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平面向量单元检测题三


平面向量单元检测题三 一、选择题 1.已知向量 a ? (?5,6) , b ? (6,5) ,则 a 与 b A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 )A.1 B. 2 (A) C. 2 D.4

?

?

?

?

2、已知向量 a ? (1 n),b

? (?1 n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( , ,

3 在?ABC 中已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB CD = CA ? ?CB ,则?=

1 3

2 1 1 2 (B) (C) - (D) 3 3 3 3


4、已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,则(

??? ??? ??? ? ? ? ????

A. AO ? OD

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD D. 2AO ? OD ,则a=0或b=0 B 若 ,则λ=

????

????

????

5、对于向量,a 、b、c和实数 ,下列命题中真命题是 ( ) A 若 0或a=0 C 若 = ,则a=b或a=-b D 若 ,则b=c

6、设 a, b 是非零向量,若 f ( x) ? ( xa ? b)? a ? xb) 的图象是一条直线,则必有( ( A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b |



7、设 a=(4,3),a 在 b 上的投影为

2 2 5 2 ,b 在 x 轴上的投影为 2,且|b|<1,则 b 为( )A.(2,14) B.(2,) C.(-2, ) 7 7 2


D.(2,8) A. 2a ? ?a ? b

8、若非零向量 a, b 满足 a ? b ? b ,则( B. 2a ? 2a ? b C. 2b ? a ? ?b

D. 2b ? a ? 2b

9、已知向量 OA ? (4,6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于
? 3 2? (A) ? ? , ? ? 7 7? ? 2 4 ? (B) ? ? , ? ? 7 21 ? ?3 2? (C) ? ,? ? ?7 7?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

????

(D) ? ,?

?2 ?7

4 ? ? 21 ?

b 10、若向量 a 与 b 不共线,a ? ? 0 ,且 c = a - ?

a ? a? ? ? b ,则向量 a 与 c 的夹角为( b ? a? ?
)

)A.0 B. C. D.

π 6

π 3

π 2

11.已知平面向量 a= x,1 ,b= , ( ) (-x, x 2) 则向量 a ? b (

A 平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴

D.平行于第二、四象限的角平分线

12、设 A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同, 则 a 与 b 满足的关系式为 ( ) A) a ? 5b ? 3 ( 4

??? ?

??? ?

????

5 (B) a ? 4b ? 3

4 (C) a ? 5b ? 14
? B 60

5 (D) a ? 4b ? 14
? C 120 D

? 13.若向量 a =(1,2) b =(1,-3) , ,则向量 a 与 b 的夹角等于( ) A 45

135?

14 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 2 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( )A. a ? b B. 2 a ? 1 b C. 1 a ? 1 b D. a ? b 4 2 3 3 3 3 2 4 15,已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d ,那么( )
1

A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 ,16.已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意实数 t,恒有| a -t e | ? | a - e |,则( ) A. a ⊥ e B. a ⊥( a - e ) C. e ⊥( a - e ) D.( a + e )⊥( a - e ) 17 已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0 ? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为() ? (A 18.已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么( ) A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 )A. 65 5 B. 65 ) C. 13 5 D. 13

1 1 1 1 (B) C ? (D) 7 7 6 6

19.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为(

20.已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( A、 (?5, ?10) B、 (?4, ?8) C、 (?3, ?6)

?

?

?

?

?

?

D、 (?2, ?4)

二.填空题:1 已知| a |=8,| b |=15,| a + b |=17,则 a 与 b 的夹角 ? 为 2.若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) ,则 a ?

?

?

? ?

?

?

。 .

3.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 o , | a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b = 4.已知向量 a 和 b 的夹角为 1200 , | a |? 1,| b |? 3 ,则 | 5a ? b |?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?



b c a 5.设 O、A、B、C 为平面上四个点, OA = a , OB = b , OC = c ,且 a ? b ? c ? 0 , a ? ? b? ? c ? ? ?1 ,
则 a ? b ? c =_______. 三解答题 1 已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(1)若 a⊥b,求 x 的值.(2)若 a∥b,求|a-b|.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ???? ??? ???? ???? 2,设向量 OA =(3,1) OB =( ? 1 ,2) , ,向量 OC ? OB , BC ∥ OA ,又 OD + OA = OC ,求 OD 。

3,已知 A(2,0),B(0,2),C( cos ? , sin ? ),( 0 ? ? ? ? )。 ??? ???? ? ??? ???? ? ???? ???? (1)若 | OA ? OC | ? 7 (O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC ? BC ,求 t a n ? 的值。
4.已知向量 m ? (cos? ,sin? ) 和 n ?

??

?

?

?? ? 8 2 2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? ,且 m ? n ? , 求 cos ? ? ? ? ? 的值. ? ? 5 ?2 8?

?

2 5 5.已知向量 a =(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),| a -b|= ,(1)求 cos(α -β )的值; 5 (2)若- π π 5 <β <0<α < ,且 sinβ =- ,求 sinα 的值. 2 2 13

1 6,已知向量 a=(sinx,-1),b=( 3cosx,-2),函数 f(x)=(a+b)·a-2.(1)求函数 f(x)的最小正周 π 期 T;(2)将函数 f(x)的图象向左平移 6 上个单位后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)的解析式及其对称中心坐标.
2

平面向量单元检测题三答案 一、选择题 1A 2C 3A 4A 解析: O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,∴ OB ? OC ? 2OD 5C 6A 7 B 设 b=(x,y),因为 b 在 x 轴上投影为 2,所以 b=(2,y) 因为 ab=|a||b|cosθ,又 a 在 b 上的投 。 影为|a|cosθ,所以|a|cosθ=ab/|b|=5√2/2,所以(4*2+3*y)/(4+y^2)=5√2/2, 将式子两边平方最后得到方程 7y^2 - 96y-28=0 因式分解得(7y+2)(y-14)得 y=-2/7 或 14 ∵|b|≤14 ∴y=14 舍去,y=-2/7∴b(2,-2/7) 8 【答案】 C :

??? ??? ? ?

