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辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末数学(文)试题及答案


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知 f ( x) ? ln x ,则 f ?(e) 的值为( A.1 B.-1 C. e D. )

1 e


2.已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 + a9 = 18, a4 = 7 ,则 S10 = ( A. 55 B. 81 C. 90 D. 100

3. 与椭圆

5 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线方程为( 2 2 4 13 12
B.



A.

x2 y 2 ? ?1 42 32

x2 y2 x2 y 2 ? ?1 ? ? 1 C . 32 42 132 52
a2 ? b2 ”的 ( 2

D.

x2 y2 ? ?1 132 122

4.“a>b>0”是“ab<

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 0 , bn ? log2 an ,那么数列 {bn } 的前 10 项和等于 A. 130 B. 120 C. 55 D. 50

x ?1 ? ? y ?1 6.已知变量 x , y 满足, ? 目标函数是 z ? 2 x ? y ,则有 ( ) ?x ? y ? 3 ? 0 ?
A. z max ? 5, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值 B. z max ? 5 , z 无最小值 D. z 既无最大值,也无最小值

7. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? a ,若 f ( x ? 1) 是奇函数,则曲线 y ? f ( x) 在点 (0, a ) 处的切 线方程是( A. x ? 0 ) B. x ? 2 C.

y?2

D.

y?4

8.设 f '( x ) 是函数 f ( x) 的导数, y ? f '( x) 的图像如图

所示,则 y ? f ( x ) 的图像最有可能的是(

) .

y
1 0 2

y ? f '( x)

x

y
1 0 A
2

y
1 2 x 0 B 2 0

y
2

y
2

x

1 C

x

0

1 D

x

9. 过抛物线 y = 4 x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点到 y 轴的 距离等于( A. 1
2

) B. 2 C. 3 D. 4

10. 若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x | ? A.-10 B.-14 C. 10

? ?

1 1? ? x ? ? ,则 a ? b 的值是( ) 2 3?
D. 14

x2 y2 11. 已 知 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 两 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P, 使 得 a b
?F1 PF2 ? 1200 , 则椭圆的离心率 e 的取值(
A. ? )

? 3 ? ,1? ?. 2 ? ?
2

?1 3 ? ? B.? , ? 2 2 ? ?

?1 ? C.? ,1? ?2 ?

? 2 3? D.? , ? ? 2 2 ?
( )

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0,时,f ? x ? 12. 设函数 f ? x ? 满足x f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ? x 8
A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值 B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

13.双曲线

x2 y 2 2 ? ? 1? mn ? 0 ? 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y ? 4x 的焦点重合, m n


则 mn 的值为

14.已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a1 ? q 的值为

2] 上有根,则实数 m 的取值范围 15.若关于 x 的方程 x ? 3x ? m ? 0 在 [0,
3

16.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆;

x2 x2 y 2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 35 25 9 ③方程 2 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; x2 y 2 25 5 ? ?1. ④和定点 A(5,0) 及定直线 l : x ? 的距离之比为 的点的轨迹方程为 4 4 16 9
②双曲线 其中真命题的序号为 _______

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知 x ? 0, y ? 0, 且

1 9 ? ? 1, 求x ? y的最小值 。 x y

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 1 .{bn } 为等比数列,数列 {an ? bn } 的前三项依次 为 3, 7,13。 求: (Ⅰ)数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n 。

19.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ?

ax 2 ? (a ? 1) x , a ? R ,且 a ≥ 0 . 2

(Ⅰ)若 f ?(2) ? 1 ,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的最大值; 20.(本小题满分 12 分) 如图,以原点 O 为顶点,以 y 轴为对称轴的抛物线 E 的焦点为 F(0,1) ,点 M 是直线

l : y ? m(m ? 0) 上任意一点,过点 M 引抛物线 E 的两条切线分别交 x 轴于点 S,T,切点分别
为 B,A。 (I)求抛物线 E 的方程; (II)求证:点 S,T 在以 FM 为直径的圆上;

21.(本小题满分 12 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2 、离心率为 轴交于点 P(0, m ) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP ? 3PB 。 (I)求椭圆方程; (II)求 m 的取值范围。 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 6x ? 3x ? t )e ( t ? R , e 为自然对数的底数)
3 2 x

2 ,直线 l 与 y 2

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 有三个极值点,求 t 的取值范围 (Ⅱ)若存在实数 值

t ?[0, 2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求正整数 m 的最大

辽宁省实验中学分校 2014——2015 学年度上学期期末测试 数学(文)学科 答案 高二年级

17. 18.----------------------10 分 18.解:①设公差为 d ,公比为 q

?

? a1 ? b1 ? 3 ? ? ? ? b1 ? 2, d ? 2, q ? 2 a 2 ? b2 ? 7 ? a3 ? b3 ? 13? ?

a1 ? 1

?

an ? 2n ? 1, bn ? 2 n ?????????????(6分)

② S n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )

?

1 ? 2n ? 1 2(1 ? 2 n ) n? 2 1? 2
?????????????(12分)

? n 2 ? 2 n?1 ? 2

19.解: (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 ? ax ? (a ? 1) . x

由 f ?(2) ? 1 ,解得 a ?

3 . ????????????????????4 分 2 1 1? x ?1 ? . x x

(Ⅱ)由 f ( x) ? ln x ? x ,得 f ?( x) ?

由 f ?( x) ?

1? x 1? x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 f ?( x) ? ? 0 ,解得 x ? 1 x x

所以函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 递增, (1, ? ?) 递减. -----------------------8 分 因为 x ? 1 是 f ( x ) 在 (0, +

) 上唯一一个极值点,

故当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,最大值为 f (1) ? ?1 .???????12 分

20.(本小题满分 12 分) 解: (I)设抛物线 E 的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) ,

依题意

p ? 1, 解得p ? 2 , 2
????4 分

所以抛物线 E 的方程为 x 2 ? 4 y. (II)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

x1 x2 ? 0 ,否则切线不过点 M

y?

1 2 1 x , y ? ? x, 4 2 1 x1 , 2
??????7 分
2

? 切线AM 的斜率k AM ?

x 1 x1 ( x ? x1 ), 其中y1 ? 1 . 2 4 1 1 令y ? 0, 得x ? x1 , 点T的坐标为( x1 , 0), 2 2 2 ? 直线FT的斜率k FT ? ? , x1 方程为y ? y1 ?

k AM ? kFT ?

1 2 x1 ? (? ) ? ?1, 2 x1

??????10 分

∴AM⊥FT,即点 T 在以 FM 为直径的圆上; 同理可证点 S 在以 FM 为直径的圆上, 所以 S,T 在以 FM 为直径的圆上。 ??????12 分 21.解: (I)设 C:

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0), 设 c ? 0, c 2 ? a 2 ? b2 , a 2 b2
2,
2 , 2
2

由条件知 2b ? ∴ a ? 1, b ? c ?

c 2 ? , a 2
????3 分(对一个一分)

故 C 的方程为: y ?

x2 ? 1. 1 2

????4 分

(II)设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )

由?

? y ? kx ? m 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx? (m2 ?1) ? 0 2 2 ?2 x ? y ? 1
2 2 2

得(k +2)x +2kmx+(m -1)=0

? ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ?1) ? 4(k 2 ? 2m2 ? 2) ? 0 (*)
? 2km m2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?2 k ?2
∵ AP ? 3PB ∴ ? x1 ? 3x2 ∴? ????8 分

? x1 ? x2 ? ?2 x2 2 ? x1 x2 ? ?3x2
? 2km 2 m2 ?1 ) ? 4 ?0 k2 ? 2 k2 ? 2
????10 分

消去 x 2 ,得 3( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 0 ,∴ ( 整理得 4k 2 m2 ? 2m2 ? k 2 ? 2 ? 0

m2 ?

1 1 2 ? 2m 2 2 2 时,上式不成立; m ? 时, k ? , 4 4 4m 2 ? 1

由(*)式得 k 2 ? 2m 2 ? 2
2 因k ? 0 ∴k ?

2 ? 2m 2 1 1 ? 0 ,∴ ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 4m ? 1 2 2

即所求 m 的取值范围为 (?1,? ) ? ( ,1)

1 2

1 2

------------12 分

(II)
3 2 x ?x 3 2 不等式 f ( x) ? x ,即 ( x ? 6 x ? 3 x ? t )e ? x ,即 t ? xe ? x ? 6 x ? 3x .

转化为存在实数 不等式 t ? xe
?x

t ? ? 0, 2?

,使对任意的

x ? ?1, m ?

,

? x 3 ? 6 x 2 ? 3x 恒成立.
?x

即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e

? x3 ? 6 x 2 ? 3 x 在 x ? ?1, m ? 上恒成立.

?x

? x 2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m ? 上恒成立 -------------6 分

设 ? ( x) ? e

?x

? x 2 ? 6 x ? 3 ,则 ? ?( x) ? ?e ? x ? 2 x ? 6 .

?x ?x ? ? ? 设 r ( x) ? ? ( x) ? ?e ? 2 x ? 6 ,则 r ( x) ? e ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ( x) ? 0 .

故 r ( x) 在区间 又 r (1) ? 4 ? e 故存在 当

?1, m? 上是减函数

--------------8 分

?1

? 0, r (2) ? 2 ? e ?2 ? 0, r (3) ? ?e ?3 ? 0

x0 ? (2,3) ,使得 r ( x0 ) ? ? ?( x0 ) ? 0 .

1 ? x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 .

从而 y ? ? ( x) 在区间
?1

?1, x0 ? 上递增,在区间 ? x0 , ?? ? 上递减
?2

----------10 分

又 ? (1) ? e ? 4 ? 0, ? (2) ? e

? 5>0, ? (3) ? e ?3 ? 6>0,


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