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(新课程)高中数学 3.2.2《对数函数》课件2 新人教B版必修1


两直线的位置关系

复习 1.求下列各式的值:
1.

log2 6 ? log2 3
lg 5 ? lg 2
1 log 5 3 ? log 5 3

2.

3.

4.

log3 5 ? log3 15

> 题型三 换底公式及运算性质的应用 2 1 【例 3】 (1)设 3 =4 =36,求 + 的值. x y
x y

两直线的位置关系

(2)已知 log189=a;18b=5,求 log3645.

题型三 换底公式及运算性质的应用 2 1 【例 3】 (1)设 3 =4 =36,求 + 的值. x y
x y

两直线的位置关系

(2)已知 log189=a;18b=5,求 log3645.
审题指导 本题考查了指数式与对数式的互化, 换底公式及 对数的运算性质.
【解题流程】 (1) 指数式化为对数式 ―→ 化为同底 ―→ 利用对数运算性质求解 (2) 指数式化为对数式 ―→ 换底公式 ―→ 变形

两直线的位置关系

【训练 3】 已知 logab· log3a=4,求 b 的值.

知 识 改 变 命 运 ,勤 奋 创 造 奇 迹 .

3.2.2 对数函数

复习回顾

指数式
指数:b∈R

对数式
对数:b∈R

a ?N
b
底数:a>0 且a≠1

b ? loga N
底数:a>0 且a≠1 真数:N>0

幂:N>0

新课讲解: (一)对数函数的定义:

两直线的位置关系

函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数; 其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

注意: 1、对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,
2、对数函数对底数的限制:

(a ? 0



a ? 1)

判断:以下函数是对数函数的是 ( )

A. y=log2(3x-2)


B. y=log(x-1)x
D.y=lnx

C. y=log1/3x2 E.y=3log2x+5

判断是不是对数函 数
x (1) y ? log 5 5 (2) y ? log2 ( x ? 2) (3) y ? 2 log5 x (4) y ? log2 x x

两直线的位置关系

(5) y ? log?5 x 1 (6) y ? log5 x (7) y ? logx 5

两直线的位置关系

例1 已知函数f(x)为对数函数,且图象过点(4, 2),求f(1),f(8)

两直线的位置关系

例1 已知函数f(x)为对数函数,且图象过点(4, 2),求f(1),f(8)

解: ? f ( x)为对数函数

(a ? 0且a ? 1)

? 设f ( x) ? loga x ? 2 ? loga 4 ? a2 ? 4

又 ? f ( x)过(4, 2)

? a ? 2(a ? ?2舍) ? f ( x) ? log2 x ? f (1) ? log2 1 ? 0 f (8) ? log2 8 ? log2 23 ? 3

? 学习函数的一般模式(方法): 解析式(定义) 图像
数形结合

①定义域 ②值域

性质 应用

③单调性 ④最值

⑤奇偶性

探究: 对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 的图象
在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x 的图象。
画函数图象的步骤: ①列表, ②描点,
2

③用平滑曲线连接。

作y=log2x图象

列 表 描 点
连 线

X y=log2x

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2
1

4 2

… …

y 2

1
0

11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

x

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log1 x
2



1/4

1/2

1

2

4





2

-1 1

0 0

1 -1

2 … -2 …

描 点 连 线

y 2

1
0

11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

y

认真观察函数 y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象特征

代数表述

图象位于 y轴
图象向上、向下 自左向右看图象

定义域 :

值 域 :
在(0,+∞)上是:

认真观察函数

y 2

y=log 1 x
2

1 11
42

的图象填写下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于 y轴 图象向上、向下

定义域 : 值 域 : 在(0,+∞)上是:

自左向右看图象

2.对数函数的图象和性质
a>1
y
x =1
y ? loga x (a ? 1)

两直线的位置关系

0<a<1
y
x =1

我很重要

图 象
定义域 值域

O

(1,0)

X

(1,0)
O

y ? loga x (0 ? a ? 1)

X



特殊点

单调性 奇偶性 质 最值
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0. 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0.

