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2.2.1用样本的频率分布估计总体


用样本的频率分布估计总体分布

一 、教学目标
? 1 通过实例体会分布的意义和作用。 ? 2 在表示样本数据的过程中,学会列频率 分布表,画频率分布直方图、频率折线图 ? 3 通过实例体会频率分布直方图、频率折 线图的各自特征,从而恰当地选择上述方 法分析样本的分布,准确地做出总体估计。

二、教学重点与难点
?

重点:会列频率分布表,画频率分布直方 图、频率折线图。 ? 难点:能通过样本的频率分布估计总体的 分布。

我国是世界上严重缺水的国家之一, 城市缺水问题较为突出。

2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市

某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居 民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量 标准a , 用水量不超过a的部分按平价收费,超过a 的部分按议价收费。

①如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那 么标准a定为多少比较合理呢?
②为了较合理地确定这个标准,你认为需要做 哪些工作?

通过抽样,我们获得了100位居民某年的月平均用水量 (单位:t) ,如下表:

思考:由上表,大家可以得到什么信息?

1.求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 4.3 - 0.2 = 4.1 2.决定组距与组数
组数:将数据分组,当数据在100个以内时,

按数据多少常分5-12组。
组距:指每个小组的两个端点的距离,

极差 4.1 组数= = = 8.2 组距 0.5 3.将数据分组
[0,0.5 ),[0.5,1 ),…,[4,4.5]

4.列频率分布表 100位居民月平均用水量的频率分布表

注意:这里出来了条形图中条形的宽度。频率不仅与条形的高 度有关,而且与它的宽度有关。 为了使选择不同宽度的总体分布相同,我们用另一种图形表 示,即直方图——用面积表示概率。

5.画频率分布直方图
频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0

注意: ① 这里的纵坐标不是频率, 而是频率/组距;
直方图

② 某个区间上的频率用这个 区间的面积表示;
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t

频率 小长方形的面积 = 组距× = 频率 组距 思考:所有小长方形的面积之和等于?

画一组数据的频率分布直方图,可以按以下的 步骤进行:
一、求极差,即数据中最大值与最小值的差 二、决定组距与组数 :组距=极差/组数 三、分组,通常对组内数值所在区间, 取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 四、登记频数,计算频率,列出频率分布表 五、画出频率分布直方图(纵轴表示频率/组距)

频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t

如果当地政府希望85%以上的居民每月的用水量不超出 标准,根据频率分布表和频率分布直方图,你能对制定 月用水量提出建议吗? 你认为3吨这个标准一定能够保证85%以上的居民用水 量不超过标准吗?

探究:
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位 不同,得到的图的形状也会不同。不同的形状给人以不 同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断。分 别以1和0.1为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象。

频率分布折线图
频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t

连接频率直方图中各小长方形上端中点的折线,叫 频率分布折线图

当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那 么频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线 ——总体密度曲线.
频率 组距

总体在区间(a , b)内取值的频率

S
a b

产品 尺寸 (mm)

[例1] 为了解某校高一年级学生的体能情况,抽取部 分学生进行一分钟跳绳测试,将所得数据整理后,画出频率 分布直方图(如下图),图中从左到右各小长方形的面积之比 为2:4:17:15:9:3,第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在110以上(含110)为达标,则该校全体高一年 级学生的达标率是多少?

[分析]

(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积等

于相应各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数 之和等于样本容量,频率之和等于1. (2)达标率是一个百分数,注意要乘以100%.

[解析]

(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据

落在各小组内的频率大小的,因此第二小组的频率为 4 =0.08. 2+4+17+15+9+3 第二小组的频数 又因为第二小组的频率= ,所以样本容 样本容量 第二小组的频数 12 量= = =150. 第二小组的频率 0.08

(2)由频率分布直方图可估计,该校高一年级学生的达标 17+15+9+3 率为 ×100%=88%. 2+4+17+15+9+3

规律总结:(1)频率反映了样本落在某一区间的可能性 大小. (2)频率分布直方图中,用面积表示频率. (3)在频率分布直方图中,所有小长方形的面积之和等于 1.

(2011~2012· 陕西咸阳模拟)下图是容量为100的样本的频 率分布直方图,试根据图形中的数据填空:

(1)样本数据落在[6,10)内的频率是________,频数是 ________; (2)样本数据落在[2,6),[10,14),[14,18]内的频率分别是 ________,________,________.
[答案] (1)0.32 32 (2)0.08 0.36 0.24

广东文 11 题 5 分 11 .为了调查某厂工人生产某种产品的能 力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品 的 数 量 . 产品 数 量 的 分组 区 间 为 ?45,55? , 频率/组距 ?55,65? , ?65,75? ,

?75,85? , ?85,95? ,由此得

0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 45 55 65 75 85 图3 95 产品数量

到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一 天生产该产品数量在 ?55,75? 的 人 数 是 .


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