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2009高考圆锥曲线解析题


一.圆锥曲线选填题练习 1.(2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切, 2 a b
A. 3 B.2 C. 5 D. 6

则该双曲线的离心率等于(

)

2. (2009 全国卷Ⅰ理) 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l , A ? l , 点 线段 AF 2

交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | = A.

??? ?

??? ?

???? ?

(

) D. 3

2

B. 2

C. 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直 a 2 b2 ?? ? ? ?? ? ? 1 C , 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C . A ? B 若 B 则双曲线的离心率是 ( ) 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 2 2 x y 4.(2009 浙江文)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭 a b ??? ? ??? ? 圆上,且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )
3.(2009 浙江理)过双曲线 A.

3 2

B.

2 2
2

C.
2

1 3

D.

1 2

5.(2009 陕西卷文)“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

7.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

). D. y ? 8x
2

B. y ? ? 8x
2

C. y ? 4 x
2

8.(2009 全国卷Ⅱ文)双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切, 6 3
B.2 C.3 D.6

则 r= (

)

A. 3

13. 2009 江西卷文) F 和 F2 为双曲线 ( 设 1

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , a 2 b2


P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(

1

14.(2009 江西卷理)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 a 2 b2


P , F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为(
16.(2009 湖北卷理)已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 2 2 4 b
)

y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是(
A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

? ?

1?

? ? , ?? ? ? ? ?2

?1

?

? ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

17.(2009 四川卷文、理)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 , 2 b2
)

其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · 2 =( 1 PF A. -12 B. -2 C. 0 D. 4

18.(2009 全国卷Ⅱ理)已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y 2 ? 8x 相交于 A、B 两 点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? ( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

x2 y 2 19.(2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率 a b
为 3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为( A. ) D.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

9 5
2

21. (2009 四川卷理)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一 动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A.2 B.3 C.

11 5

D.

37 16

22. 设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)
2

5 ?1 2

23. 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|=( )

24. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a 2 b2

w_w_w.k*s 5* u.c o* m

点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是( (A) ? 0, ?
? ? 2? ? 2 ?

(B) ? 0, ? ? 2?

? 1?

(C) ? 2 ?1,1? ?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

二.圆锥曲线解答题练习 1.点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是抛物线 c: x2 ? 2 y 上不同的两点,过 A,B 分别作抛物线 c 的切线,两条切线交于点 P( x0 , y0 ) 。 (1)求证: x0 是 x1 , x2 的等差中项; (2)若直线 AB 过定点 M(0,1) ,求证:原点 O 是 ?PAB 的垂心; (3)在(2)的条件下,求 ?PAB 的重心 G 的轨迹方程。 2.已知椭圆两焦点 F 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为 1

2 , P 是椭圆在第一象 2

限弧上一点,且 PF ? PF2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭 1 圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; 3. (2009 山东理)设椭圆 E:

???? ???? ?

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O a 2 b2

为坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
答案:

4 x2 y 2 ? ? 1 ; | AB |? [ 6, 2 3] 3 8 4

4. (2009 四川理) 已知椭圆 右准线方程为 x ? 2 。

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率 e ? , 2 a b 2

(I)求椭圆的标准方程;

3

(II) 过点 F 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点, F2 M ? F2 N ? 且 1

????? ???? ?

2 26 , 求直线 l 的方程。 3

答案:

? k ? ?1. x2 ? y2 ? 1 ; ? 所求直线l的方程为y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1 2

5. (2009 辽宁理) 如图, 已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、

B 、 C 、 D 四个点。
(I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的 交点 P 坐标答案: r ? (

15 , 4) . 2
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 的直线 2 a b 3

6.(2009 全国 2 理) 已知椭圆 C :

l 与 C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(I)求 a , b 的值;

2 2

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 答案: C :

??? ?

??? ??? ? ?

x2 y 2 2 3 2 2 ? ? 1 ;当 m ? 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 3 2 2 2 2 2

当m ? ?

2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2
x2 y 2 ? ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a 2 b2

7. (2009 四川文)设椭圆

e?

2 ,点 F2 到右准线为 l 的距离为 2 2

(Ⅰ)求 a , b 的值; c ? 2, a ? 2 b ?

2
? ?

( Ⅱ ) 设 M , N 是 l 上 的 两 个 动 点 , F1M ? F2 N ? 0 。 证 明 : 当 MN 取 最 小 值 时 ,

F1F2 ? F2 M ? F2 N ? 0 .

?

?

?

?

4


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