两直线的位置关系

应用举例
例1.求下列函数的定义域:
(1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)

应用举例
例1.求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
2>0,所以x≠?, (1) 要使函数有意义,必须 x 解:

即函数y=logax2的定义域为

?-???? ? (0,+??
(2)要使函数有意义,必须4-x>0,所以x<4, 即函数y=loga(4-x)的定义域为

(-??4)

练习二:求下列函数的定义域:

(1) y ? log5 (1 ? x)
1 (2) y ? log 2 x

(3) y ? log3 x

两直线的位置关系

求下列函数的定义域:

y? (1)

log0.5 (4x - 3);

x y ? log (16 4 ). x ?1 (2)

两直线的位置关系

学点三

求值域

求下列函数的值域: (1)y ? log1
2

(-x2 - 4x ? 12);
2

(2)

y ? log 1 (x - 2x - 3);
2

(3)y=loga(a-ax)(a>1). 【分析】复合函数的值域问题,要先求函数的定义域, 再由单调性求解.

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两直线的位置关系

【解析】(1)∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12

=-(x+2)2+16≤16,
又∵-x2-4x+12>0, ∴y≥log 116=-4.
2

∴0<-x2-4x+12≤16. ∴函数的值域为[-4,+∞).

∵y=log 1 x在(0,16]上是减函数,
2 2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, (2)∵x

又∵x2-2x-3>0,且y=log 1 x在(0,+∞)上是减函数,
∴y∈R,
2

∴函数的值域为实数集R.

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两直线的位置关系

(3)令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,

∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响, 然后利用函数的单调性求之,当函数中含有参数时,有 时需要讨论参数的取值.

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两直线的位置关系

学点四

求最值

已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大 值及当y取最大值时x的值.

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两直线的位置关系

学点四

求最值

已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大 值及当y取最大值时x的值. 【分析】要求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,首先要 求函数的解析式,然后求出函数的定义域,最后用换 元法求出函数的值域. 【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6

=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有定义,必须

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两直线的位置关系

已知x满足不等式-3≤ log1 x ≤ 的最大值和最小值.
2

1 ? ,求函数f(x)= 2

x x (log 2 ) ? (log 2 ) 4 2

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两直线的位置关系

已知x满足不等式-3≤ log1 x ≤ 的最大值和最小值.
2

1 ? ,求函数f(x)= 2

x x (log 2 ) ? (log 2 ) 4 2

∵1 -3≤ log1 x ≤
∴2 ≤log2x≤3,
2

1 ? ,即 2

2
≤x≤8,

3 2 1 ∵f(x)=(log2x-2)· (log2x-1)=(log2x- ) - 4 , 2 3 1 ∴当log2x= ,即x=2 2 时,f(x)有最小值- .

又∵当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2,
1 ∴f(x)min=4

2

4

,f(x)max=2.

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两直线的位置关系

单调性 例2.比较下列各组数中两个数的大小:
(1)log2 3.4, log2 8.5

(2)log0.31.8

log 0.3 2.7 (3)loga 5.1,loga 5.9

两直线的位置关系

(4) log56,log65
方法:①利用对数函数的单调性.

②分类讨论
③用“中间值法”.

构造函数

两直线的位置关系

例2.比较下列各组数中两个数的大小:
(1)log2 3.4, log2 8.5
解: 因为函数 y ? log 2 x
在(0,+∞)上是增函数,

y
log 28.5 log 23.4

y ? log2 x

且 3.4 < 8.5 所以 log2 3.4<log 2 8.5

0 1

3.4

8.5 x

构造函数

两直线的位置关系

练习三:比较下列各组数中两个数的大小:

(1)lg6   8 lg (2)log2 0 5    . log2 0 6 .
3 3

(3)log05 log06 8 . . ?     .0

两直线的位置关系

你能口答吗?
1 、 log0.56 ______log0.54

变一变还能口答吗?
3、 若 log3 m ? log3 n,则m___n;

2、 log

1.6 1.5

______log

1.4 1.5

4、 若 log0.7 ? log0.7 , 则m___n.

m

n

练习1:比较大小 ① log76 1

两直线的位置关系

② log0.53

1

③ log67

1

④ log0.60.1

1

⑤ log35.1

0

⑥ log0.12

0

⑦ log20.8

0

⑧ log0.20.6

0

两直线的位置关系

例3.已知log0.7(3m)<log0.7(m-1),求 m的取值范围

两直线的位置关系

例3.已知log0.7(3m)<log0.7(m-1),求 m的取值范围
因为函数 y ? log0.7 x 在(0,+∞)上是减函数,

∴3m>m-1 >0 ∴m>1

巩固练习:

两直线的位置关系

1.函数 y ? log3 (1 ? x) 的定义域为 2. 比较大小:1) log23 2) log0.71.6 log23.5 log0.71.8

1 3.已知函数 y ? log 2 x, 若x ? ( ,, 8] 2 则y ? __________

两直线的位置关系

学点五

求单调区间

求下列函数的单调区间:
2 (1)f(x)= log 1 (-2x ? x ? 6) ; 2

(2)f(x)=log0.1(2x2-5x-3).

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两直线的位置关系

学点五

求单调区间

求下列函数的单调区间:
2 (1)f(x)= log 1 (-2x ? x ? 6) ; 2

(2)f(x)=log0.1(2x2-5x-3).

【分析】复合函数的单调性,宜分解为两个基本函数后解决. 1 2 49 2 (x ? )+ 【解析】(1)令t=-2x +x+6=-2 . 8 4 3 ∵由-2x2+x+6>0知- <x<2,
∴当x∈ ? - , ?时,随x的增大t的值增大,从而log 1 t的值减 ? 2 4? 2 小;
?1 ? 当x∈ ? 4 ,2 ?时,随x的增大t的值减小,从而log 1 t的值增大. ? ? 2 1 ? ? ∴函数y=log 1 (-2x2+x+6)的单调增区间是 ? ,2 ?,单调减区 ?4 ? ? 3 1? 2 ? 3 1?

2

间是 ? -

, ? ? 2 4?

.

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两直线的位置关系

已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性.

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两直线的位置关系

已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性. (1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0. ∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);

当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).
(2)当a>1时,设0<x1<x2,则1< x1
x1 x a 故0< -1< a 2-1,

? a x2 x2 x1 a 即loga(a -1)<loga( -1). ∴f(x1)<f(x2), a

,

故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.

同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

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两直线的位置关系

学点六

求变量范围

已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

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两直线的位置关系

学点六

求变量范围

已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 【分析】若f(x)的定义域为R,则对一切x∈R,f(x)有意义; 若f(x)值域为R,则f(x)能取到一切实数值. 【解析】(1)要使f(x)的定义域为R,只要使 μ(x)=ax2+2x+1的值恒为正值, ∴

?

a>0

Δ=4-4a<0,

? a ? 1.
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两直线的位置关系

学点七

对数的综合应用
2

名师伴你行

已知函数f(x)= log1

x ?1 . x -1

(1)判断f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数.

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两直线的位置关系

学点七

对数的综合应用
2

名师伴你行

已知函数f(x)= log1

(1)判断f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.
x ?1 【解析】(1)由 x - 1 >0解得f(x)的定义域是(-∞,-

x ?1 . x -1

1)∪(1,+∞), - x ?1 x ? 1 - log x ? 1 1 ∵f(-x)= log1 - x - 1 = log1 x ? 1 = = -f(x), 2 x -1 2 2 ∴f(x)是奇函数. x ?1 (2)证明:设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,u(x)= x -1 2 = 1? ,则 x -1 返回目录

两直线的位置关系 名师伴你行 2 2 u(x1)-u(x2)= 1 ? ? (1 ? ) ? 2( 2 ? 2 ) ? 2(x2 ? x 1 ) x1 - 1 x2 - 1 x 1 - 1 x 2 - 1 (x1 ? 1)(x2 ? 1)

∵x2>x1>1,

∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,

∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2)>0,
∵y=log1 u在(0,+∞)上是减函数,
2 1 ∴log 1 u(x )<log u(x2), 1 2 2

即log

1 2

x2 ? 1 x1 ? 1 <log 1 x - 1 x1 ? 1 2 2

,

∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【评析】无论什么函数,证明单调性、奇偶性,定义是最 基本、最常用的方法.

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两直线的位置关系

学点八

反函数

名师伴你行

已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是( B)

【分析】分a>1,0<a<1两种情况,分别作出两函数的图象, 根据图象判定关系.

