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1.3.1 《单调性与最大(小)值》导学案


1.3.1 《单调性与最大(小)值》导学案 姓名 班级 学号
【学习目标】 1、 理解函数的单调性,会用函数图象理解和研究函数的单调性,并用定义法证明函数的单 调性。 2、 理解函数的最值及几何意义,会运用函数单调性、图象理解和研究函数的最值。 【重点】证明函数的单调性以及求函数的最值。 【难点】证明函数的单调性以及求函数的最值。

预 习 案
一、预习自学 1、如果对于定义域 f ( x) 的定义域为 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 : (1)当 x1 ? x2时, 都有 (2)当 x1 ? x2时, 都有 ,那么函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数; ,那么函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数。

2、设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: 最大值 对于任意 x ? I ,都有 存在 x0 ? I ,使得 你能给出函数最小值的定义?

3、阅读课本,尝试用定义法证明函数 f ( x) ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数。

4、函数 y ? ?2 x ? 3 在实数范围内 值是 ,最小值是
2

(填有或没有)最值;在区间 ?? 2,2? 上的最大 。 值是 。

5、函数 y ? x ? 2 x ? 4 在实数范围内有最

1

探 究 案
探究点一:函数单调性的证明: 1、 反比例函数 y ? 明你的结论。

1 的定义域 I 是什么?它在定义域 I 上的单调性是怎样的?用定义法证 x

2、证明函数 y ? 2 x 2 ? 1 在 (0,??) 上是减函数。

小结:用定义法证明函数单调性的步骤: 探究点二:求函数的最值: 1、已知函数 f ( x) ?

3 ( x ? ?2,6?) ,求函数的最大值和最小值。 (提示:求函数的最值一 x ?1

般先判断函数的单调性)

2、 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1,求函数 f ( x)当x ? ?? 1,2? 时的最大值与最小值。
2

结论:求函数的最值一般利用 探究点三:函数的值域:
2

帮助解决。

1 、已知函数 f ( x) ? x ? 2 ,其中 x ? ?? 1,2? ,这个函数的最大值是 是 ,值域是
2

,最小值

。 ) D. ?? 4,5?

2、已知函数 f ( x) ? x ? 4 x, x ? ??1,5? ,则此函数的值域是( A. ?? 4,??? B. ?? 3,5? C. ?? 4,5?

拓展提升:证明函数 f ( x) ? x ?

2 在 ( 2 ,??) 上是增函数。 x

2

1.3.2 函数的奇偶性与周期性
导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会 做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题. 自主梳理 1.函数奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有______________,则称 f(x)为奇函数;如果 对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有____________,则称 f(x)为偶函数. 2.奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=____; f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)-f(-x)=____. (2)f(x) 是偶函数 ? f(x) 的图象关于 ____ 轴对称; f(x) 是奇函数 ? f(x) 的图象关于 _____ ___ 对称. (3) 奇 函数 在对 称的 单调区 间内 有相 同的 单调 性; 偶函 数在 对称 的单 调区 间内 有 ________的单调性. 3.函数的周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= ________,则称 f(x)为________函数,其中 T 称作 f(x)的周期.若 T 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x)的________________. T T (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ )=f(x- ). 2 2 ②如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x+kT)= f(x). 1 ③若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f?x? 1 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是以______为一个周期的周期函数. f?x? 自我检测 1. 已知函数 f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数, 则 m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区[-7,-3]上是 ( ) A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 1 3.函数 y=x- 的图象 ( ) x A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 ?x+1??x+a? 4.设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x 探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=(x+1) 1-x 1 1 ;(2)f(x)=x( x + ); 1+x 2 -1 2

变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性.
3

(1)f(x)=x2-x3; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 例 2 已知定义 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x2 ? 2 x( x ? 0) 若 f (3 ? a2 ) ? f (2a) ,则实 数 a 的取值范围是 。

探究点三 函数性质的综合应用 例 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上是减函数,则 f(x)( ) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

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