab2 = a2(a-b)-b2(a-b) = (a-b)(a2- b2) = (a-b)2(a+ b), ∵ a>0,b>0 且 a≠b,∴(a- b)2>0,a+b>0. ∴ (a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即 a3+b3>a2b+ab2.

不等式的性质 对于实数 a, b, c,下列判断正确的是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 1 1 B.若 a> b> 0,则 > a b b a C.若 a<b<0,则 > a b 1 1 D.若 a>b, > ,则 a>0, b<0 a b )

[思路点拨] 本题解答可利用不等式性质直接判断真假,也 可以采用特殊值法判断.

解析:

方法一:∵c2≥0,

∴c=0 时,有 ac2=bc2, 故 A 不正确; a b 1 1 由 a>b>0,有 ab>0? > ? > , ab ab b a 故 B 不正确; 1 1 ? a<b<0?-a>-b>0?- >- >0 ? a b b a ?? > , b a ? a<b<0?-a>-b>0 ?

故 C 为假命题; a>b?b-a<0 ? ? ?? ab<0. b- a 1 1 1 1 > ? - >0? >0 ? ? a b a b ab ∵ a>b,∴ a>0 且 b<0,故 D 正确.

方法二(特殊值排除法):取 c=0,则 ac2=bc2,故 A 错. 1 1 1 1 1 取 a=2,b=1,则 = , =1,有 < ,故 B 错. a 2 b a b 取 a=-2,b=-1, b 1 a b a 则 = , =2,有 < ,故 C 错. a 2 b a b

答案:

D

运用不等式的性质判断时,要注意不等式成 立的条件, 不要弱化条件, 尤其是不能凭想当然随意捏造性质. 解 有关不等式选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一 定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于 验证计算.

5.下列说法,错误的为________.(填序号) ①若 a>b,则 c-2a<c-2b; ②若 a>b,c>d,则 a-c>b- d; 1 1 ③若 < <0,则|a|>|b |. a b

解析: 对于①: a>b?-a<-b?-2a<-2b?c-2a<c-2b, ①正确. 对于②:取 a=2,b=1,c=2,d=0, 则 a-c=0,b-d=1,∴a-c<b-d,②错. 1 1 对于③: < <0?0>a>b?0<-a<-b?|-a|<|-b |?|a|<|b |, a b ③错.

答案:

②③

6.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立,并简述理 由. a b (1)若 2> 2,则 a>b; c c 1 1 (2)若 a>b,ab≠0,则 < ; a b (3)a>b,c>d? a-c>b-d; 1 1 (4)若 a>b, > ,则 a>0, b<0. a b

解析:

(1)正确.∵c2≠ 0,∴c2>0.

a b ∴在 2> 2两边同乘以 c2 不等式方向不变,∴ a>b. c c 1 1 (2)错误.a>b? < 成立条件是 ab>0. a b (3)错误.令 a=5,b=4, c= 3,d=1,有 a- c<b- d. (4)正确.a>b?b-a<0, b-a 1 1 1 1 > ? - >0? >0?ab<0. a b a b ab ∵ a>b,∴a>0 且 b<0.

利用不等式的性质求取值范围 a 已知 12< a< 60,15<b<36, 求 a- b 及 的取值范围. b a 1 [思路点拨] 欲求 a- b, 应先求- b 范围, 欲求 , 应先求 范 b b

围,再利用不等式性质可求解.

解析:

∵15<b<36,∴-36<-b<-15.

∴12-36<a-b<60-15,∴-24<a-b<45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 < < ,∴ < < ,∴ < <4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴-24<a-b<45, < <4. 3 b

求含字母的数或式的取值范围时,一要注意题 设中的条件,二要正确使用不等式的性质求解,本例极易犯同向 不等式相减或相除的错误:12<a<60,15< b< 36, 12 a 60 4 a 5 ∴-3<a-b< 24, < < ,即 < < . 15 b 36 5 b 3

α+ β α- β π π 7.已知- ≤α< β≤ ,求 , 的取值范围. 2 2 2 2 π π 解析: ∵- ≤α< β≤ , 2 2
π α π π β π ∴- ≤ < ,- < ≤ . 4 2 4 4 2 4 π α+ β π 上面两式相加得:- < < . 2 2 2

π β π π β π ∵- < ≤ ,∴- ≤- < , 4 2 4 4 2 4 π α- β π ∴- ≤ < . 2 2 2 π α- β 又知 α<β,∴ α- β< 0,故- ≤ < 0. 2 2

忽略变量的实际意义导致错误 两种药片有效成分见下表: 成分 阿司匹林 药品 A(1 片 ) B(1 片 ) (mg) 2 1 小苏打 (mg) 5 7 可待因 (mg) 1 6

若要求至少提供 12 mg 阿司匹林、70 mg 小苏打、 28 mg 可 待因,则两种药片的数量应满足怎样的不等关系?用不等式的形 式写出来.

【错解】 设提供 A 药片 x 片,B 药片 y 片,则由题意得 ?2x+y≥12, ? ?5x+7y≥70, ?x+6y≥28. ?
【错因】 忽略了x,y的实际意义,应有x≥0且y≥0.

【正解】 设提供 A 药片 x 片,B 药片 y 片,则由题意得 ? ?2x+y≥12, ?5x+7y≥70, ? ?x+6y≥28, ? ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.

【纠错心得】 以上不等关系对药品成分的限定额度是完全 正确的.但是考虑到问题的实际应用性,还应保证两种药片的数 量均非负且为整数,这一隐含条件往往是容易被忽视的,应引起 我们足够的重视.


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