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广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学(理)试题


2015 届高三年级第一次五校联考理科数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的) 1. 已知 a,b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a +bi ? =(
2



A. 5 ? 4 i 2. 设集合 A ? x ? R A. ? 3. 函数 f ? x ? ? ln x ? A. ? 0, 1?

B. 5 ? 4 i

C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4 i )

?

x ? 1 ? 2? , B ? ? y ? R y ? 2 x , x ? R? ,则 A B =(
B. ?0, 3? C. ? 0, 3? ) D. ?3, 4?
[来源:学§科§网]

D. ? ?1 , 3?

2 的零点所在的区间为( x
B. ?1 , 2?

C. ? 2, 3?

4. 已知 m ? ? a, ?2 ? ,n ? ?1,1 ? a ? ,则 “a=2”是“m / / n”的(



A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5. 一个多面体的三视图如右图所示,则该多面体的体积为( ) A.

23 3

B.

22 3

C. 6

D. 7

6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜 寻空投食物的任务. 已知: ① 食物投掷地点有远、 近两处; ② 由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营 陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③ 所有参与搜寻任务的小孩 须被均分成两组,一组去远处,一组去近处。则不同的搜寻方案有( A.40 种 B.70 种 C.80 种
*

7. 已 知 数 列 ?an ? 的 首 项 为 a1 ? 1 , 且 满 足 对 任 意 的 n ? N , 都 有 an?1 ? an ? 2 ,
n

) (第 5 题图) D.100 种

an?2 ? an ? 3? 2n 成立,则 a2014 ? (
A. 2
2014

) C. 2
2015

?1
3

B. 2

2014

+1

?1

D. 2

2015

?1

8. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? x ? sin x ,当 ? ? ? 0, ? 时,恒有

f ? cos ? ? 2m sin ? ? ? f ? ? 2m ? 2? ? 0 成立,则实数 m 的取值 范围(
2

? ?

??
2?



A. ? ??, ?

? ?

1? 2?

B. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

C. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

D. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

二、填空题(本大题共 7 小题,其中第 9~第 13 题为必做题,第 14~第 15 题为选做题,考 生从中任选一题作答,两题均选按第 14 题给分,每小题 5 分,总分 30 分)
[来源:学§科§网]

1

9. 右图是一个算法的程序框图,若输出的结果是 31,则判断框中 的正整数 ...M 的值是___________.
n * 10. 若二项式 ( ? 2 x ) n ? N 的展开式中的第 5 项是常数项,

开始 n=1,S=1 否

1 x

?

?

则 n=___________.

?x ? 2 ? 11. 若 实 数 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则 目 标 函 数 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

n≤M 是 S=S+ 2 n n=n + 1

输出 S 结束

z ? 2 x ? y 的最大值为___________.
12. 已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的 平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是 ___________. ① 若 m∥ β,n∥ β,m、n ? α,则 α∥ β. ② 若 α⊥ γ,β⊥ γ,α∩β=m,n ? γ ,则 m⊥ n. ③ 若 m⊥ α,α⊥ β,m∥ n,则 n∥ β. ④ 若 n∥ α,n∥ β,α∩β=m,那么 m∥ n.
2

(第 9 题图)

13. 若不等式 x ? x ?1 ? a 的解集是区间 ? ?3, 3? 的子集,则实数 a 的范围为__________.
? 14.(参数方程与极坐标)已知在直角坐标系中曲线 C1 的参数方程为 ? ? 1 t ( t 为参数且 ? ? y ? t2 ? 1 ? t2 ? x?t?

t ? 0) ,在以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C2 的极坐标方程
为? ?

?
4

? ? ? R ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为__________.

15. (几何证明选讲) 如图,PT 切圆 O 于点 T , PA 交圆 O 于 A、B 两点, 且与直径 CT 交于点 D ,若 CD ? 2,AD ? 3,BD ? 6 , 则 PB ? ___________. (第 15 题图)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)
[来源:Z_xx_k.Com]

已知 f ? x ? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ?

? 3? ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小正周期为 T ? ? . ? 2 ?

(1)求 f ?

? 2? ? 3

? ? 的值; ?

2

(2) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c , 若有 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C , 则求角 B 的大小以及 f ? A? 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球,其中白球 2 个,黑球 4 个. 现从中随机 取球,每次只取一球. (1)若每次取球后都放回 袋中,求事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率; .. (2)若每次取球后都不 放回 袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏, . .. 记游戏结束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望

18. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 侧棱与底面垂直,且所有棱长都为 4,D 为 CC1 中点. (1)求证: AB1 ? 平面A1 BD ; (2)求二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值.

