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2009--2011山东高考数学(文)解析及试卷分析


2009—2011 年山东高考数学(文)解析及试卷分析
2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上.,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如 需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以 上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。 参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V=

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。 3
第Ⅰ卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a A.0 B.1

?

2

? ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值为(
C.2
2

)

D.4

? a 2 ? 16 【解析】:∵ A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a ? , A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ∴ ? ∴ a ? 4 ,故选 D. ? a?4
答案:D 【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题 属于容易题.

-1-

2.复数

3?i 等于( 1? i

). B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i

A. 1? 2i 2. 【解析】: 答案:C

3 ? i (3 ? i )(1 ? i ) 3 ? 2i ? i 2 4 ? 2i ? ? ? ? 2 ? i ,故选 C. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 1 ? i2 2

【命题立意】:本题考查复数的除法运算,分子、分母需要同乘以分母的共轭复数,把分母变 为实数,将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 是(
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 4
C. y ? 1 ? sin(2 x ?

).

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A. y ? 2 cos x

B. y ? 2sin x
2

?
4

)

D. y ? cos 2 x

3. 【 解 析 】 : 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2
y ? 1 ? cos 2 x ? 2cos 2 x ,故选 A.
答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ? ). D. 4? ? 2

?

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

2 3 3

2 3 3
2

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面 边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 ?

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3

2

所以该几何体的体积为 2? ? 答案:C

2 3 . 3

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2 正(主)视图

2 侧(左)视图

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
-2-

俯视图

计算出.几何体的体积.

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5.在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x ⊙ ( x ? 2) <0 的实数 x 的取值范围为 ( ). B.(-2,1) C. (??,?2) ? (1,??) D.(-1,2)
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A.(0,2)

【解析】:根据定义 x ⊙ ( x ? 2) ? x( x ? 2) ? 2 x ? ( x ? 2) ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? x ? 1 ,
2

所以所求的实数 x 的取值范围为(-2,1),故选 B. 答案:B. 【命题立意】 :本题为定义新运算型,正确理解新定义是解决问题的关键,译出条件再解一元二次 不等式. 6. 函数 y ? y 1 O 1 x 1 O1 x

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y

).

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y

y

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B
x ?x

C

【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ?e

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1

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答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在 于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. -2 C.1

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f(3)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D. 2

)

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 5 , f (0) ? log 2 4 ? 2 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? 2 ? log 2 5 ,

-3-

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? log 2 5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? log 2 5 ? (2 ? log 2 5) ? ?2 ,故选 B.
答案:B.
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【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.. 8.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ?

??? ?

) D. PA ? PB ? PC ? 0

B

??? ??? ? ?

?

B. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ? ??? ?

?

C. PC ? PA ? 0

??? ??? ? ?

?

??? ??? ??? ? ? ?

?

【解析】:因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 答案:B. 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则, 可以借助图形解答。 9. 已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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??? ??? ? ?

A

P 第 8 题图

C

A.充分不必要条件 C.充要条件

【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的一条直线, m ? ? ,则 ? ? ? , 反过来则不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件 答案:B. 【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 10. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐
2

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.

标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

).
2

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B. y ? ? 8 x
2
2

C. y ? 4 x

D. y ? 8 x
2

a a 4 4 a 1 a a 与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线方程 2 2 4 2
【解析】: 抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,它 为 y ? ? 8 x ,故选 B.
2
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答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积 的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而引发
-4-

的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二 为一. 11.在区间 [? A.

? ? 1 , ] 上随机取一个数 x,即 x ? [? , ] 时,要使 cos x 的值介于 0 到 之 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 ? 间,需使 ? ? x ? ? 或 ? x ? ,区间长度为 ,由几何概型知 cos x 的值介于 0 到 之 2 3 3 2 2 3
【解析】:在区间 [?

1 3

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 1 2 2 B. C. D. 2 3 ?
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? ?

).

? ?

? ?

