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第一章1.3-1.3.1第2课时函数的最大(小)值


第一章

集合与函数概念

1.3

函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值 第 2 课时 函数的最大(小)值

[学习目标] 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义 (重点). 2.会求简单函数的最大值或最小值(重点、 难点).

[知识提炼· 梳理] 1.函数的最大(小)值及几何意义
最值 条件 几何意义

对于任意 x∈I,都有 函数 y=f(x)图 最大值 f(x)≤M,存在 x0∈I, 象上最高点的 使得 f(x0)=M 纵坐标

对于任意 x∈I,都有 函数 y=f(x)图 最小值 f(x)≥M,存在 x0∈I, 象上最低点的 使得 f(x0)=M 纵坐标

温馨提示 函数最大(小)值是相对于定义域来说的, 而不是定义域中某局部的高点和低点.

2.求函数最值的常用方法 (1)图象法:作出 y=f(x)的图象,观察最高点与最低 点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值. (2)运用已学的函数一次函数、二次函数、反比例函 数的值域.

(3)运用函数的单调性 ①若 y=f(x)在区间[a,b]上是增函数,则 ymax=f(b), ymin=f(a). ②若 y=f(x)在区间[a,b]上是减函数,则 ymax=f(a), ymin=f(b).

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数最大(小)值一定是值域的元素. 如果值域是一 个闭区间,那么函数的最大(小)值就是该闭区间两端点的 值.( )

(2) 函 数 y = f(x) 在 区 间 [a , b] 上 的 最 值 是 f(a) 或 f(b).( )

1 (3)函数 y=x-x(x∈[1,3])的最大值和最小值分别是 8 和 0.( 3 )

解析:(1)对,根据函数最值的概念知,该说法正确. (2)错,若函数 y=f(x)是区间[a,b]上的单调函数,则 结论正确,若不是单调函数,则结论不一定正确.

1 (3)对,利用单调性定义容易证明 y=x-x(x∈[1,3]) 1 8 1 是增函数,所以 ymax=3- = ,ymin=1- =0. 3 3 1 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.函数 y=2x2-1,x∈N*的最值情况是( A.无最大值,最小值是 1 B.无最大值,最小值是-1 C.无最大值,也无最小值 D.不能确定最大、最小值

)

解析:因为 x∈N*,且函数在(0,+∞)上单调递增, 故函数在 x=1 时取得最小值,最小值为 1,无最大值.

答案:A

?1 ? 1 3.函数 f(x)= 2在区间?3,4?上的最大值是( x ? ?

)

1 A. 4

1 B. 9

C.9

D.4

?1 ? 1 解析:易证 f(x)= 2在区间?3,4?上是减函数,所以 x ? ? ?1? f(x)max=f?3?=9. ? ?

答案:C

k 4.若函数 y= (k>0)在[2,4]上的最小值为 5,则 k x =________. k 解析:因为 k>0,所以函数 y= 在[2,4]上是减函数, x k k 所以当 x=4 时,y= 最小,由题意知 =5,k=20. 4 4 答案:20

5.函数 f(x)=x2+4x+a 在区间(-3,3)上的最小值 为________. 解析: f(x) = x2 + 4x + a = (x + 2)2 + a - 4 ,因为- 3<x<3,所以 f(x)在(-3,3)上的最小值为 f(-2)=a-4. 答案:a-4

类型 1 利用函数图象求最值(自主研析)

[典例 1] (1)函数 f(x)在区间[-2, 5]上的图象如图所 示,则此函数的最小值、最大值分别是( A.-2,f(2) C.-2,f(5) B.2,f(2) D.2,f(5) )

1 ? ? (0<x<1), (2)求函数 f(x)=?x 的最值. ? ?x(1≤x≤2)

解析:(1)由函数的图象知,当 x=-2 时,有最小值 -2;当 x=5 时,有最大值 f(5).故选 C. 答案:C

(2)解: 作出函数 f(x)的图象如图所示, 由图象可知 f(x) 的最小值为 f(1)=1.无最大值.

归纳升华 1.作出函数的图象. 2.观察图象的最高点与最低点,并求其纵坐标即得 函数的最大值、最小值.

[变式训练] (1)函数 f(x)的部分图象如图所示,则该 函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( )

A.f(-2),f(3) C.f(-2),2

B.0,2 D.f(2),2

(2)函数 f(x)=x+|x-1|的最值的情况是( A.有最大值,没有最小值 B.最小值为 1,没有最大值 C.最大值为 1,没有最小值 D.最大值为 2,最小值为 1

)

解析:(1)由图象可知,x=-2 时,f(x)取得最小值为 f(-2),x=1 时,f(x)取得最大值 f(1)=2.

? ?2x-1(x≥1), (2)f(x) = x + |x - 1| = ? 作出函数的 ? (x<1), ?1 图象如图所示,由图象可知,f(x)的最小值为 1,没有最 大值.

答案:(1)C (2)B

类型 2 利用单调性求函数的最值 x2+2x+3 [典例 2] 已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)). x (1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 3 f(x)=x+x+2.

? 3 ? 则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?1-x x ?, ? 1 2?

