当前位置:首页 >> 高一数学 >>

高中数学必修1知识点总结:第二章


www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿
高中数学必修 1 知识点总结
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次 方根用符号 n a 表示; 当 n 是偶数时, 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示, 负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为 偶数时, a ? 0 . ③根式的性质: 当 n 为奇数时, a ? a ; 当 n 为偶数时, ( n a )n ? a ;
n n
n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0 的正分数指数幂等于 0. a n ? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) . ②正数的负分数指数幂的意义是: a
? m n
m

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分数 a a

指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) 【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 定义 图象
x

② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O

1

x 0

O

1

x 0

www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 R 上是增函数

R

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对 图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算

(1)对数的定义 ①若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做底数, N 叫
x

做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 …) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: log a M ? log a N ? log a

①加法: loga M ? loga N ? loga (MN )

M N

www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿
③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R)
n ⑤ log ab M ?

④a

log a N

?N

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)
R

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响
(6)反函数的概念

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对 于 y 在 C 中的任何一个值, 通过式子 x ? ? ( y ) , 那么式子 x ? ? ( y ) x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 表示

x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,习惯上改写成

www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿
y ? f ?1 ( x) .
(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y ) ; ③将 x ? f ?1 ( y ) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. ③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非 偶函数时,图象只分布在第一象限.

www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿
②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图 象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q p

q (其中 p, q 互质, p
q p

p 和 q?Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶函数,
q

若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x p 是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 , 其图象在直线 y ? x 上方, 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 上方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b2 , ). 2a 4a
b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

4ac ? b2 b b ] 上递增,在 [ ? , ?? ) 上递减,当 f min ( x) ? ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? 2a 2a 4a
x??

4ac ? b2 b 时, f max ( x) ? . 2a 4a

www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿
③二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?

? . |a|

(4)一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够 系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面 结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以下 四个方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ? ? 号. ①k<x1≤x2
f (k ) ? 0
?

b ③判别式: ? ④端点函数值符 2a

?
y
a?0
O

y
x??

b 2a

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k
a?0
O

?
y
f (k ) ? 0
?

y
x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0

y
? ?

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1 (或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合

?

f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出.

?

(5)二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ? (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上) ①若 ?

1 ( p ? q) . 2
③若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

b ? q ,则 m ? f (q) 2a

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

a?0

y

x??

f (q)
O
f (? b )

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b f ((p) ? ) b 2 a M ? f (q ) ? x0 ,则 ①若 ? 2a

p

x
b ) 2a

a?0

yx ? ? b f
O

b 2a ? x0 ,则 M ? f ( p) ②? 2a y b a?0
x??

f f (? (q)

2a

f (p) x0 ? p q
O

2a

x(q) 0 p ?
f
b

q

x

x
b ) 2a

f f (?

www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿
(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下) ①若 ?

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
a?0
f f( ?

f (?

yb
2a

)

a?0

f (?

yb
2a

yb
2a

)

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f( ?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)
O

(q)

x0 ? p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p ?

f (p)

O q x 高考试题来源:http://www.gaokao.com/zyk/gkst/ x?? b 2a

f


相关文章:
高中数学必修1知识点总结:第二章_基本初等函数
www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿高中数学必修 1 知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)...
高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数
高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】...
高中数学必修1知识点总结:第二章-基本初等函数
高中数学必修1知识点总结:第二章-基本初等函数_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结一、指数函数 1、根式的概念 ①如果 x n ? ...
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。第二章基本初等函数知识点整理〖2.1〗指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)根式的概念...
高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数
高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数_调查/报告_表格/模板_实用文档。高中数学必修 1 知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1....
高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数
高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修1知识点总结:第二章 基本初等函数高中...
人教版高中数学必修一 第二章 基本初等函数知识点总结
人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结第二章基本初等函数一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 负数没有偶次方根;0 的任何次方...
高中数学必修1-必修2知识点总结
高中数学必修 1 知识点总结第 集合与函数概念一、集合有关概念 1、 集合的含义: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 其中每一个对象叫元素。 2、...
高一数学必修1第二章基本初等函数知识点整理
高一数学必修1第二章基本初等函数知识点整理_数学_高中教育_教育专区。必修 1 第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理〖2.1〗指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算(...
高中数学必修1-必修2知识点总结
高中数学必修 1 知识点总结第 集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一 个对象叫元素。 2、集合的...
更多相关标签: