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创新设计江苏专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件理


第1讲 导数的概念及运算

考试要求

1.导数的概念及其实际背景,A 级要求;2.导数的几何意

1 义,B 级要求;3.根据导数定义求函数 y=c,y=x,y= ,y=x2, x y=x3,y= x的导数,A 级要求;4.利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导数,B 级要求;5.求简单复合 函数(仅限于形如 y=f(ax+b))的导数,B 级要求.

知 识 梳 理 1.导数的概念 设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,且 x0∈(a,b),若 Δx 无限 Δy f?x0+Δx?-f?x0? 趋近于 0 时, 比值Δx= 无限趋近于一个常数 A, 则 Δx 称 f(x)在 x=x0 处可导,并称该常数 A 为函数 f(x)在 x=x0 处的导 数,记作 f′(x0). 若函数 y=f(x)在区间(a, b)内任意一点都可导, 则 f(x)在各点的导 数也随着 x 的变化而变化,因而是自变量 x 的函数,该函数称作 f(x)的导函数,记作 f′(x) .

2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x) 在点P(x0,f(x0))处的切线的 斜率 ,过点P的切线方程为y -y0=f′(x0)(x-x0).

3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数

f(x)=C(C为常数) f′(x)= 0
f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1

f(x)=sin x
f(x)=cos x f(x)=ex

f′(x)= cos x
f′(x)=-sin x f′(x)= ex

f(x)=ax(a>0) f(x)=ln x f(x)=logax (a>0,且 a≠1)

f′(x)=axln a 1 f′(x)= x 1 f′(x)= xln a

4.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有: (1)[f(x)± g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; ; (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
? f?x? ? ? (3)? ?g?x??′= ? ?

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). 2 [g?x?]

5.复合函数求导的运算法则

一般地,设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数y=
f(u)在u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也 有导数,用y′x=y′u·u′x.

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同. ( )

(2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. (4)若f(x)=a3+2ax+x2,则f′(x)=3a2+2x.

(
( (

)
) )

解析

(1)f′(x0) 表示函数 f(x) 的导数在 x0 处的值,而f((x0))′ 表示

函数值f(x0)的导数,其意义不同,(1)错. (2)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(2)错.

(4)f(x)=a3+2ax+x2=x2+2ax+a3,∴f′(x)=2x+2a,(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

3 2. (选修 2-2P14 练习 2 改编)有一机器人的运动方程为 s(t)=t + t (t
2

是时间, s 是位移 ) ,则该机器人在时刻 t =2 时的瞬时速度为 ________. 3 解析 由题意知, 机器人的速度方程为 v(t)=s′(t)=2t-t2, 故当 3 13 t=2 时,机器人的瞬时速度为 v(2)=2×2-22= 4 . 13 答案 4

3.(2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函 数,则f′(0)的值为________. 解析 因为f(x)=(2x+1)ex,

所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3. 答案 3

4. (2017· 镇江期末 ) 曲线y =- 5ex+3 在点 (0,- 2) 处的切线 方程为________. 解析 ∵y′=-5ex,∴所求曲线的切线斜率k=y′|x=0=-

5e0=-5,∴切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+
2=0. 答案 5x+y+2=0

5.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a=________. 解析 由题意可得f′(x)=3ax2+1,则f′(1)=3a+1,

又f(1)=a+2,
∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7), ∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 答案 1

考点一

导数的计算

【例 1】 求下列函数的导数: (1)y=exln x;
? 1 1? 2 (2)y=x?x +x +x3?; ? ?

x x (3)y=x-sin cos ; 2 2 cos x (4)y= x . e



(1)y′=(e )′ln x+e (ln x)′=e ln x+e
3

x

x

x

x1

? ?ln = x ?

1? x x+ x?e . ?

1 (2)因为 y=x +1+x2, 所以 y′=(x
3

?1? 2 2 ? ? )′+(1)′+ x2 ′=3x -x3. ? ?

1 (3)因为 y=x-2sin x, 所以
? ? ?1 ? 1 1 y′=?x-2sin x?′=x′-?2sin x?′=1- cos 2 ? ? ? ?

x.

?cos x? ?cos ? ? (4)y′= ex ′= ? ?

x?′ex-cos x?ex?′ sin x+cos x =- . ex ?ex?2

规律方法

(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导

数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形 对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算

速度,减少差错.
(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.