1 间的概率为 3 ? .故选 A. 3
答案:A

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【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值

cos x 的范围,再由长度型几何概型求得.
12. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ).
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A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

【解析】 :因为 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周 期函数, 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) ,又因为 f (x) 在 R 上是奇函数,

f (0) ? 0 , 得 f (80) ? f (0) ? 0 , f (?25) ? f (?1) ? ? f (1) , 而 由 f ( x? 4 )? ? f ( x得 ) f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) , 又 因 为 f (x) 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 所 以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.
答案:D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和 数形结合的思想解答问题. 第? 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。
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-5-

__ 13.在等差数列 {a n } 中, a3 ? 7, a5 ? a 2 ? 6 ,则 a6 ? __________ .
【解析】:设等差数列 {a n } 的公差为 d ,则由已知得 ?

?

a1 ? 2d ? 7

?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

?a1 ? 3 ,所以 ?d ? 2

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .
答案:13.

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【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 14.若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是
x

.

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【解析】 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两 : 个 零 点 , 就 是 函 数 y ? a ( a? 0, 且 a ? 1} 与 函 数 y ? x ? a 有 两 个 交 点 , 由 图 象 可 知 当
x

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过点(0,1),
而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取 值范围是 {a | a ? 1} . 答案: {a | a ? 1} 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查, 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 15.执行右边的程序框图,输出的 T= .
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开始

S=0,T=0,n=0 是

【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出 T=30 答案:30 【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况. T>S 否 S=S+5 n=n+2 结束 T=T+n 输出 T

16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产 品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租

-6-

赁费最少为__________元. 【解析】:设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则

z ? 200 x ? 300 y ,甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品 (件)(≥50) 5 6 B 类产品 (件)(≥140) 10 20 租赁费 (元) 200 300

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6 ? ? 5 x ? 6 y ? 50 ? x ? 5 y ? 10 ? ? 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? , x ? 2 y ? 14 ? x ? 0, y ? 0 ? ? ? x ? 0, y ? 0 ?

? 6 ? x ? y ? 10 作出不等式表示的平面区域,当 z ? 200 x ? 300 y 对应的直线过两直线 ? 的交点 5 ? x ? 2 y ? 14 ?
(4,5)时,目标函数 z ? 200 x ? 300 y 取得最低为 2300 元. 答案:2300 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系, 最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos 最小值. (1) 求 ? .的值; (2) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因 为 函 数 f(x) 在 x ? ? 处 取 最 小 值 , 所 以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由 诱 导 公 式 知 sin ? ? 1 , 因 为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

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-7-

(2)因为 f ( A) ?

3 3 ? ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 2 2 6 b sin A 1 2 a b ? 2? ? ,也就是 sin B ? , ? a 2 2 sin A sin B

a ? 1, b ? 2 , 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? ? . 4 6 4 12 4 6 4 12
或B ? 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的 性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点.
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?

D1 A1

C1 B1

(1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 证明:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD = A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形, A1

E1 E A D1

D F C1 F1

C B

B1

E1 E A

D F

C B

D1 A1

C1 B1

?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?
所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.

E1 E A

D F

C B

-8-

【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握 平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 19. (本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表 (单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1) 求 z 的值.
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(2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数 与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以

50 10 , 所 以 n=2000. ? n 100 ? 300

400 m ? ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 1000 5

S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基 本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒 适型轿车的概率为

7 . 10 1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 , 8
9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,

(3)样本的平均数为 x ?

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6,

总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为

6 ? 0.75 . 8

【命题立意】 :本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题. 要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.

-9-

20.(本小题满分 12 分) 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 对 任 意 的 n ? N
?

, 点 (n , Sn ) , 均 在 函 数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

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bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像 上.所以得 S n ? b ? r ,
n

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r ,

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当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b
n

n ?1

? r ) ? b n ? b n?1 ? (b ? 1)b n?1 ,
所以 an ? (b ? 1)b
n ?1

又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b 则 Tn ?
n ?1

? 2n ?1 ,

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 1 23 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
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【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 S n 求 an 的基本题型,并运用 错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

(1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值?

