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北师版中考数学三角函数与圆


第二部分第四课时:

三角函数与圆
? 思想方法提炼 ? 感悟、渗透、应用 ? 课时训练

? 思想方法提炼

三角函数是与角密切相关的函数,而圆中常会出 现与角有关的求解问题,尤其会出现一些非特殊角求 其三角函数值的问题,或已知三角函数值求圆中的有 关线段长等问题.三角函数与圆的综合应用也是中考 中的热点问题之一.

? 感悟、渗透、应用
【例1 】如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,C 为AB延长线上 的点,以OC为直径的圆交⊙O于D,连结AD,BD,CD. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若AB=BC=2,求tan ∠A的值.

【解析】 (1)证∠CDO=90°即可,理由OC为圆的直径. (2)利用△BCD∽△DCA得到BD8DA的比值

解:(1)连结OD,∵OC为直径 ∴∠CDO=90° 又∵OD为⊙O的半径∴CD是⊙O的切线

(2)由切割线定理有:CD2=CB·CA=8∴CD=22 ∵∠BDC=∠A,∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△DCA
BD CD ∴ = 2 2? 2 ? DA CA 4 2

∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan

BD 2 ? ∠A= DA 2

【例 2 】 (2004 年 · 甘肃省 ) 已知:如图,四边形 ABCD 内接 于⊙O,AB是⊙O的直径,CE切⊙O于C,AE⊥CE, 交⊙O于D. (1)求证:DC=BC; (2)若DC:AB=3:5, 求sin∠CAD的值.

证明: 连接 BD.∵AB是⊙ O 的直径,∴∠ADB=90°. 又∠AEC=90°. ∴BD//EC.∴∠ECD=∠BDC.∴BC=CD 又∠CAD=∠CAB ∴sin∠CAD=sin∠CAB=BC/AB=DC/AB= 3/5.

【例3】(2003年·湖北省黄冈市)已知:如图Z4-3,C为 半圆上一点, AC=CE,过点 C 作直径 AB 的垂线 CP,P 为垂足, 弦AE分别交PC,CB于点D,F, (1)求证:AD=CD; (2)若DF=5/4,tan ∠ECB =3/4,求PB的长.

【分析】 (1)证△ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD,在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan ∠DAP=tan ∠ECB=3/4, 求 出 DP、PA、CP, 最 后 利 用 △APC∽△CPB求PB的长.

解:(1)连结AC∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE ∵∠CEA=∠CBA∴∠CBA=∠CAE ∵AB是直径∴∠ACB=90° ∵CP⊥AB∴∠CBA=∠ACP ∴∠CAE=∠ACP∴AD=CD (2)∵∠ACB=90°∠CAE=∠ACP ∴∠DCF=∠CFD∴AD=CD=DF=5/4 ∵∠ECB=∠DAP,tan ∠ECB=3/4 ∴tan ∠DAP=DPPA=3/4 ∵DP2+PA2=DA2 ∴DP=3/4 PA=1∴CP=2 ∵∠ACB=90°,CP⊥AB ∴△APC∽△CPB

AP PC ? ∴ PC PB

∴PB=4

【例 4 】 (2003 年 · 河南省 ) 已知如图所示,在半径为 4 的 ⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交 ⊙O于点E,且EM>MC,连结DE,DE= 15 . (1)求EM的长; (2)求sin ∠EOB的值.

【分析】 (1)用勾股定理求EC长,再用相交弦定理求EM的长. (2)构造Rt△EOF,利用三角函数求正弦值.

解:(1)∵DC为⊙O的直径∴DE⊥EC 2 2 DC ? DE ? 64 ? 15 =7 ∵DC=8,DE= 15 ∴EC= 设EM=x,由于M为OB的中点∴BM=2,AM=6 ∴AM·MB=x·(7-x) 即6×2=x(7-x),x2-7x+12=0 ∴x1=3,x2=4∵EM>MC∴EM=4 (2)∵OE=EM=4∴△OEM为等腰三角形 过E作EF⊥OM,垂足为F,则OF=1 ∴EF= OE 2 ? OF 2 ? 16 ? 1 ? 15 ∴sin ∠EOB=
15 4

【例5】(2003年·河南省)已知:如图所示,AB是⊙O的直 径,O为圆心,AB=20,DP与⊙O相切于点D,DP⊥PB,垂足 为P,PB与⊙O交于点C,PD=8 (1)求BC的长; (2)连结DC,求tan ∠PCD的值; (3)以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,求 直线BD的解析式.