因为 x1<x2, 所以 x1-x2<0,又因为 x1≥2,x2>2, 3 所以 x1x2>4,1- >0, x1x2 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数,

11 所以当 x=2 时,f(x)有最小值,最小值为 f(2)= . 2 11 (2)因为 f(x)的最小值为 f(2)= , 2 11 所以 f(x)>a 恒成立,只需 f(x)min>a,得 a< . 2

归纳升华 1.函数的最值与单调性的关系:(1)若 f(x)在[a,b] 上是减函数,则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(a),最小值 为 f(b);(2)若 f(x)在[a,b]上是增函数,则 f(x)在[a,b]上 的最大值为 f(b),最小值为 f(a).

2.利用函数的单调性求最值,要熟练掌握一些常见 函数的基本性质.

x [变式训练] 求函数 f(x)= 在区间[2,6]上的最 x-1 大值与最小值. 解:任取 2≤x1<x2≤6,则 x1-x2 x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = x1-1 x2-1 (x1-1)(x2-1)

因为 2≤x1<x2≤6, 所以 x1-x2<0, x2-1>0, x1-1>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,所以 f(x1)>f(x2). x 所以 f(x)= 在区间[2,6]上是单调递减函数, x-1 2 所以 f(x)max=f(2)= =2, 2- 1 6 6 f(x)min=f(6)= = . 6-1 5

类型 3 函数最值的实际应用 [典例 3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益 1 2 ? ?400x- x (0≤x≤400), 2 满足函数:R(x)=? 其中 x 是 ? ?80 000(x>400). 仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数 f(x).

(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利 润为多少元?(总收益=总成本+利润)

解:(1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x, ? 1 2 ?-2x +300x-20 000(0≤x≤400), 从而 f(x)=? ?60 000-100x (x>400). ?

1 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2+25 000; 2 所以当 x=300 时,f(x)max=25 000, 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. 所以当 x=300 时,f(x)max=25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大,
最大利润为 25 000 元.

归纳升华 1.解实际应用题要弄清题意,从实际出发,引入数 学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性 质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围.

2.实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常 转化为求函数最值来解决,本题转化为二次函数求最值, 利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.

[变式训练] 将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个 出售时,能卖出 500 个,已知这种商品每涨价 1 元,其销 售量就减少 10 个,为得到最大利润,售价应为多少元? 最大利润是多少?

解:设售价为 x 元,利润为 y 元,单个涨价(x-50) 元,销量减少 10(x-50)个.

所以 y=(x-40)(1 000-10x)=-10(x-70)2+9 000 ≤9 000. 故当 x=70 时,ymax=9 000. 综上,售价为 70 元时,利润最大为 9 000 元.

类型 4 二次函数在指定区间上的最值 [典例 4] 已知二次函数 f(x)的图象过点 A(-1,0)、 B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值.

解:(1)由题意可设 f(x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),得 a=2.

即 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (2)f(x)=2(x-1)2-8, 当 x∈[0,3]时,由二次函数图象知, f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.

[迁移探究 1] (将定区间改为动区间)设函数 y=x2- 2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(x),求 g(x). 解:因为函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, 所以对称轴为直线 x=1, 因为 x=1 不一定在区间[-2,a]内,所以应进行讨 论.

当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减, 则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a2-2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上 单调递增, 则当 x=1 时,y 取得最小值,即 ymin=-1.
2 ? a ? -2a,-2<a≤1, 综上,g(x)=? ? a>1. ?-1,

[迁移探究 2] (将固定的对称轴改为移动的对称轴) 已知函数 f(x)=x2+(2a-1)x-3, (1)当 a=2,x∈[-2,3]时,求函数 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)在[-1,3]上的最大值为 1,求实数 a 的值.

解:(1)当 a=2 时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3], 3 对称轴 x=- ∈[-2,3], 2

? 3? 9 9 21 ? ? 所以 f(x)min=f -2 = - -3=- , 4 ? ? 4 2 ? 21 ? f(x)max=f(3)=15,所以值域为?- 4 ,15?. ? ?

2a-1 (2)对称轴为 x=- . 2 2a-1 1 ①当- ≤1,即 a≥- 时, 2 2

f(x)max=f(3)=6a+3, 1 所以 6a+3=1,即 a=- 满足题意; 3 2a-1 1 ②当- >1,即 a<- 时, 2 2 f(x)max=f(-1)=-2a-1, 所以-2a-1=1,即 a=-1 满足题意. 1 综上可知 a=- 或-1. 3

归纳升华 1.探求二次函数在给定闭区间上的最值问题,一般 要先作出 y=f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研 究.

2. 要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系, 它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据, 并 且最大(小)值不一定在顶点处取得.

1.函数最值定义中两个条件缺一不可,若只有(1), M 不是最大(小)值,如 f(x)=-x2(x∈R),对任意 x∈R, 都有 f(x)≤1 成立,但 1 不是最大值,否则大于 0 的任意 实数都是最大值了.最大(小)值的核心就是不等式 f(x)≤M[或 f(x)≥M],故也不能只有(2).

2. 函数的最大(小)值与值域、 单调性之间的关系: (1) 对一个函数来说,一定有值域,但不一定有最值,如函 1 数 y=x.如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2) 若函数 f(x)在闭区间[a,b]上单调,则 f(x)的最值必在区 间端点处取得,即最大值是 f(a)或 f(b),最小值是 f(b)或 f(a).


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