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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第11章 空间向量及其运算 理


2014 届高考数学(理)一轮复习 11 空间向量及其运算
一、选择题 1 1.已知向量 a=(8, x,x),b=(x,1,2),其中 x>0.若 a∥b,则 x 的值为 2 A.8 C.2 B.4 D.0 ( )

解析:a∥b 且 x>0?存在 λ >0,使 a=λ b?

?λ x=8 ?x 1 (8, x,x)=(λ x

,λ ,2λ )?? =λ 2 2 ?x=2λ ?
答案:B

?λ =2, ? ?? ? ?x=4.

2.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a、b、c 三个向量共面,则实数 λ 等 于 A. C. 62 7 64 7 B. D. 63 7 65 7 ( )

?7=2m-n ? 解析:由于 a,b,c 三个向量共面,所以存在实数 m,n 使得 c=ma+nb,即有?5=-m+4n ?λ =3m-2n ?
33 17 65 得 m= ,n= ,λ = . 7 7 7 答案:D 3.如图,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于 a,点 E、F、G

,解

分 别 为

AB、AD、DC 的中点,则 a2 等于

(

)

??? ? ??? ? A.2 BA · AC ??? ? ??? ? B.2 AD · BD ??? ? ??? ? C.2 FG · CA ??? ? ??? ? D.2 EF · CB ??? ? ??? ? 2 解析:2 AD · BD =2·a·a·cos60°=a .
答案:B 4.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC, M、N 分别是边 OA、CB 的中点, 量

??? ? ??? ? ??? ? 点 G 在线段 MN 上,且使 MG=2GN,则用向量 OA , OB , OC 表示向

??? ? OG
1

正确的是

(

)

A. OG = OA + B. OG = C. OG =

??? ? ??? ?

??? ?

? ? 2 ??? 2 ??? OB + OC 3 3

? ? ? 1 ??? 2 ??? 2 ??? OA + OB + OC 2 3 3

??? ?

? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? OA + OB + OC 6 3 3
? ? ? 1 ??? 1 ??? 2 ??? OA + OB + OC 6 3 3

D. OG =

??? ?

??? ? ???? ? ???? 1 ??? ? ? ? ? ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ? 2 ???? 1 ??? 2 1 ??? 解析: OG = OM + MG = OA + MN = OA + (- OA + OB + OC - OB )= 2 3 2 3 2 2 2
? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? OA + OB + OC . 6 3 3
答案:C 5.有以下命题:①如果向量 a,b 与任何向量不能构成 空间的一个基底,那么 a,b 的关系是不共线; ②O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA , OB , OC 不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 一定 共面;③已知{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,a-b,c}也是空间的一个基底.其中正确的命题是 ( ) A.①② C.②③ B.①③ D.①②③

??? ?

??? ?

??? ?

解析:对于①,“如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,b 的关系一定是 共线”,所以①错误.②③正确. 答案:C 6.二面角 α -l-β 为 60°,A、B 是棱 l 上的两点,AC、BD 分别在半平 β ( 内 , AC ⊥ l , BD ⊥ l , 且 AB = AC = a , BD = 2a , 则 CD 的 长 为 ) A.2a C.a B. 5a D. 3a 面α 、

解析:∵AC⊥l,BD⊥l, ∴〈 AC , BD 〉=60°,且 AC · BA =0, AB · BD =0, ∴ CD = CA + AB + BD ,∴| CD |= ? = a +a +? 答案:A 二、填空题
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? CA + AB + BD ?

2

2a?

2

+2a·2acos 120°=2a.

2

1 7.若向量 a =(1,λ ,2),b=(-2,1,1),a,b 夹 角的余弦值为 ,则 λ =________. 6

a·b λ 1 解析:cos〈a,b〉= = = , 2 |a||b| λ +5× 6 6
解得 λ =1. 答案:1 8.已知空间四边形 OABC, M、 分别是 OA、 的中点, OA =a, OB 点 N BC 且

??? ?

??? ?

