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高一数学第二章(第16课时)指数函数(3)




题:2.6.3

指数函数 3

教学目的: 1. 了解函数图象的变换; 能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题. 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力; 3.培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯 教学重点:函数图象的变换;指数函数性质的运用 教学难点:函数图象的变换;指数函数性质的运用. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入:指数函数 y ? a x ?a ? 0, a ? 0? 的定义、图像、性质(定义域、 值域、单调性)
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二、新授内容: 例 1(课本第 82 页 例 2)用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下 列函数的图象,并指出它们与指数函数 y= 2 的图象的关系, ⑴y= 2
x ?1 x

与 y= 2

x?2

.

⑵y= 2

x ?1

与 y= 2

x ?2

.

解:⑴作出图像,显示出函数数据表 x -3
x

-2 0.25 0.5 1
x ?1

-1 0.5 1 2
x?2 x

0 1 2 4

1 2 4 8

2 4 8 16
9

3 8 16 32

2 2 x ?1 2 x?2

0.125 0.25 0.5 比较函数 y= 2

、y= 2

与 y= 2 的关
8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

系: 将指数函数 y= 2 的图象向左平行移动 1 个单位长度, 就得到函数 y= 2
x x ?1

x

7

6

5

4

的图象, 将

3

2

指数函数 y= 2 的图象向左平行移动 2 个单 位长度,就得到函数 y= 2
x?2

1

-3 -2 -1 0

1 2 3
2

4

6

8

的图象

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⑵作出图像,显示出函数数据表 x -3 -2 -1 0 1 2 3

第 1 页(共 4 页)

2x 2 x ?1 2 x ?2

0.125 0.625 0.3125
x ?1

0.25 0.125 0.625
x ?2

0.5 0.25 0.125
x

1 0.5 0.25

2 1 0.5
9

4 2 1

8 4 2

比较函数 y= 2

、 y= 2
x

与 y= 2 的关系:
8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

将指数函数 y= 2 的图象向右平行移动 1 个单位长度,就得到函数 y= 2
x x ?1

6

5

4

的图象,

3

2

1

将指数函数 y= 2 的图象向右平行移动 2 个单位长度,就得到函数 y= 2 小结:⑴ y= 2
x?m x ?2

-3 -2 -1 0

1 2 3 4 5
2 4

6

8

的图象

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与 y= 2 的关系:当 m>0 时,将指数函数 y= 2 的图象向
x?m

x

x

右平行移动 m 个单位长度,就得到函数 y= 2
x

的图象;当 m<0 时,将指数函数
x?m

y= 2 的图象向左平行移动 m 个单位长度,就得到函数 y= 2

的图象

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?1? 例 2 ⑴已知函数 y ? ? ? 用 ? 2?
计算器或计算机作出函数图像,求定

x

3.5

3

2.5

2

?1? 义域、值域,并探讨 y ?? ? 与 ? 2? ?1? y ? ? ? 图像的关系 ? 2?
x
-3 -2 -1

x

1.5

1

0.5

D
-0.5

1

2

3

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?? 1 ? x ? ? ,x ? 0 解: y ? ?? ?2? ? 2x , x ? 0 ?
x

定义域:x?R

值域: 0 ? y ? 1

?1? ?1? 关系:将 y ? ? ? 的图像 y 轴右侧的部分翻折到 y 轴左侧的到 y ? ? ? ? 2? ? 2?
的图像,关于 y 轴对称.

x

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⑵已知函数 y ? ? ?

?1? ?2?

x ?1

用计算器或计算机作出函数图像,求定义域、值
x ?1

?1? 域,并探讨 y ? ? ? ?2?
x ?1

x ?1

?1? 与 y ?? ? ?2?

3.5

图像的关系

3
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2.5

2

?? 1 ? ? ? , x ?1 解: y ? ?? 定义域:x?R ?2? ? 2 x?1 , x ? 1 ?
0 ? y ?1
关系:将 y ? ? ?

1.5

值域:
-3 -2 -1

1

1

0.5

D
-0.5

1

1

2

3

?1? ?2?
x ?1

x ?1

(x>1)的图像在直线 x=1 右侧的部分翻折到直线 x=1

?1? 左侧得到 y ? ? ? ?2?

的图像,是关于直线 x=1 对称

⑵推广:对于有些复合函数的图象,则常用基本函数图象+变换方法作出: 基本函数图象+变换:即把我们熟知的基本函数图象,通过平移、作其对称 图等方法,得到我们所要求作的复合函数的图象,如上例,这种方法我们遇到 的有以下几种形式: 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0 时,向左平移 a 个单位;a<0 时,向右平移|a|个单位. a>0 时,向上平移 a 个单位;a<0 时,向下平移|a|个单位. y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称,x ? 0 时函数即 y=f(x),所以 x<0 时的图象与 x ? 0 时 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. ∵ y ? f ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? 0; , ∴ y=|f(x)| 的 图 象 是 ?? f ( x), f ( x) ? 0.

y=f(x) ? 0 与 y=f(x)<0 图象的组合. y= f
?1

( x)

y= f

?1

( x) 与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称.

以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换,但随着知识的增加, 还会有许多较复杂的变换,以后再作研究.
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例 3 探讨函数 y ? a x 和 y ? a ? x (a ? 0且a ? 1) 的图象的关系,并证明关 于 y 轴对称
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证:设 P( x1 , y1 )是函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象上任意一点 则 y1 ? a ∴
x1

而 P( x1 , y1 )关于 y 轴的对称点 Q 是(- x1 , y1 ) 即 Q 在函数 y ? a ? x 的图象上
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y1 ? a x1 ? a ?( ? x1 )

由于 P 是任意取的,所以 y ? a x 上任一点关于 y 轴的对称点都在 y ? a ? x 的图象上
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同理可证: y ? a ? x 图象上任意一点也一定在函数 y ? a x 的图象上 ∴ 函数 y ? a x 和 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称 例 4 已知函数 y ?
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2 x ? 2? x 2

求函数的定义域、

6

5

4

值域 解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、整理 定义域为 R
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3

2

1

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-4

-2

2

4

由y?

2 x ? 2? x 得 2

22x ? 2 y ? 2 x ? 1 ? 0

2 2 ∵x?R, ∴△ ? 0, 即 4 y ? 4 ? 0 , ∴ y ? 1 , 又∵ y ? 0 ,∴ y ? 1

三、小结 本节课学习了以下内容:函数图像的变换 四、课后作业: 五、板书设计(略) 六、课后记:
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