- 10 -

(2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

2

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b 2 ? 4a ?b ? b 2 ? a ?2b ? 4b 2 ? 4a ?b ? b 2 ? a ? ? , x2 ? , 2a a 2a a
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数

x1 0 极大值

(x1,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x)
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

(-∞,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,x1) + 增函数

x1 0 极大值

(x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

w.w.w.k.s. 5.u.c. o. m

(2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.
2

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? )max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , 设 g ( x) ? ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

当 a ? 1 时, 0 ?

1 1 ax 1 ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; ? 1 ,当 x ? (0, a 2 2x a

- 11 -

当 x?(

1 ax 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a 1 1 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( )?? a. a a

所以当 x ?

所以 b ? ? a 当 0 ? a ?1时,

1 ax 1 在区间 ? 1 , 此 时 g '(x )? 0在 区 间 (0, 1]恒 成 立 , 所 以 g ( x) ? ? ? 2 2x a

上 (0, 1] 单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1时, b ? ? 2
w.w. w.k.s.5. u.c. o. m

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在 区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究 最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22. (本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动点

?

?

?

?

M ( x, y) 的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 4

A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1, 4
? ? ?
2

当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ? 1) , 所以 a ? b ? mx ? y ? 1 ? 0 ,
2

?

? ?

即 mx ? y ? 1 .
2 2

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线.

- 12 -

(2).当 m ?

x2 1 时, 轨迹 E 的方程为 ? y 2 ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解方 4 4

? y ? kx ? t ? 2 2 2 2 2 程组 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 ,即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k t ? 16(1 ? 4k )(t ? 1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?

??? ??? ? ? 要使 OA ? OB ,
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1,
2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 ,

即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 ? k 2 ) 4 t2 4 所以圆的半径为 r ? , r2 ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k 2
t

x2 2 2 2 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ? 5 ,与 5) 或 4 5 5 5

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? 且 OA ? OB .

4 , 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 5

??? ?

??? ?

x2 1 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 (3)当 m ? 时,轨迹 E 的方程为 4 4
C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?
2 2 2

t 1? k
2

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,
- 13 -

? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 64k t ? 16(1 ? 4k )(t ? 1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 ? 由? 中 x1 ? x2 ,所以, x1 ? , 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

1 2 4 ? R2 4 B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y ? 1 ? x1 ? ,所以 | OB1 |2 ? x12 ? y12 ? 5 ? 2 , 2 4 3R R
2 1

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?
2 2 2

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 因 为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1 B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 R2
当R ?

2 ? (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

【命题立意】 :本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通 过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

2009 山东高考数学卷评价分析
(一)难度适中 2009 高考山东数学卷难度明显降低,感觉介于 2007 与 2008 之间。 其中选择填空等小题继续保持考察基础知识的风格,连续 3 年都比较简单比 较平稳!当然小题中也渗透了数形结合等思想,尤其是数形结合思想涉及较多! 从知识上看函数比重较大共四个小题,立体几何 2 个,其他知识基本是 1 个。除 16 题外都很基本。 解答题保持平稳,尽管理科 21 题是应用题出乎很多人的预料,但是也应该在

