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5.2 平行关系的性质


阜阳市耀云中学数学组

必修二

第一章

立体几何初步

导学案

编定人:赵涛

审核人:李艳春

5.2 平行关系的性质
自主学习

简记为:线面平行则线线平行。 图形: 符号表示:

二) 、探究新知 知识探究(一):直线与平面平行的性质分析 思考 1:如果直线 a 与平面α 平行,那么直线 a 与平面α 内的直线有哪些位 置关系?
a a α

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。作平行线的方法,判断线线 平行的依据.
利用性质定理证明线线平行 例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.

α

思考 2:若直线 a 与平面α 平行,那么在平面α 内与直线 a 平行的直线有多 少条?这些直线的位置关系如何? 思考 3:如果直线 a 与平面α 平行,那么经过直线 a 的平面与 平面α 有几种 位置关系?
a a

点评

线∥面线面平行的性质 ― ― → 线∥线.在空间平行关系中,交替使用线线平行、线面平行

转化

的判定与性质是解决此类问题的关键. 变式训练 1 如图所示,三棱锥 A—BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH. 求证:CD∥平面 EFGH.

α

知识探究(三):平面与平面平行的性质定理
α

思考:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线 具有什么样的位置关系?

思考 4:如果直线 a 与平面α 平行,经过 直线 a 的平面与平面α 相交于直线 b,那么直线 a、b 的位置关系如何?为什么? 思考 5:如果直线 a 与平面α 平行,那么经过平面α 内一点 P 且与直线 a 平 行的直线怎样定位? 知识探究(二):直线与平面平行的性质定理 综上分析,在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论?并用文字语言 表述。 定理:_____________________________
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提示:学生借助长方体模型思考、交流得出结论:_________________ 再问: 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,平面AC内 哪些直线与B'D'平行?怎么找? 于是得到两个平面平行的性质定理。 定理: _____________ ___________________ 简记 为:面面平行则线线平行。 图形: 符号表示:
证明直线与直线平行

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编定人:赵涛

审核人:李艳春

例 1 如图所示,平面四边形 ABCD 的四个顶点 A 、 B 、 C 、 D 均在平行四边形 A′B′C′D′所确定的平面 α 外,且 AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.求证:四边 形 ABCD 是平行四边形.

(1)应用线面平行的定义; (2)应用线面平行的判定定理; (3)应用面面平行的性质,即“两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条直线都平 行于另一个平面.” 应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证 明,这时注意线线平行,线面平行和面面平行之间的相互转化. 变式训练 2 如图所示,四边形 ABCD 与 ABEF 是两个全等的正方形,点 M 在 AC 上, 点 N 在 BF 上,且 AM=FN. 求证:MN∥平面 BCE(你能用几种方法证明).

点评 证明线线平行的方法 (1)定义法:在同一平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直 线的两条直线平行. a∥α (3)线面平行的性质定理:

? ? a β ??a∥b,应用时题目条件中需有线面平行. α∩β=b? ? ? ? α∩γ=a??a∥b,应用时题目条件中需有面面平行. β∩γ=b? ?

α∥β (4)面面平行的性质定理:

(5)反证法:假设两条直线不平行,然后推出矛盾,进而证明两条直线应当是平行的. 变式训练 1 如图,异面直线 AC,DF 被三个平行平面 α,β,γ 所截. AB DE 求证: = . BC EF

1.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程:

证明直线和平面平行 例 2 如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 E 在 AB′上,点 F 在 BD 上,且 B′E=BF. 求证:EF∥平面 BB′C′C.

2.注意两个问题 (1)一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的一切直线,这种说法是不对的, 但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行. (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直 线不一定相互平行,也有可能异面. 课时作业 一、选择题 1.已知直线 l∥平面 α,直线 m α,则直线 l 和 m 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.平行或异面 2.两条直线都和一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 3.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G、H,则 HG 与 AB 的位置关系是( )

点评 证明线面平行的方法主要有三种: 第 2 页 共 3 页

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9.如图,点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,过 BC 的平面与平面 PAD 交于 EF,则四边形 EFBC 的形状一定是________.

A.平行 B.相交 C.异面 D.平行和异面 4.三棱锥 S-ABC 中,E、F 分别是 SB、SC 上的点,且 EF∥平面 ABC,则( ) A.EF 与 BC 相交 B.EF∥BC C.EF 与 BC 异面 D.以上均有可能 5.已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α、β、γ 是三个不重合的平面,下面四个命题, 其中正确的命题是( ) A.a∥γ,b∥γ?a∥b B.c∥α,α∥β?c∥β C.a∥b,b∥α?a∥α D.a,b 异面,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β?α∥β 6.设平面 α∥平面 β,直线 a α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在惟一一条与 a 平行的直线 7. 如图所示, P 是三角形 ABC 所在平面外一点, 平面 α∥平面 ABC, α 分别交线段 PA、 PB、PC 于 A′、B′、C′,若 PA′∶AA′=2∶3,则 S△A′B′C′∶S△ABC 等于( )

10.设 m、n 是平面 α 外的两条直线,给出三个论断: ①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题, 写出你认为正确的一个命题:____________________.(用序号表示) 11.已知 m、n 是不同的直线,α、β 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 α∥β,m α,n β,则 m∥n; ②若 m、n α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 m α,n β,α∥β,则 m 与 n 没有公共点. 上述命题中,真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 13.平面 α∥平面 β,点 A、C∈α,点 B、D∈β,直线 AB、CD 相交于点 P.已知 AP =8,BP=9,CD=34,则 CP=________. 三、解答题 14.如图所示,已知 A、B、C、D 四点不共面,且 AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α =F,BD∩α=H,BC∩α=G. 求证:四边形 EFHG 是平行四边形.

A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5 8.M,N,P 为三个不重合的平面,a,b,c 为三条不同的直线,则下列命题中不正确 的是( ) a∥c? a∥P? ? ? ??a∥b; ??a∥b; ① ② ? ? b∥c? b∥P? ③ ⑤
? M∥c? ??M∥N; ? N ∥c ?

15.如图所示,已知两条异面直线 BA、DC 与两平行平面 α、β 分别交于 B、A 和 D、 C,M、N 分别是 AB、CD 的中点. 求证:MN∥平面 α.

④ ⑥

? M∥P? ??M∥N; ? N∥P ?

M∥c? ? ??M∥a; ? a∥c ? A.④⑥ C.②③⑤⑥ 二、填空题

M∥P? ? ??a∥M. ? a∥P ? B.②③⑥ D.②③

16. 已知 M、 N 是底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 棱 AB、 PC 的中点, 平面 CMN 与平面 PAD 交于 PE,求证: (1)MN∥平面 PAD; (2)MN∥PE.

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