【训练1】 (1)f(x)=x(2 017+ln x),若f′(x0)=2 018,则x0= ________. (2)(2015·天津卷)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其

中 a 为实数, f′(x) 为 f(x) 的导函数.若 f′(1) = 3 ,则 a 的值为
________.

1 解析 (1)f′(x)=2 017+ln x+x· x=2 018+ln x.由 f′(x0)=2 018, 得 ln x0=0,则 x0=1.
? (2)f′(x)=a?ln ?

1? x+x·?=a(1+ln x). x?

由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3.

答案 (1)1 (2)3

考点二 导数的几何意义(多维探究)

命题角度一 求切线方程
【例2-1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方 程是________. (2)(2017·扬州中学质检)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点

(0 , - 1) , 并 且 与 曲 线 y = f(x) 相 切 , 则 直 线 l 的 方 程 为
________.

解析 (1)设 x>0, 则-x<0, f(-x)=ln x-3x, 又 f(x)为偶函数, f(x) 1 =ln x-3x,f′(x)= -3,f′(1)=-2,切线方程为 y=-2x-1. x (2)∵点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上, ∴设切点为(x0,y0). 又∵f′(x)=1+ln
? ?y0=x0ln x0, x,∴? ? ?y0+1=?1+ln x0?x0,

解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.

答案 (1)2x+y+1=0 (2)x-y-1=0

命题角度二 求切点坐标 【例 2-2】 (2017· 苏、锡、常、镇四市调研)设曲线 y=ex 在点(0,1) 1 处的切线与曲线 y=x (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 ________.

解析

由 y′=ex,知曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线斜率 k1=e0=1.

1 1 设 P(m,n),又 y= x (x>0)的导数 y′=-x2, 1 1 曲线 y=x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=-m2. 依题意 k1k2=-1,所以 m=1,从而 n=1. 则点 P 的坐标为(1,1).

答案 (1,1)

命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围) 1 1 【例 2-3】 已知直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b 2 2 的值为________.

解析

设切点坐标为 P(x0,y0),

1 1 1 由 y=-2x+ln x,得 y′=-2+x . 1 1 ∴y′|x=x0=-2+x , 0
? 1? 1 1 1 依题意,- + = ,∴x0=1,则 P?1,-2?, 2 x0 2 ? ?

又切点

? 1? P?1,-2?在直线 ? ?

1 y=2x+b 上,

1 1 故- = +b,得 b=-1. 2 2

答案 -1

规律方法

(1) 导数f′(x0) 的几何意义就是函数 y = f(x) 在点 P(x0 ,

y0)处的切线的斜率,切点既在曲线上,又在切线上.切线有
可能和曲线还有其他的公共点. (2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点,“曲线过点P的 切线”则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标. (3) 当曲线 y = f(x) 在点 (x0 , f(x0)) 处的切线垂直于 x 轴时,函数

在该点处的导数不存在,切线方程是x=x0.

【训练 2】 (1)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1 =0,则点 P 的坐标是________. x+1 (2)(2017· 常州复习检测)已知曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直 x-1 线 ax+y+1=0 垂直,则 a=________.

解析 率为 2.

1 (1)由题意得 y′=ln x+x·=1+ln x, 直线 2x-y+1=0 的斜 x

设 P(m,n),则 1+ln m=2,解得 m=e, 所以 n=eln e=e,即点 P 的坐标为(e,e).
? -2 ? 1 ? ? (2)y′?x=3= 2?x=3=- , 2 ? x - 1 ? ? ?

又切线与直线 ax+y+1=0 垂直.
? 1? ?- ?=-1,则 ∴-a· ? 2?

a=-2.

答案 (1)(e,e) (2)-2

[思想方法]
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0) 的导数,而函数值 f(x0) 是一个常数,其导数一定为 0 ,即 (f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原

则.在实施化简时,必须注意交换的等价性.
3 .曲线的切线与二次曲线的切线的区别:曲线的切线与曲 线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相 切只有一个公共点.

[易错防范] 1 .利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防

止与乘法公式混淆.
2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0) 的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0) 不一定为切点. 3 .对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数

是常量,其导数为零.


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