(第 18 题图) 19. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 =

3 1 , an =2 ? ? n ? 2 ? , Sn 是 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 且 有 2 an ?1

Sn n ?1 =1 ? bn . 2 n
(1)证明:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; a ? 1 ? n ?

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 cn ?

an ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 1. bn

3

20. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , F1,F2 分别是它的左、右焦点, A ? ?1,0? 是 a 2 b2

其左顶点,且双曲线的离心率为 e ? 2 . 设过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于

P、Q 两点,其中点 P 位于第一象限内.
(1)求双曲线的方程; (2)若直线 AP、AQ 分别与直线 x ?

1 交于 M 、N 两点,求证: MF2 ? NF2 ; 2

(3)是否存在常数 ? ,使得 ?PF2 A ? ??PAF2 恒成立? 若存在,求出 ? 的值,若不存在,请说明理由.

(第 20 题图) 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ? x ? a ? 0? .
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 是函数 f ? x ? 图像上的任意两点( x1 ? x2 ) ,记 直线 AB 的斜率为 k ,求证: f ' ?

? x1 ? 2 x2 ? ??k. 3 ? ?

4

2015 届高三年级第一次五校联考理科数学试卷
参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D
[来源:Z+xx+k.Com]

2 C 10、 6 14、

3 C

4 B 11、 15、 8 15

5 A

6 A 12、 ② ④

7 A

8 D

二、填空题: 9、 4 13、

5? ? ??,

(2,2)

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ?

? 3? ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小正周 期为 T ? ? . ? 2 ?

(1)求 f ?

? 2? ? 3

? ? 的值; ?

(2) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c , 若有 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C , 则求角 B 的大小以及 f ? A? 的取值范围. 解: (1) f ? x ? ? 3sin ?x cos ?x ? cos2 ?x ……1 分

?

3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

……2 分

?? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?
y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ?
,即:

……3 分

2? ? ? ? ? ?1 2?

……4 分

?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
? 2? ?f? ? 3
(2)

……5 分

7? 1 ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? sin ? ? ?1 ? ? sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? ?

……6 分

? 2a ? c ? cos B ? b cos C
……7 分

∴ 由正弦定理可得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin ?? ? A? ? sin A ……8 分
5

sin A ? 0

? cos B ?

1 2

B ? ? 0,? ?

?B ?

?
3

……9 分

2 A?C ?? ? B ? ? 3
?2A ?

? 2 ? ? A ? ? 0, ? ? ? 3 ?

……10 分

?

? ? 7 ? ?? ? , ? ? 6 ? 6 6 ?

?? ? 1 ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ? ?

……11 分

? ? 1 ? 1? ? ? f ? A? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? 6? 2 ? 2? ?

……12 分

17. (本小题满分 12 分) 已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球,其中白球 2 个,黑球 4 个. 现从中随机 取球,每次只取一球. (1)若每次取球后都放回 袋中,求事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率; .. (2)若每次取球后都不 放回 袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏, . .. 记游戏结束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望. 解: (1)记事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”( i ? N * ) ,事件 B 表示“连续取球四次,至少取得 两次白球”,则: B= A 1A 2A 3A 4 +A 1A 2A 3A 4 +A 1A 2A 3A 4 +A 1A 2A 3A 4 +A 1A 2A 3A 4 . ……2 分

P B ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4

? ?

?

? ?
3

? ?

? ?

? ?

?

16 ?4? 2 ? 4? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? 27 ?6? 6 ?6?
? P ? B? ? 1? P B ?

4

……4 分 ……5 分

? ?

11 27

或者:记随机变量 ? 表示连续取球四次,取得白球的次数. 易知 ? ~B ? 4, ?
0 4 1 3

? ?

1? 3?

……2 分

11 ?1? ? 2? 1?1? ? 2? 则 P ?? ? 2 ? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ? 1 ? C ? ? ? ? ? C4 ……5 分 ? ?? ? ? ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 27
0 4

(2)易知:随机变量 X 的取值分别为 2,3,4,5
2 C2 1 ? P ? X ? 2? ? 2 ? , C6 15 1 2 C2 C4 1 1 ? ? , 3 C6 3 5 1 1 C2 C 1 2 P ? X ? 3? ? 2 4 ? ? C6 4 15

……6 分

P ? X ? 4? ?

P ? X ? 5? ? 1 ?

