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第1课时 函数概念


第 1 课时

函数概念

1、 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础

上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 2、了解构成函数的三要素; 3.、能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 4、了解映射的概念及表示方法; 5、结合简单的对应图示,了

解一一映射的概念; 6、能解决简单函数应用问题.

1、函数概念及其三要素 2、映射的概念及其应用 3、分段函数

知识点一:函数的概念
初中概念(传统概念) :在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y ,如果对于某个范围内的任一 个 x 的值,都有唯一的 y 值与之对应,则称 y 是 x 的函数,其中 x 叫 做自变量, y 叫做因变量。 高中概念(现代概念) :设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于 集合 A 中任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一的数 f ( x) 和它对应, 那 么 就 称 f:A ? B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 , 记 作
y ? f ( x)(x ? A) ,其中 x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定

义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域。 1°核心 —— 对应法则

等式 y ? f ( x) 表明,对于定义域中的任意 x ,在“对应法则 f ”的作用下,即可得到 y . 因此, f 是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系 x 与 y 的纽带,从而是函数的核心.对 于比较简单的函数,对应法则可以用一个解析式来表示,但在不少较为复杂的问题中,函数 的对应法则 f 也可以采用其他方式(如图表或图象等). ① 函数是个“信使” “函”字本身就有“信件”之意,每封信都是由邮递员按地址投到不同的的地方,每封 信上都写有确定的地址,不能含混不清.同样, “函数”也是这样,每个自变量 x 都要按一定 的对应法则与确定的 y 一一对应.自变量 x 就是一封信,它被“对应法则”这个信使送到确定 的“收信人”—— y 手里. ② 函数是个“产品加工厂” 工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量 x 按规格—— “对应法则” “加 工”成不同产品—— y .它也象“数字发生器”把原料——自变量 x ,投入不同的“数字发生 器”——“对应法则”就会得到不同的产物——因变量 y . ③函数是个“无能的射手” 有本领的射手可以“一箭双雕” ,可函数不行,有可能射不中目标,但它能多箭一雕.正 如, 由数集 A 到数集 B 的映射中,B 中每个元素必有原象, 也可有多个原象. A 中元素在 B 中 可以没有象. ④函数是“封建社会的婚宴” 在封建社会,流传着“好女不嫁二夫” ,但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量 x 可对 应一个函数值 y ,但是一个“妇女”——自变量 x 不能找多个“婆家”—— y 值.在现代社会 是“一夫一妻”制,这正如有反函数的函数 x 与 y 之间必须是一一对应的.) 2°前提和基础 ——定义域 定义域是自变量 x 的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分,定义域不同而解 析式相同的函数,应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明,函数的定义 域就是指能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合.在实际问题中,还必须考虑自变量所代表 的具体的量的允许取值范围问题.

3°值域 值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值 域也就随之确定.因此,判断两个函数是否相同,只要看其定义域与对应法则是否完全相同, 若相同就是同一个函数,若定义域和对应法则中有一个不同,就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对 应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。 如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同,那么它 们仍然是同一个函数,但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同,那么它们就不是同 一个函数.
4 ? 函数的值:函数值 f (a ) 的意义:自变量 x 取确定的值 a 时,对应的函数值用 f (a ) 表示

例 1、(1) y ? 1( x ? R) 是函数吗?(2) y ? ? x ( x ? 0) 是函数吗? (3) y ?

x - 3 ? 1 ? x 是函数吗?

变式训练:(1) y ? 3x ? z 是函数吗 ? (2) y ? ? x2 是函数吗?

例 2、设集合 M ? ?x ? 2 ? x ? 2?, N ? ?y 0 ? y ? 2?,给出下列四个图形,其中能表示以集合

M 为定义域, N 为值域的函数关系的是(



变式训练:1、下列图形中,不能作为函数 y ? f ( x) 图象的是(
y y y y



O A

x

O B

x

O C

x

O

x

2、下列图象中表示函数图象的是
y y



y



D y

0

x

0

x

0

x

0

x

(A)
x x

(B)

(C ) ( )

(D)

例 3、下列各组函数中,表示同一函数的是 A. y ? x 0 , y ?

B. y ? x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1 D. y ?| x |, y ? ( x ) 2 ) D.y=
x2 x

C. y ? x, y ? x2

变式训练: 下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是 ( A.y=( x )2 B. y=

x2

C. y=

3

x3

知识点二:区间 设 a、b 是两个实数,且 a ? b ,则:

{x a ? x ? b} ? [a,b] 叫闭区间; {x a ? x ? b} ? (a,b) 叫开区间;
{x a ? x ? b} ? [a,b) , {x a ? x ? b} ? (a,b] 都叫半开半闭区间.
实数集 R 用区间 (??, ??) 表示,其中“ ? ”读“无穷大” ; “- ? ”读“负无穷大” ; “+ ? ” 读“正无穷大”. 例 4、已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示) ; (3)求 f (a2 ? 1) 的值.

变式训练:已知函数 f ( x ) ?

1 x ?1

.

(1)求 f (3) 的值; (2)求函数的定义域(用区间表示) ;

(3)求 f (a2 ? 1) 的值.

