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2016年秋季新苏教版选修1-1:第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值课件


第三章 § 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 最大值与最小值 学习 目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b] 上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在 端点 处或 极值点 处 取得. 知识点二 求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 . (2)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一 个是最大值 ,最小的一个是 最小值 . 答案 知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言. (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点. (2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有). (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象. 显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值, f(x2),f(x4),f(x6)为极小值. 最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得, 最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得. 返回 题型探究 重点突破 题型一 求函数在闭区间上的最值 例1 求下列各函数的最值: (1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4]; 解 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2). 令f′(x)=0,得x=0或x=2. -2 -37 (-2,0) 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表 x 0 (0,2) 2 (2,4) 4 35 f′(x) f(x) + ↗ 0 极大值3 - ↘ 0 极小值-5 + ↗ ∴当x=4时,f(x)取最大值35. 当x=-2时,f(x)取最小值-37. 即f(x)的最大值为35,最小值为-37. 解析答案 (2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]. 解 f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2) =3(x-1)2+3, ∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0, ∴f′(x)在[-1,1]上为增函数. 故x=-1时,f(x)最小值=-12; x=1时,f(x)最大值=2. 即f(x)的最小值为-12,最大值为2. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 求下列函数的最值: 1 (1)f(x)=2x+sin x,x∈[0,2π]; 1 2π 4π 解 f′(x)=2+cos x,x∈[0,2π] . 令 f′(x)=0,得 x= 3 或 x= 3 . 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 0 ? 2π? ? ? 0 , ? 3? ? ? 2π 3 0 ?2π 4π? ? ? , ? 3? ?3 ? 4π 3 0 ?4π ? ? ? , 2π ? ? ?3 ? 2π + 0 单调递增↗ - + π 3 2π 3 单调递减↘ 单调递增↗ π + - 3 2 3 2 所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0; 当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π

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