????

? a ? ?b ? a ? b+ b ? a + b ? b ? 2 b , 由

于 a, b 是非零向量,则必有 a + b ? b, 故上式中等号不成立 。 ∴ 2b ? a ? 2b 9D 10 D a*c=a*[a-[(a*a)/(a*b)]b]=a*a-[(a*a)/(a*b)]*(a*b)=0.a 与 c 夹角为 90°11 C 12 解析:选 A.由

??? ??? ???? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同,可得: OA ? OC ? OB ? OC
13 D 14, B DF:FC=1:2,向量 AF=向量 AC+向量 CF=a+2/3 向量 CD=a+1/3(b-a)=2/3a+1/3b, 15 C 16 选 C |a-te|≥|a-e|,两边平方得:t^2-2aet+a^2≥a^2-2ae+1t^2-2aet+2ae-1≥0 该式对任意 t∈R 成立,则 判别式△≤0 即△=(-2ae)^2-4(2ae-1)≤0(ae)^2-2ae+1≤0(ae-1)^2≤0 所以只能 ae-1=0,得 ae=1 所以 e(a-e)=ea-e^2=1-1=0 所以, 垂直(a-e) 17 A 18 e C c//d => c=md (m 为设的系数) => ka+b=ma-mb=> k=m m=-1=> k=-1 19 A 20 B 二.填空题:1 90° 2,向量 a+b 平行于 x 轴,说明向量 a+b 的纵坐标为 0. 又因为|a+b|=1,所以向量 a+b 的横坐标为±1. 所以向量 a+b 的坐标为(±1,0)。 设向量 a 的坐标为(x,y), 因为 b(2,-1) 所以 x+2=±1,y-1=0, 所以 x=-3 或-1,y=1.∴向量 a 的坐标为(-3,1)或(-1,1). 3 题 答案 3 , 5 题答案
三,解答题 1,[解析]

4题

7

a+b+c=0,a*b=b*c=c*a=-1,所以 a*a=-a*(b+c)=2,|a|=√2 同理|b|=√2,|c|=√2 所以,|a|+|b|+|c|=3√2

(1)若 a⊥b,则 a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,

整理得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3.

(2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0,则 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2, 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),∴|a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|= ?-2?2+02=2,当 x=-2 时, a=(1,-2),b=(-1,2),∴|a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|= 22+?-4?2=2 5.

2 解: 设 OC =(x,y) ,∵ OC ? OB ,∴ OC ? OB ? 0 ,∴2y – x =0,① 又∵ BC ∥ OA , BC =(x+1,y-2) ,∴3( y-2) – (x+1)=0,即:3y – x-7=0,② 由①、②解得,x=14,y=7,∴ OC =(14,7) ,则 OD = OC - OA =(11,6) 。

3

,3,解:⑴∵ OA ? OC ? (2 ? cos?, sin ? ) , | OA ? OC |? 7 ,∴ (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7 ,∴ cos ? ? 又 ? ? (0, ? ) ,∴ ? ?

?
3

,即 ?AOC ?

?
3

,又 ?AOB ?

?
2

,∴ OB 与 OC 的夹角为

? . 6

1 . 2

⑵ AC ? (cos? ? 2, sin ? ) , BC ? (cos? , sin ? ? 2) , 由 AC ? BC , ∴ AC ? BC ? 0 ,

可 得

c o? ? s i ? ? s n

1 1 3 ? 2 , ① ∴ (cos ? ? sin ? ) ? ,∴ 2 sin ? cos ? ? ? ,∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? ( , ? ) , 2 4 4 2
2

又由 (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?

7 7 , cos ? ? sin ? <0,∴ cos ? ? sin ? =- , 4 2



由①、②得 cos? ? 4:-4/5

4? 7 1? 7 1? 7 , sin ? ? ,从而 tan? ? ? . 4 4 3

2 5 4 2 2 5(1)∵|a-b|= ,∴a -2a·b+b = . 又 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), 5 5 4 2- 5 3 2 2 ∴a =b =1,a·b=cosα cosβ +sinα sinβ =cos(α -β ).∴cos(α -β )= = . 2 5 π π 3 4 (2)∵- <β <0<α < ,∴0<α -β <π .由(1)得 cos(α -β )= ,∴sin(α -β )= . 2 2 5 5 5 12 又 sinβ =- ,∴cosβ = .∴sinα =sin[(α -β )+β ]=sin(α -β )cosβ +cos(α -β )sinβ 13 13 4 12 3 5 33 = × + ×(- )= . 5 13 5 13 65

6 [解析] =

1 (1)f(x)=(a+b)·a-2=a2+a·b-2=sin2x+1+ 3sinxcosx+2-2

1-cos2x π 2π 3 1 3 1 + 2 sin2x-2= 2 sin2x-2cos2x=sin(2x- 6 ),∴周期 T= 2 =π. 2 π π π (2)向左平移 6 个单位得,y=sin[2(x+ 6 )- 6 ] π 2 π =sin(2x+ 6 ),横坐标伸长为原来的 3 倍得,g(x)=sin(3x+ 6 ),

2 π 3kπ π 令3x+6=kπ 得对称中心为( 2 -4,0),k∈Z.

4


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