知识点三:映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f : A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) .记作“ f : A ? B ” 关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. 反思: ① 映射的对应情况有 、 ,一对多是映射吗?

② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两 个非空集合” ,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,即映射. 例 5、探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则,哪些是映射,哪些是一一映射? (1)A={P | P 是数轴上的点},B=R; (2)A={三角形},B={圆}; (3)A={ P | P 是平面直角体系中的点}, B ? {( x, y) | x ? R, y ? R} ;

变式训练:1、如果是从 B 到 A 呢? 2、下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射 (1) A ? ?1,2,3,4?, B ? ?2,4,6,8? ,对应法则是“乘以 2” ; (2)A= R*,B=R,对应法则是“求算术平方根” ;

知识点四:函数的表示 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明;给自变量求函数值.

图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值. 例 6、 某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种 表示法表示函数 y ? f ( x) .

变式训练:作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元). 试用三种方法表示此实例中的 函数.

例 7、画出函数 f(x)=|x-1|+|x+2|的图象.

变式训练:画出 y ? x 的图像.

知识点五:分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把 自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种 不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

? x2 x ? 0 ? 例 8、已知 f ( x) ? ?? x ? 0 ,则 f [ f (?3)] 等于( ?0 x ? 0 ?
A、0 B、π C、π2



D、9[来源:学+科+网]

? x ? 5( x ? 1) 变式训练:1、已知 f ( x) ? ? 2 ,则 f [ f (1)] ? ?2 x ? 1( x ? 1)

? x 2+2, 2、设函数 f(x)= ? ?2 x,

x ? 2, 则 f( x0 )=18,则 x0 =__ x>2,


_.

? x ? 2, ( x ≤ ?1) ? 3、设 f ( x) ? ? x 2 , (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? ( ? 2 x, ( x ≥ 2) ?

A. 1 知识点六:复合函数

B. ? 3

C.

3 2

D.

3

如果 y ? f (u), 则 y ? f [ g ( x)] ,( x ? A) 称为 f、g 的复合函数。 (u ? M ) ,u ? g ( x), ( x ? A) , 知识点七:抽象函数

1、下列对应关系: (



① A ? {1, 4,9}, B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}, f : x ? x 的平方根 ② A ? R, B ? R, f : x ? x 的倒数 ③ A ? R, B ? R, f : x ? x 2 ? 2 ④ A ? ??1,0,1?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 A.①③ B.②④ C.③④ D.②③

2、已知集合 A 到 B 的映射 f:x ? y ? 2 x ? 1 ,那么集合 A 中元素 2 在 B 中对应的元素是: A、2 B、5 C、6 ) D、8

3、 下列各组函数 f ( x)与g ( x) 的图象相同的是( A. f ( x) ? x, g ( x) ? ( x )2 C. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0

B. f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x ? 1)2 D. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ?
? x ( x ? 0) ?? x ( x ? 0)

4、如下图可作为函数 y ? f ( x) 的图象的是(

).

A.
5、设 f ( x) ? ? A. 10

B.

C.

D.


( x ? 10) ? x ? 2, 则 f (5) 的值为( ( x ? 10) ? f [ f ( x ? 6)],
B. 11 C. 12 D. 13
? x 2+2 ( x ? 2) ? ?2 x ( x<2)

? 6、设函数 f ( x) ? ?

,则 f ( ?1) =

.

7、 函数 f ( x) ?

x ?1 +

1 的定义域用区间表示是 2? x

.

8、 若 f ( x ? 1) ? x2 ? 1 ,则 f ( x) =

.

(x ? y, x ? y) 1、在映射 f : A ? B 中, A ? B ? {( x, y) | x, y ? R} ,且 f :( x, y) ?

,则与 A 中的元素 ( ?1, 2)

对应的 B 中的元素为( A. ( ?3,1) B. (1,3)

) C. (?1, ?3) D. (3,1)

2、下列对应 f : A ? B : ① A ? R, B ? ?x ? R x ? 0?, f : x ? x ; ② A ? N , B ? N * , f : x ? x ? 1 ; ③ A ? ?x ? R x ? 0?, B ? R, f : x ? x2 . 不是从集合 A 到 B 映射的有( A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ ) ).

? 0 ( x ? 0) ? 3、已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} =( ? x ? 1( x ? 0) ?

A. 0

B. ?

C. 1 ? ?

D.无法求

?| x ? 1| ?2,| x |? 1, 1 ? 4、设 f ( x) ? ? 1 ,则 f [ f ( )] ? ( 2 , | x |? 1 ? ?1 ? x 2
(A)
1 2

)
25 41

(B)

4 13

(C)-

9 5

(D) )

5、下面可能表示函数的图象的是(

6、

? x ? 5 ( x ? 6) 已知 f ( x) ? ? ,则 f (3) 为( ?2 x ? 4 ( x ? 6)
A、 2 B、 3 C、 4

) D、 5

? x ? 1, x ? 1, 7、函数 f ? x ? ? ? 则 f ? f ? 4? ? ? ?? x ? 3, x ? 1,


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