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几何概型讲义(学生版)


几 何 概 型 的 常 见 题 型
几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型, 也是高考的一个新增热点, 但由于试题 设计的背景不同,试题所呈现的方式也不同,此试卷通过对几何概型试题的归纳整理,以便 更好地理解和掌握此类问题.

一.几何概型的定义
1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点:(1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等. 3.计算公式: P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体 积) . 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几 何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系: (1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的. (2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的; ②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二.常见题型
1.与长度有关的几何概型
例 1.在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x , cos A.

?x

1 3

B.

2

?

C.

1 2

2 2 D. 3

的值介于 0 到

1 之间的概率为( 2

).

1

练 1. 取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是.

1 1 1 B. C. D.不确定 2 4 3 2. 两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是________. 3. 在等腰 Rt△ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率.
A.

4. 平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,硬

币不与任一条平行线相碰的概率.

5. 在半径为 1 的圆周上,有一定点 A,以 A 为端点任连一弦,另一端点在圆周上等可能的

选取,求弦长超过√3 的概率。

6.如图, ?AOB ? 60 , OA ? 2 , OB ? 5 ,在线段 OB 上任取一点 C , 试求:(1) ?AOC 为钝角三角形的概率; (2) ?AOC 为锐角三角形的概率.

A

O

D

C

E

B

2

2.与面积有关的几何概型
例 2. ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1 , O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取 一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( A. ) D. 1 ?

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

? 8

1、 在 1 万 km2 的海域中有 40 km2 的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意一点钻探, 钻到油层面的概率是. A.

1 251

B.

1 249

C.

1 250

D.

1 252

2、 如下图,在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形,向大正方形内 随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是________.

2 cm

3 cm
1 3、如下图,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为 a 3


1 a,高为 b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为________. 2

1a 3

b 1a 2 a

3

4、如下图,在半径为 1 的半圆内,放置一个边长为 该点落在正方形内的概率为_________.

1 的正方形 ABCD,向半圆内任投一点, 2

D A B
5、 一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 m,宽 20 m 的长方形,求海豚嘴尖离岸边不超 过 2 m 的概率.

C

6、在一个打上方格的纸上头一枚直径为 2 的硬币,方格变长要多少才能使硬币与方格的边 不相交的概率小于 4%?

3.与角度有关的几何概型
例 3.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心为起点做射线 OC ,求使得 ?AOC 和 ?BOC 都不 小于 30°的概率?

B M
C N

O

A

图2

如下图,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60°的终边上,任作一条射线 OA,则射线落在∠
y A T

xOT 内的概率是________.

O

x

4

4.与体积有关的几何概型
例 4.在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大?

1. 在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10 mL,含有麦锈病种 子的概率是多少?

3. 在 区 间 [0,l] 上 任 取 三 个 实 数 x.y.z, 事 件 A={(x,y,z)| x2+y2+z2<1, x≥0,y≥0,z≥0}

5.与线性规划有关的几何概型
例 5.小明家的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家在 下午 6: 00~7: 00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的 概率是多少?

5

反思:此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系,其求解的步骤为: (1)找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x, y ; (2) 集合表示.用 ( x, y ) 表示每次试验结果, 则可用相应的集合分别表示出全部结果 ? 和事 件 A 所包含的试验结果.一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集. (3)作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出,并求出集合 ?, A 对应的区域的面积. (4)计算求解.由几何概型公式求出概率. 1.从(0,2)中随机取两个数,两数之和小于 0.8 的概率是多少?

2. 一条线段长为 a,把这条线段分为三段,求三段线段能构成三角形的概率。

3. 两人约定在 20:00 到 21:00 之间相见,并且先到者必须等迟到者 40 分钟方 可离去,如果两人出发是各自独立的,在 20:00 到 21:00 各时刻相见的可 能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.

4.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 ,它们在一昼夜内到达码头 的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为 1h,乙船停泊时间为 2h,求它们中的任意一 艘都不需要等待码头空出的概率

当堂练习: 1.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为 0.32,那么质量在[4.8,4.85](g)范围内的概率是( ) A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68

2.在长为10 cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于 2 2 25 cm 与49 cm 之间的概率为( ) 3 1 2 4 A. B. C. D. 5 5 5 10

6

3.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,构成数对 (x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 4 16 16 16 1 甲 4 3 2 乙 1 4 2 3

4.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其 涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为( ) 3 1 3 1 A. B. C. D. 4 4 8 8 5.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.则 求两人会面的 概率为( ) 4 5 7 1 A. B. C. D. 9 9 10 3 6如图, 某人向圆内投镖, 如果他每次都投入圆内, 那么他投中正方形区域的概率为 ( 2 1 2 1 A. B. C. D. 3 ? ? 3 )

7.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 45 ,若向圆内投镖,如果某人每次都投入 圆内,那么他投中阴影部分的概率为( ) 1 1 1 A. B. C. 4 2 8

D.

3 4

8.现有 100ml 的蒸馏水,假定里面有一个细菌,现从中抽取 20 ml 的蒸馏水,则抽到细菌的 概率为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 100 20 10 9.一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口,已知该港口每天涨潮的时间为早晨 5 : 00 至 7 : 00 和下午 5 : 00 至 6 : 00 ,则该船在一昼夜内可以进港的概率是( )
1 1
1

1

A. 4

B. 8

C. 10

D. 12

7

10.在区间 [0,10] 中任意取一个数,则它与 4 之和大于 10 的概率是(
1
2



3

2

A. 5

B. 5

C. 5

D. 7 )

11.若过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 L ,则 L 与线段 BC 相交的概率为(
1
1

1

1

A. 2

B. 3

C. 6

D. 12

12.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履 虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 14 .已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min .则乘客到达站台立即乘上车的概率 为 . 15.随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与 ?CPD 为锐角的 概率是__________________. 5 16.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于 的概率是 . 6 17.飞镖随机地掷在下面的靶子上. (1)在靶子1中,飞镖投到区域A、B、C的概率是多少? (2)在靶子1中,飞镖投在区域A或B中的概率是多少?在靶子2中,飞镖没有投在区域C 中的概率是多少?

C A C B

B

A

18.一只海豚在水池中游弋,水池为长 30m ,宽 20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不 超过 2m 的概率.

19.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.

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