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河北省衡水中学2015届高三下学期期中考试数学理试题


河北省衡水中学 2015 届高三下期期中考试

数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前。考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上. 2.答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A. 2 ? i

1 ? 3i ? 1? i B. 2 ? i

C. ?1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

2.已知集合 P ? ?0,1,2? , Q ? y | y ? 3x ,则 P A.

?

?

Q?
C.

?0,1?

B. ?1, 2?

?0,1, 2?

D. ?

3.已知 cos ? ? k , k ? R, ? ? ? A. ? 1 ? k 2

?? ? , ? ? ,则 sin ?? ? ? ? ? ?2 ?

B.

1? k 2

C. ? 1 ? k 2

D. ? k

4.下列说法中,不 正确的是 .
2 2 A.已知 a, b, m ? R ,命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”为真命题;

B.命题“ ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”; C.命题“p 或 q”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题; D.“x>3”是“x>2”的充分不必要条件. 5 .已知偶函数 f ( x ),当 x ? [0, 2) 时, f ( x ) =2sinx ,当 x ? [2, ?? ) 时, f ? x? ? log2 x ,则

? ?? f ? ? ? ? f ? 4? ? ? 3?
A. ? 3 ? 2 B.1 C.3 D. 3 ? 2

6.执行下面的程序框图,如果输入的依次是 1,2,4,8,则输出的 S 为

A.2

B. 2 2

C.4

D.6

7.如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3, 则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角的大小为

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

8.已知 O、A、B 三地在同一水平面内,A 地在 O 地正东方向 2km 处,B 地在 O 地正北方向 2km 处, 某测绘队员在 A、B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点,用测绘仪进行测绘.O 地为一 磁场,距离其不超过 3km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确.则 该测绘队员能够得到准确数据的概率是 A.

1 2
2

B.

2 2

C. 1 ?

3 2

D. 1 ?

2 2

9. 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 恰好是双曲线 条曲线的交点的连线经过点 F,则双曲线的离心率为 A. 2 C. 1 ? 2 B.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点,两 a 2 b2

3

D. 1 ? 3

10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.64 B.72 C.80 D.112

11.已知平面图形 ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在 此直线的同侧),且 AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则四边形 ABCD 面积 S 的最大值为 A. 30 12. 已知函数 f ? x ? ? ? B. 2 30 C. 4 30 D. 6 30

ln x ,x ? 0 2 ,若关于 x 的方程 f ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 ?b, c ? R ? 有 8 ? x ? 4 x ? 1,x ? 0 ?
2

个不同的实数根,则由点(b,c)确定的平面区域的面积为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知平面向量 a,b 的夹角为

2? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|= 3



14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生 不能分到同一个班,则不同的分法的种数为 (用数字作答). 15 .设过曲线 f ? x ? ? ?e ? x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线
x

g ? x ? ? ax ? 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为
16.已知椭圆



x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,设 P 为椭圆上一点, ?F1PF2 的外角 a 2 b2

平分线所在的直线为 l,过 F1 , F2 分别作 l 的垂线,垂足分别为 R、S,当 P 在椭圆上运动时,R、 S 所形成的图形的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? ?Sn ? 1? n ? N*, ? ? ?1? ,且 a1 、 2a2 、 a3 ? 3 为等差数列 ?bn ? 的前三项. (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和. 18.(本小题满分 12 分) 集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分 别降为

1 1 2 、 、 ,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有 2 个正 2 2 3

常工作,则 E 能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路 E 所需费用为 100 元. (1)求集成电路 E 需要维修的概率; (2) 若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成, 设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用, 求 X 的分布列和期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,∠ABC=∠BAD=90° ,AP=AD=AB= 2 ,BC=t, ∠PAB=∠PAD= ? . (1)当 t ? 3 2 时,试在棱 PA 上确定一个点 E,使得 PC∥平面 BDE,并求出此时 (2)当 ? ? 60 时,若平面 PAB⊥平面 PCD,求此时棱 BC 的长.

AE 的值; EP

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,一动圆经过点 ? 为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程;
2 (2)设 P 是曲线 E 上的动点,点 B、C 在 y 轴上,△PBC 的内切圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 , 2

1 ?1 ? , 0 ? 且与直线 x ? ? 相切,设该动圆圆心的轨迹 2 ?2 ?

求△PBC 面积的最小值. 21.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ? x ? ? x ?

2 ? a ln x . x

(1)若 f(x)在区间[2,3]上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)设 f(x)的导函数 f ' ? x ? 的图象为曲线 C,曲线 C 上的不同两点 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 所 在直线的斜率为 k,求证:当 a≤4 时,|k|>1. 请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 O 和 M 相交于 A、B 两点,AD 为 M 的直径,延长 DB 交 O 于 C,点 G 为 弧 BD 的中点,连结 AG 分别交 O 、BD 于点 E、F,连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ; (2)求证:

GF EF 2 ? . AG CE 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 ? ? y ? 3 sin ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 . (1)分别写出 C1 的普通方程, C2 的直角坐标方程. (2)已知 M、N 分别为曲线 C1 的上、下顶点,点 P 为曲线 C2 上任意一点,求|PM|+|PN|的最大 值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?

x ? 1 ? x ? 3 ? m 的定义域为 R.
2 1 ? ? n 时,求 7a ? 4b 的最小值. 3a ? b a ? 2b

(1)求实数 m 的取值范围. (2)若 m 的最大值为 n,当正数 a、b 满足


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