1 2 1 3 ? ? ? 15 15 5 5

……10 分

∴ 随机变量 X 的分布列为:

6

X P

2

3

4

5

1 15

2 15

1 5

2 5
……11 分 ……12 分

∴ 随机变量 X 的期望为: EX ? 2 ? 18. (本小题满分 14 分)

1 2 1 2 10 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 15 15 5 5 3

如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 侧棱与底面垂直,且所有棱长都为 4,D 为 CC1 中点. (1)证明: AB1 ? 平面A1 BD ; (2)求二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值. 解法一: (向量法) (1)取 BC 中点 O ,连结 AO .取 B1C1 中点 O1 ,

AB ? AC

? AO ? BC

OO1 ? 面ABC

?OO1 ? AO

OO1

BC ? O

?AO ? 面BCC1B1

故:以 O 为原点,以 OB, OO1 , OA 分别为 ……2 分 ……3 分 ……4 分 ……6 分 ……7 分

x, y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz .
则: B?2,0,0?, D?? 2,2,0?, A1 0,4,2 3 , A 0,0,2 3 , B1 ?2,4,0?

?

? ?

?

? AB1 ? 2,4,?2 3 , BD ? ?? 4,2,0?, BA 1 ? ? 2,4,2 3

?

?

?

?

? AB1 ? BD ? 0, AB1 ? BA 1 ? 0 ,? AB 1 ? BD, AB 1 ? BA 1.
BD BA1 ? B

? AB1 ? 平面 A1BD .

AA1 ? ? 0, 4, 0 ? . (2)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ?x, y, z ? . AD ? ?2, 2, ?2 3 ,

?

?

? n ? AD, n ? AA1 ,

?? 2 x ? 2 y ? 2 3 z ? 0 ?? ?4 y ? 0

令 z ? 1 得 n ? ? 3,0,1 为平面 A1 AD 的一个法向量. 由(1)可知: AB1 ? 2,4,?2 3 为平面 A 1 BD 的法向量.

?

?

……10 分 ……11 分 ……13 分

?

?

? cos ? n, AB1 ??

n ? AB1 n ? AB1

=?

6 . 4
? 二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值为为

二面角 A ? A1 D ? B 是锐角

6 .……14 分 4

7

解法二: (传统几何法) (1)取 BC 中点 O,连结 AO 和 B1O ,

AB ? AC

? AO ? BC

CC1 ? 面ABC

?CC1 ? AO
……2 分 ……3 分

CC1

BC ? C

? AO ? 面BCC1B1

? AO ? BD
在正方形 B1 BCC1 中, O,D 分别为 BC,CC1 的中点, 由正方形性质知: B1O ? BD , ……4 分

AO B1O ? O
………5 分

?BD ? 面AOB1

? AB1 ? BD

又在正方形 ABB1 A 1⊥A 1B , 1 中, AB

………6 分

[来源:学科网]

A1B BD ? B ? AB1 ? 平面 A1BD .

……7 分

(2)设 AB1 与 A1B 交于点 G ,在平面 A 1BD 中,作 GF ? A1 D 于 F ,连结 AF , 由(1)得 AB1 ? 平面A1 BD .

? AB1 ? A1D

AB1 ? GF ? G

? A1D ? 面AGF

? AF ? A1 D
………10 分

? ?AFG 为二面角 A ? A1 D ? B 的平面角.
在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ?

8 5 , 5

… ……12 分

又? AG ?

1 AB1 ? 2 2 , 2

? GF ? AF 2 ? AG 2 ?

2 30 5

………13 分

? cos ?AFG ?

GF 6 . ? AF 4

所以二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值为

6 . ……14 分 4

19. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 =

3 1 , an =2 ? ? n ? 2 ? , Sn 是 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 且 有 2 an ?1

S n =2 ?

2 ? n ? 1? bn . n
8

(1)证明:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ? an ? 1?

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 cn ?

an ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 1. bn

(1)证明:

an =

2an?1 ? 1 ? n ? 2? an?1

? an ? 1 ?

2an?1 ? 1 a ?1 ? 1 ? n?1 an?1 an?1

……1 分

?

? a ?1? ? 1 ? 1 ? 1 n ? 2 a 1 ? n?1 ? n?1 ? ? an ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1
1 1 ? ? 1? n ? 2 ? an ? 1 an?1 ? 1
……3 分

即: ?

∴ 数列 ?

? 1 ? 1 ? 2 为首项,1 为公差的等差数列. ? 是以 a1 ? 1 ? an ? 1?
? ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 4 ? bn ? ? ? 2 ? bn?1 ? n n ?1 ? ? ?

……4 分

(2)解:当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? ? 2 ?