= b ,

??? ? ???? ? OC =c,用 a,b,c 表示向量 MN =________. ???? ? ???? 1 ???? ? 解析:如图, MN = ( MB + MC )
2

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 1 = [( OB - OM )+( OC - OM )] 2
? ??? ? ???? ? 1 ??? = ( OB + OC -2 OM ) 2

? ??? ? ??? ? 1 ??? = ( OB + OC - OA ) 2
1 = (b+c-a) 2 1 答案: (b+c-a) 2 9.给出命题:①若 a 与 b 共线,则 a 与 b 所在的直线平行;②若 a 与 b 共线,则存在唯一的实数 λ ,

???? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ? 使 b=λ a;③若 A,B ,C 三点不共线,O 是平面 ABC 外一点, OM = OA + OB + OC ,则点 M 3 3 3
一定在平面 ABC 上,且在△ABC 的内部.其中真命题是________. 解析:①中 a 与 b 所在的直线也有可能重合,故①是假命题;②中当 a=0,b≠0 时,找不到实数 λ , 使 b=λ a,故②是假命题;可以证明③中 A,B,C,M 四点共面,因为

? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? 1 ???? 1 ???? OA + OB + OC = OM , 等式两边同时加上 MO , ( MO + OA )+ ( MO + OB ) 则 3 3 3 3 3 ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 1 ???? + ( MO + OC )=0,即 MA + MB + MC =0, MA =- MB - MC ,则 MA 与 MB , 3
???? ? MC 共面,又 M 是三个有向线段的公共点,故 A,B,C,M 四点共面,所以 M 是△ABC 的重心,所以点 M
在平面 ABC 上,且在△ABC 的内部,故③是真命题. 答案:③ 三、解答题 10.设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),且 a≠b,记|a-b|=m,求 a-b 与 x 轴正方向的夹角的余 弦值. 解 :取 x 轴正方向的任一向量 c=(x,0,0)(x>0),设所求夹角为 α ,
3

∵(a-b)·c=(a1-b1,a2-b2,a 3-b3)·(x,0,0)=(a1-b1)x, ? a-b? ·c ? a1-b1? ∴cos α = = |a-b||c| mx

x a1-b1 = . m a1-b1 . m
点 M、 分别是 N

故 a-b 与 x 轴正方向的夹角的余弦值为

11.如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a,

AB、CD 的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长. 解:(1)证明:设 AB =p, AC =q, AD =r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°.

??? ?

??? ?

??? ?

? ???? ? ???? ???? 1 ??? ? ??? ? ? 1 ??? MN = AN - AM = ( AC + AD )- AB
2 2 1 = (q+r-p), 2

???? ? ??? 1 ? 1 2 ∴ MN · AB = (q+r-p)·p= (q·p+r·p-p ) 2 2
1 2 2 2 = (a cos 60°+a cos 60°-a )=0. 2 ∴MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.

???? 1 ? (2)由(1)可知 MN = (q+r-p), 2
???? 2 ???? 2 1 ? ? 2 ∴| MN | = MN = (q+r-p) 4
1 2 2 2 = [q +r +p +2(q·r-p·q-r·p)] 4 1 2 2 2 a a a = [a +a +a +2( - - )] 4 2 2 2 1 a 2 = ×2a = . 4 2 ∴| MN |=
2 2 2 2

???? ?

2 2 a.∴MN 的长为 a. 2 2

12.直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E 分别为 AB、BB′的中点.

4

(1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值. 解:(1)证明:设 CA =a, CB =b, CC? =c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且 a·b=b·c=c·a=0,

??? ?

??? ?

????

??? ? ???? ? 1 1 1 ∴ CE =b+ c, A? D =-c+ b- a. 2 2 2
??? ? ???? ? 1 2 1 2 ∴ CE · A? D =- c + b =0, 2 2
∴ CE ⊥ A? D ,即 CE⊥A′D. (2) AC? =-a+c,∴| AC? |= 2|a|,| CE |=

??? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ?

5 |a|. 2

???? ??? ? ? 1 1 1 AC? · CE =(-a+c)·(b+ c)= c2= |a|2,
2 2 2

???? ??? ? ? ∴cos〈 AC? , CE 〉=

1 2 |a| 2 2· 5 2 |a| 2



10 . 10

即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为

10 10

5


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