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2015高考试题——文数(浙江卷)解析版


一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 ? ? x x ? 2 x ? 3 , Q ? x 2 ? x ? 4 ,则 ?
2

?

?

?

?

Q ?(

) C . ? ?1, 2 ?

A . ?3, 4 ? D. ? ?1,3? 【答案】A 【解析】

B . ? 2,3?

试题分析:由题意得, P ? ? x | x ? 3或x ? 1? ,所以 P 考点:1.一元二次不等式的解法;2.集合的交集运算.

Q ? [3, 4) ,故选 A.

2、某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是(



A. 8 cm3 C.

B. 12 cm3 D.

32 cm3 3

40 cm3 3

【答案】C

考点:1.三视图;2.空间几何体的体积.

3、设 a , b 是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】D B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



考点:1.充分条件、必要条件;2.不等式的性质. 4、设 ? , ? 是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? ( A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? 【答案】A 【解析】 试题分析:采用排除法,选项 A 中,平面与平面垂直的判定,故正确;选项 B 中,当 ? ? ? 时, l , m 可以垂直,也可以平行,也可以异面;选项 C 中, l // ? 时,? , ? 可以相交;选项 D 中, ? // ? 时, l , m 也可以异面.故选 A. 考点:直线、平面的位置关系. 5、函数 f ? x ? ? ? x ? B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m )

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能为( x?



A. 【答案】D 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:因为 f (? x) ? (? x ? ) cos x ? ?( x ? ) cos x ? ? f ( x) ,故函数是奇函数,所以 排除 A, B;取 x ? ? ,则 f (? ) ? (? ?

1 x

1 x

1

?

1 ) cos ? ? ?(? ? ) ? 0 ,故选 D.

?

考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象. 6、有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相 同.已知三个房间的粉刷面积(单位: m 2 )分别为 x , y , z ,且 x ? y ? z ,三种颜色涂 料的粉刷费用(单位:元/ m 2 )分别为 a , b , c ,且 a ? b ? c .在不同的方案中,最低的 总费用(单位:元)是( A.ax ? by ? cz 【答案】B ) C.ay ? bz ? cx D.ay ? bx ? cz

B.az ? by ? cx

考点:1.不等式性质;2.不等式比较大小. 7 、如图,斜线段 ?? 与平面 ? 所成的角为 60 , ? 为斜足,平面 ? 上的动点 ? 满足

???? ? 30 ,则点 ? 的轨迹是(



A.直线 C.椭圆 【答案】C 【解析】

B.抛物线 D.双曲线的一支

试题分析:由题可知,当 P 点运动时,在空间中,满足条件的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥, 用一个与圆锥高成 60 角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选 C. 考点:1.圆锥曲线的定义;2.线面位置关系. 8、设实数 a , b , t 满足 a ? 1 ? sin b ? t ( A.若 t 确定,则 b 2 唯一确定 C.若 t 确定,则 sin 【答案】B 【解析】 试题解析:因为 a ? 1 ? sin b ? t ,所以 (a ? 1) ? sin b ? t ,所以 a 2 ? 2a ? t 2 ? 1 ,故当
2 2 2

) B.若 t 确定,则 a 2 ? 2a 唯一确定 D.若 t 确定,则 a 2 ? a 唯一确定

b 唯一确定 2

t 确定时, t 2 ? 1 确定,所以 a 2 ? 2a 唯一确定.故选 B.
考点:函数概念 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9、计算: log 2 【答案】 ?

2 ? 2

,2

log 2 3? log 4 3

?



1 ,3 3 2

考点:对数运算 10、已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比数列,且 2a1 ? a2 ? 1 , 则 a1 ? 【答案】 , ?1 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 可 得 , (a1 ? 2d ) ? ( a1 ? d )( a1 ? 6d ) , 故 有 3a1 ? 2d ? 0 , 又 因 为
2

,d ?



2 3

2a1 ? a2 ? 1 ,即 3a1 ? d ? 1 ,所以 d ? ?1, a1 ?

2 . 3

考点:1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项. 11、函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是 【答案】 ? , 【解析】 试 题 分 析 : ,最小值是 .

3? 2 2

1 1 ? cos 2 x 1 1 3 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

?

2 ? 3 3 2 2? . sin(2 x ? ) ? ,所以 T ? ? ? ; f ( x) min ? ? 2 4 2 2 2 2

考点:1.三角函数的图象与性质;2.三角恒等变换.

? x2 , x ? 1 ? 12 、已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? 6 ? f ? ?2 ? ? ?? x ? ? 6, x ? 1 ? x ?
是 .

, f ? x ? 的最小值

【答案】 ? ; 2 6 ? 6

1 2

考点:1.分段函数求值;2.分段函数求最值. 13 、已知 e1 , e2 是平面单位向量,且 e1 ? e2 ?

1 .若平面向量 b 满足 b ? e1 ? b ? e2 ? 1 ,则 2

b ?
【答案】 【解析】



2 3 3

试题分析:由题可知,不妨 e1 ? (1, 0) , e2 ? ( ,

1 3 ) ,设 b ? ( x, y ) ,则 b ? e1 ? x ? 1 , 2 2

b ? e2 ?