……5 分

bn ?

b b 2n ? 2 2n ? 4 2 2n bn ? bn ?1 ? n ? bn ?1 , 即: n ? ? n ? 2? ……6 分 n n ?1 n n ?1 bn?1 n ? 1
……8 分

?

b b b2 b3 b4 2? 2 2?3 2? 4 2? n ? ? ? ... ? n ? ? ? ? ... ? ? n ? n ? 2n?1 b1 b2 b3 bn?1 1 2 3 n ?1 b1
∴bn ? n ? 2n ……9 分

当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 2 (3)由(1)知:

1 1 n +2 ? 2 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? n ?1 n ?1 an ? 1

……10 分

? cn ?

an n?2 1 1 ? ? ? n n ?1 bn n ? n ? 1? ? 2 n ? 2 ? n ? 1? 2n

……12 分

n ? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ?Tn ? ? ci ? ?1 ? ? ? ? ... ? ? ? ? 1 ? ?1 ? 1? ? 1 2 ? n ? 1 n n ? n?2 ? n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3? 2 ? i ?1 ? ?

...14 分 20. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , F1,F2 分别是它的左、右焦点, A ? ?1,0? 是 a 2 b2
9

其左顶点, 且双曲线的离心率为 e ? 2 . 过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 P、Q 两点,设点 P 位于第一象限内. (1)求双曲线的方程; (2)若直线 AP、AQ 分别与直线 x ?

1 交于 M 、 N 两点,求证: MF2 ? NF2 ; 2

(3)是否存在常数 ? ,使得 ?PF2 A ? ??PAF2 恒成立?若存在,求出 ? 的值,若不存在, 请说明理由 . 解: (1)由题可知: a ? 1 ……1 分 ……2 分

e?
2

c ?2 a
2 2

?c ? 2

a ?b ? c

?b ? 3

y2 ?1 ∴ 双曲线 C 的方程为: x ? 3
2

……3 分

(2)设直线 l 的方程为: x ? ty ? 2 ,另设: P ? x1 , y1 ?、Q ? x2 , y2 ?

? 2 y2 ?1 ?x ? ? 3t 2 ? 1 y 2 ? 12ty ? 9 ? 0 3 ? ? x ? ty ? 2 ?

?

?

……4 分

? y1 ? y2 ?

?12t 9 ,y1 y2 ? 2 2 3t ? 1 3t ? 1

……5 分

又直线 AP 的方程为 y ?

?1 3 y1 ? 1 y1 , ? x ? 1? ,代入 x ? 2 ? M ? ? 2 2 ? x ? 1? ? ? x1 ? 1 1 ? ? ?1 3 y2 ? 1 y2 , ? x ? 1? ,代入 x ? 2 ? N ? ? 2 2 ? x ? 1? ? ? x2 ? 1 2 ? ?

……6 分

同理,直线 AQ 的方程为 y ?

……7 分

?3 ?3 3 y1 ? 3 y2 ? ? MF2 ? ? ,, NF2 ? ? ,? ? ?2 ?2 2 ? x1 ? 1? ? 2 ? x2 ? 1? ? ? ? ? ?

? MF2 ? NF2 ?

9 y1 y2 9 y1 y2 9 y1 y2 9 9 9 ? ? ? ? ? 2 4 4 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? 4 4 ? ty1 ? 3?? ty2 ? 3? 4 4 ? ? t y1 y2 ? 3t ? y1 ? y2 ? ? 9? ?
9 9 9 ? ? ? ?0 9 ?12t 4 ? ? 4 4 4 ? t 2 ? 2 ? 3t ? 2 ? 9 ? 3t ? 1 3t ? 1 ? ?
2

?

9?

9 3t ? 1

? MF2 ? NF2

……9 分

10

(3)当直线 l 的方程为 x ? 2 时,解得 P ? 2, 3? . 易知此时 ?AF2 P 为等腰直角三角形,其 中 ?AF2 P ?

?
2

,?PAF2 ?

?
4

,即 ?AF2 P ? 2?PAF2 ,也即: ? =2 .

……10 分

下证: ?AF2 P ? 2?PAF2 对直线 l 存在斜率的情形也成立.

tan 2?PAF2 ?

2 tan ?PAF2 2k PA ? ? 2 1 ? tan ?PAF2 1 ? k 2 PA

2?

y1 x1 ? 1
2

? y ? 1? ? 1 ? ? x1 ? 1 ?

?

2 y1 ? x1 ? 1?

? x1 ? 1?

2

? y12

……11 分

x12 ?

y12 ? 1 ? y12 ? 3 x12 ? 1 3

?

?
?
? ?2 ? x1 ? 1?? x1 ? 2 ? 2 y1 ? x1 ? 1? ?? y1 x1 ? 2
……12 分

? tan 2?PAF2 ?

2 y1 ? x1 ? 1?

? x1 ? 1?