【解析】 (1)过O作OE⊥BC,垂足为E,则BE=EC,连结OD,则OD⊥DP 又∵DP⊥PB,∴四边形OEPD为矩形 ∴ OE=PD=8 ∵OB=1/2*AB=1/2×20=10 在Rt△OEB中,EB2=OB2-OE2=102-82=36 ∴EB=6,∴BC=2EB=12

(2)∵PB=PE+EB=DO+EB=16 ∴PC=PB-BC=16-12=4 在Rt△PCD中, DP=8, PC=4 8 ∴tan ∠PCD=PD/PC= =2
4

? 课时训练
1.如图所示,C是⊙O外一点,由C作⊙O的两条切线,切点 为B、D,BO的延长线交⊙O于E,交CD的延长线于A,若 AE=2,AB=23 求:(1)BE的长;(2)sin A的值. 解: (1)BE=AB-AE=2(3-1) (2)连OD,则OD=3-1 ∵CD为⊙O的切线∴OD⊥CD
OD 3 ?1 3 ?1 4? 2 3 ? ? ? ? 2? 3 ∴sin A= OA ( 3 ? 1 ) ? 2 3 ?1 2

3. △ ABC 中, AB=10,外接圆 O 的面积为 25 π ,sin A,sin B是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的个两根,其中m≠-5. (1)求m的值;(2)求△ABC的内切圆的半径.
解(1)设⊙O的内切圆的半径为r,⊙O的半径为R ∵π R2=25π ∴R=5 因⊙O的内接△ABC的边AB=10=2R ∴AB是⊙ O 的直径,且∠ ACB=90°,则△ ABC 是直角三角形,从而 ∠ A+∠B=90°, 故 sin B=cos A 因 sin A、sin B 是 一 元 二 次 方 程 (m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根,故
?sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 2m ? 5 ? ? m?5 ? ?sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 12 ? ( 2m ? 5 ) 2 ? 24 ? m?5 m?5 m?5 ?

①2-②×2得(sin A+cos A)2-2sin A·cos A 消去sin A和cos A,得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2

(2)当m=20时, 方程化为:25x2-35x+12=0 解之得 x=3/5,x=4/5 则sin A=3/5,sin B=45或sin A=4/5,sin B=3/5 即: AC=AB·sin B=10×4/5=8 BC=AB·sin A=10×3/5=6或AC=6,BC=8 于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2 当m=-2时,方程化为x2+3x+4=0 ∵此方程无实根 ∴m=-2应舍去 ∴m=20,r=2

4. 如图所示,抛物线 y=ax2-3x+c 交 x 轴正方向于 A、B 两点, 交y轴正方向于C点,过A、B、C三点作⊙D,若⊙D与y轴相 切. (1)求a、c满足的关系式; (2)设∠ACB=α ,求tan α ; (3)设抛物线顶点为P,判断直线PA与⊙D的位置关系,并 证明.

解:(1)A、B的横坐标是方程ax2-3x+c=0 的两根,设为x1,x2(x2>x1),C的纵坐标为c 又∵y轴与⊙D相切, ∴OA·OB=OC2∴x1·x2=c2, 又由方程ax2-3x+c=0和已知x1·x2= c a c 2 ∴c = 即ac=1.
a

(2)连结PD,交x轴于E,直线PD必为抛物线的对称轴, 连结AD、BD, 1 1 ∴AE= 2 AB,∠ACB= ∠ADB=∠ADE=α 2 ∵a>0,x2>x1
∴AB=x2-x1=
9 ? 4ac 5 ? a a

∴AE=

5 2a

又ED=OC=c,∴tan α =

AE 5 ? DE 2

(3)设∠PAB=β ,∵P点坐标为(

3 5 ,? 2a 4a

)

5 又∵a>0∴在Rt△PAE中,PE= 4a

PE 5 ∴tan β = ? AE 2

∴tanβ =tan α ∴β =α ∴∠PAE=∠ADE ∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠PAE+∠DAE=90° 即∠PAD=90°∴PA和⊙D相切.

5.(2003年·深圳市)如图所示,已知A(5,-4),⊙A与x轴 分别相交于点B、C,⊙A与y轴相切于点D, (1)求过D、B、C三点的抛物线的解析式; (2)连结BD,求tan ∠BDC的值; (3)点P是抛物线顶点,线段DE是直径,直线PC与直线DE相 交于点F,∠PFD的平分线FG交DC于G,求sin ∠CGF的值.

解:(1)D(0,-4),B(2,0),C(8,0) ∴解析式为:y=-1/4x2+5/2x-4 ∴y=-(x-5)2+9/4 (2)由垂径定理,作BC中点H, 可证∠BDC=∠BAH,∴tan ∠BDC=tan ∠BAH=3/4.

(3)求直线PC的解析式:y=-3/4x+6 设I为直线PC与y轴的交点,则I的坐标为(0,6) ∴ID=IC=10∴∠ICD=∠IDC ∴∠ICA=∠IDA=∠IDC+∠CDA=90° ∴∠ICO=∠BDC=∠PFD ∴∠CGF=∠GDF+1/2∠PFD=∠GDF+1/2∠BDC=∠HDF=45°
∵DA=AH=半径∴sin ∠CGF=sin 45°=
2 . 2

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