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两直线的位置关系 名师伴你行

若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点
(2,-1),则a=
1 2

.

1 2

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两直线的位置关系 名师伴你行

1.如何确定对数函数的单调区间?

(1)图象法:此类方法的关键是图象变换.
(2)形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法: 首先求满足f(x)>0的x的范围,即求函数的定义域.假设 f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单 调递减,则 ①当a>1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间相同, 即在I1上单调递增,在I2上单调递减. ②当0<a<1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间不同, 原函数在I1上单调递减,在I2上单调递增.

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两直线的位置关系 名师伴你行

2.如何学好对数函数? 对数函数与指数函数的学习要对比着进行,如它们 的定义域和值域互换,它们的单调性与底数a的关系 完全一致,指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1) 和点(1,0)等,这样有助于理解和把握这两个函数.

3.如何理解反函数?
学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们 间的相互转化,掌握反函数的图象关于直线y=x对称, 在解决有关指数函数和对数函数的问题时,要注意数 形结合,注意运用复合函数“同增异减”的单调性原 则,注意分类讨论.

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两直线的位置关系 名师伴你行

1.在指数函数与对数函数中,对底数的要求是一致的, 均是a>0,且a≠1.但指数函数的定义域是R,对数函数的 定义域是(0,+∞).对数函数的图象在y轴的右侧,真数大 于零,这一切必须熟记. 2.反函数

(1)在写指数函数或对数函数的反函数时,注意函数的 定义域且底数必须相同;
(2)互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相 同;

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两直线的位置关系 名师伴你行

(3)对数函数与指数函数互为反函数,因此,对 数函数图象画法有两种:一是描点法,二是利用 指数函数与对数函数互为函数的关系作图;

(4)互为反函数的两个函数的定义域与值域发生 互换,即原函数的定义域是反函数的值域,原函 数的值域是反函数的定义域; (5)互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对 称.

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知识应用 ----定点问题

两直线的位置关系

例1、求下列函数所过的定点坐标。
(1)y ? ln(4 ? x) ? 7

(2)y ? e ? loga (7x ? 2)(a ? 0, a ? 1)

联想:求指数函数的定点坐标方法是__?

知识应用 ----定点问题

两直线的位置关系

例1、求下列函数所过的定点坐标。
(1)y ? ln(4 ? x) ? 7

(2)y ? e ? loga (7x ? 2)(a ? 0, a ? 1)
总结:求对数函数的定点坐标方法是__?

令真数为1,求出X值即为定点的横坐标, 求出Y值即为定点的纵坐标. 联想:求指数函数的定点坐标方法是__?

课堂小结: 这节课你学到了什么? 1.对数函数的定义:
一般地,我们把 函数

y ? loga x

(a?0,且a ?1)

叫做对数函数, 其中x是自变量, 函数的定义域是(0,+∞)。 注:1 、对数函数的定义与指数函数类似,都是形式 定义,注意辨别。
2 、对数函数对底数的限制: (a?0,且a ?1)

2.对数函数的图象和性质
a>1
3
3

0<a<1
2.5 2

2.5

2

1.5
1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5
0.5

0

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8
-1

0

1

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1 .5

-1 .5

-2

-2

-2 .5

-2 .5

定义域: 值域:

(0,+∞) (??,??)
? y?0
? y?0
x ? (0,1)

性 质

过点(1,0),即当x=1时,y=0

x ? (0,1)

x ? (1,??)
在(0,+∞)上是

? y?0
? y?0

函数

x ? (1,??)
在(0,+∞)上是

增 函数

1.思考:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象随着a 取值变化图象如何变化?有规律吗? y 规律:在x轴 2 x 上方图象自左 1 11 向右底数越来 4 2 0 越大! 1 2 3 4 -1

y ? log2 x

y ? log3 x
x

y ? log1 x
3
2

-2

y ? l og1 x

3.函数 y ? log a x , y ? log b x , y ? log c x , y ? log d x 的图像如图所示,其 中正确的是( )

y

O

y ? logb x y ? loga x B.0 ? b ? a ? 1 ? d ? c x y ? logd x C.0 ? d ? c ? 1 ? b ? a y ? logc x D.0 ? a ? b ? 1 ? d ? c

A.0 ? a ? b ? 1 ? c ? d


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