2

? 3 x ?1
2 1

?

? tan ?AF2 P ? ?kPF2 ? ?
? ?

y1 ? tan 2?PAF2 x1 ? 2

……13 分

∴ 结合正切函数在 ? 0,

? ? ??

? , ? ? 上的图像可知, ?AF2 P ? 2?PAF2 ? ? 2? ?2 ?

……14 分

21. 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ? x ? a ? 0? .
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 是函数 f ? x ? 图像上的任意两点( x1 ? x2 ) ,记 直线 AB 的斜率为 k ,求证: f ' ?

? x1 ? 2 x2 ? ??k. ? 3 ?
……1 分

a 2x2 ? x ? a (1)解: f ? x ? ? 2 x ? ? 1 ? ? x ? 0? x x
'
2 (i)当 a ? ? 时, 2 x ? x ? a ? 0 恒成立,即 f ' ? x ? ? 0 恒成立,

1 8

故函数 f ? x ? 的单增区间为 ? 0, +? ? ,无单减区间. (ii)当 ?

……2 分

1 ? a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ? 2x2 ? x ? a ? 0 , 8

解得: x ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 或x ? 4 4
11

∵ x ? 0 ,∴函数 f ? x ? 的单增区间为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 8a ? ? 1 ? 1 ? 8 a ? ,? , + ? ? ? ? ? ? ?, 4 4 ? ? ? ?
……4 分

单减区间为 ?

? 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? , ? ? ?. 4 4 ? ?

' (iii)当 a ? 0 时,由 f ? x ? ? 0 解得: x ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a . 或x ? 4 4

∵ x ? 0 ,而此时

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a , +? ? ? 0 ,∴函数 f ? x ? 的单增区间为 ? ? ?, 4 4 ? ?
……6 分

单减区间为 ? 0, 综上所述:

? 1 ? 1 ? 8a ? ? ? ?. 4 ? ?

(i)当 a ? ? 时, f ? x ? 的单增区间为 ? 0, +? ? ,无单减区间. (ii)当 ?

1 8

? 1 ? 1 ? 8a ? ? 1 ? 1 ? 8 a ? 1 ? a ? 0 时, f ? x ? 的单增区间为 ? 0, , +? ? ,? ? ? ? ? ?, 8 4 4 ? ? ? ?
单减区间为 ?

? 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? , ? ? ?. 4 4 ? ?

(iii)当 a ? 0 时, f ? x ? 的单增区间为 ?

? 1 ? 1 ? 8a ? ? 1 ? 1 ? 8a ? , + ? ,单减区间为 ? 0, ? ? ? ? ? ?. 4 4 ? ? ? ?
……7 分

(2)证明:

f ' ? x ? ? 2x ?

a ?1 x
2

3a ? x +2 x2 ? 2 ? x1 +2 x2 ? ? f'? 1 ? ?1 ?? 3 x1 +2 x2 ? 3 ?
a ln

x1 y ? y2 ? x ? x2 ? ? a ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? x2 由题, k ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ?1 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
2 1

x1 2 ? x1 +2 x2 ? x2 3a ' ? x +2 x2 ? ? ? x1 +x2 ? ? ? 则: f ? 1 ??k ? 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 ? 3 ? a ln x1 x ?x x2 3a ? 2 1? ? 3 x1 +2 x2 x1 ? x2 a ln

……9 分

12

x1 x2 x ? x1 3a ? x ? 2 x2 ? ? 0 ,故欲证 f ' ? 1 注意到 2 . ……10 分 ? ? k ,只须证明: ? 3 x1 ? x2 x1 +2 x2 ? 3 ? a ln

?x ? x1 3 ? 1 ? 1? x x2 x 3 ? x1 ? x2 ? x 3 因为 a ? 0 ,故即证: ? ? ln 1 ? ? ln 1 ? ? 2 ? x1 x1 ? x2 x1 +2 x2 x2 x1 +2 x2 x2 +2 x2 ln
……11 分 令

3 ? t ? 1? x1 ? t ? ? 0,1? , g ? t ? ? ln t ? t +2 x2
'

……12 分

则: g ? t ? ? ?

1 t

9

? t +2 ?

2

?

? t ? 1?? t ? 4 ? ? 0 2 t ? t +2 ?

故 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递增.

所以: g ? t ? ? g ?1? ? 0

……13 分

?x ? 3 ? 1 ? 1? 3 ? t ? 1? x ? x2 ? 所以: f ' ? x1 +2 x2 ? ? k . 即: ln t ? ,即: ln 1 ? ? ? x1 t +2 x2 ? 3 ? +2 x2

……14 分

13


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