1 3 3 1 2 3 . x? y ? 1 ,所以 b ? (1, ) ,所以 b ? 1 ? ? 2 2 3 3 3

考点:1.平面向量数量积运算;2.向量的模. 14、已知实数 x , y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 2 x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3 y 的最大值是 【答案】15 【解析】 .

试题分析: z ? 2 x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3 y ? ?

? 2 ? x ? 2 y, y ? 2 ? 2 x ?10 ? 3 x ? 4 y, y ? 2 ? 2 x

由图可知当 y ? 2 ? 2 x 时,满足的是如图的 AB 劣弧,则 z ? 2 ? x ? 2 y 在点 A(1, 0) 处取得 最大值 5;当

y ? 2 ? 2 x 时,满足的是如图的 AB 优弧,则 z ? 10 ? 3 x ? 4 y 与该优弧相切时取得最大值,


d?

z ? 10 ? 1 ,所以 z ? 15 ,故该目标函数的最大值为15 . 5

考点:1.简单的线性规划; 15、 椭圆

x2 y 2 b (a ? b ? 0) 的右焦点 F ? c, 0 ? 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在椭圆上, ? 2 ?1 2 a b c


则椭圆的离心率是 【答案】

2 2

考点:1.点关于直线对称;2.椭圆的离心率. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 tan( (1)求

?
4

? A) ? 2 .

sin 2 A 的值; sin 2 A + cos 2 A

(2)若 B ?

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 4 2 【答案】(1) ;(2) 9 5

?

考点:1.同角三角函数基本关系式;2.正弦定理;3.三角形面积公式. 17. (本题满分 15 分)已知数列 {an } 和 {bn } 满足, a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ),
*

1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3
(1)求 an 与 bn ;

1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n

(2)记数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ? 1)2
n n ?1

? 2(n ? N * )

【解析】 试题分析:(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问 得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.

考点:1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和. 18. ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 ABC - A1 B1C1 中 ,

? ABC=900,AB=AC 2, AA1 = 4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为 B1C1 的中点.

(1)证明: A1D ? 平面A1BC ; (2)求直线 A1B 和平面 BB1CC1 所成的角的正弦值.

【答案】(1)略;(2)

7 8

(2)作 A1 F ? DE ,垂足为 F,连结 BF.

因为 AE ? 平面 A1 BC ,所以 BC ? A1 E . 因为 BC ? AE ,所以 BC ? 平面 AA1 DE . 所以 BC ? A1 F , A1 F ? 平面 BB1C1C . 所以 ?A1 BF 为直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的平面角. 由 AB ? AC ? 2, ?CAB ? 90 ,得 EA ? EB ?

2.

由 AE ? 平面 A1 BC ,得 A1 A ? A1 B ? 4, A1 E ? 14 . 由 DE ? BB1 ? 4, DA1 ? EA ?

2, ?DA1 E ? 90 ,得 A1 F ?

7 . 2

所以 sin ?A1 BF ?

7 8

考点:1.空间直线、平面垂直关系的证明;2.直线与平面所成的角. 19. (本题满分 15 分)如图,已知抛物线 C1:y=

1 2 x ,圆 C2:x 2 + (y- 1) 2 = 1 ,过点 4

P(t,0)(t>0) 作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点.

(1)求点 A,B 的坐标; (2)求 ?PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行,则该直线 与抛物线相切,称该公共点为切点. 【答案】(1) A(2t , t ), B (
2

t3 2t 2t 2 ; (2) , ) 2 1? t2 1? t2

因为直线 PA 与抛物线相切,所以 ? ? 16k 2 ? 16kt ? 0 ,解得 k ? t . 所以 x ? 2t ,即点 A(2t , t ) .
2

设圆 C2 的圆心为 D (0,1) ,点 B 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意知,点 B,O 关于直线 PD 对称,

x0 ? y0 2t 2t 2 2t 2t 2 ? ? ? ?1 故有 ? 2 . 即点 , y ? B ( , ). 2t ,解得 x0 ? 0 1? t2 1? t2 1? t2 1? t2 ? ? x0t ? y0 ? 0

(2)由(1)知, AP ? t 1 ? t 2 , 直线 AP 的方程为 tx ? y ? t ? 0 ,
2

所以点 B 到直线 PA 的距离为 d ?

t2 1? t2

.

所以 ?PAB 的面积为 S ?

1 t3 AP ? d ? . 2 2

考点:1.抛物线的几何性质;2.直线与圆的位置关系;3.直线与抛物线的位置关系. 20. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b, (a, b ? R ) .
2

(1)当 b =

a2 +1 时,求函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上的最小值 g (a ) 的表达式; 4

(2)已知函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2, ? ? 【答案】(1) g (a ) ? ? 1, ?2 ? a ? 2, ;(2) [?3,9 ? 4 5] ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ? 4

考点:1.函数的单调性与最值;2.分段函数;3.不等式性质;4.分类讨论思想.


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