- 14 -

情理之中,新课程和考试说明都强调应用意识。而且此题重在考察运算,建模及 思路都比较容易!至于 22 题,仍然是运算量较大,思路及难度并不很大,尤其是 “圆与椭圆”交汇很新颖,如果对于“圆”的数形结合本质与椭圆处理方式有所 区别,最后一问求 AB 的范围利用垂直用射影定理很快就算出! 尽管山东高考有“注重通性通法,淡化特殊技巧”的风格,但是对于“运算 能力”这一山东考试说明要求的第一能力,应该在平时复习中强化的同时必须适 当训练“运算技巧”如:分式最值(21 题考到,2008 山东文 22 题也考到,2007 全国卷 21 题,2007 安徽卷 21 题均涉及分式最值问题) ;换元法等问题(有些函数 不等关系问题若换元不合适可能会涉及极限但是若利用其倒数换元就可解决) ;圆 和向量都是很好的考察数形结合的载体,往往学生会以代数运算处理运算量较大 (如 2009 山东理 22 题,还有很多很好的圆的题目如 2009 青岛一摸理科 21 题) ! 平时也经常接触,应该多训练,提醒学生重视运算技巧的训练,适当运算技巧就 是运算能力!近几年来看最后的“压轴”题大都可以用通法解决,也往往有巧法! 但是整体上的这种由简到难的风格很好,难度还是非常合适的。 (二)知识分布较全面 理科考察:集合交并补;复数四则运算;三角函数图像性质;三视图体积表 面积;空间点线面位臵关系;函数图像;平面向量(几何运算) ;统计(直方图) ; 圆锥曲线(双曲线,直线与抛物线位臵关系) ;几何概型;不等式(线性规划,基 本不等式) ;绝对值不等式求解;函数零点(指数与一次,数形结合) ;程序框图 (数列求和) ;函数性质(奇偶性,单调性,周期,对称,零点,数形结合) ;三 角与解三角形;立体几何平行证明,求二面角;概率互斥,独立,期望等;数列 通项,等差等比形式,不等关系;函数应用题,建模,求导数,运用导数等;解 析几何圆与椭圆,直线与圆相切,直线与椭圆相交,向量垂直等! 理科未涉及方面:条件概率,正态分布,线性回归,独立性检验,变量的中 位数,众数,平均数,方差,标准差,排列组合,二项式定理,反函数(了解) , 数列求和,解析几何中圆锥曲线的定义,全称与特称命题,幂函数,定积分,二 次不等式解法,类比推理,二项分布,超几何分布等! 对于今年未涉及知识(当然有可能有的在文科卷中体现)有两种可能:一是 明年加强;二是增加交汇题目使一题涉及多个知识点!

- 15 -

文科考察:集合交并补;复数四则运算;三角函数图像性质;三视图体积表 面积;空间点线面位臵关系;函数图像;平面向量(几何运算) ;统计(直方图) ; 圆锥曲线;几何概型;不等式(线性规划,基本不等式) ;函数零点(指数与一次, 数形结合) ;程序框图(数列求和) ;函数性质(奇偶性,单调性,周期,对称, 零点,数形结合) ;三角与解三角形;立体几何平行垂直证明;古典概型;数列通 项,等差等比形式,不等关系;函数与导数,运用导数等;解析几何圆与椭圆, 直线与圆相切,直线与椭圆相交,向量垂直等! 文科未涉及方面:线性回归,独立性检验,流程图,结构图,变量的中位数, 众数,反函数(了解) ,解析几何中圆锥曲线的定义,全称与特称命题,幂函数, 二次不等式解法,类比推理等! (三)试卷高度吻合考试说明 “考试说明”就是高考命题的指南针,何种知识考察到何种程度?新的变化?需 要平时渗透给学生,因为学生是很少体会思考“考试说明”的,甚至大部分学生 只顾做题,根本不关心“考试说明”是如何要求的,新的变化是什麽?举例:为 甚麽今年理科 20 题会将不等关系与数列结合?从考试说明增加 “反证法, 放缩法” 就应该有所准备!为甚麽归纳法与放缩法同样可以解决?因为归纳法与放缩法同 样是“了解” !为甚麽文理 22 题会将“圆与椭圆”交汇?“理科考试说明”对圆 锥曲线要求是:一掌握(圆,椭圆,抛物线,并且去年已经考察了抛物线) ,一理 解(理解数形结合思想,最好的考察数形结合的载体就是“圆”或“向量”,其 ) 余均是了解!因此,其实早在一摸后根据“青岛一摸”理科 21 题,我们就探讨解 析几何大题中“圆与椭圆”交汇的问题(当然也有可能是通过向量来设计更多更 深的数形结合,相信这一点在明年高考也是很有可能的) 。因此对于向量与解析几 何更深层次的交汇并体现“数形结合”思想的问题应该值得重视,其实我们平时 真正涉及较深的交汇不多!总之,考试说明对于高考是最具指导性的,应该将其 渗透于学生的“血液”中! (四)值得商榷的几个问题 1. “曲线与方程”有些朦胧?对于“曲线与方程”理科考试说明中要求是了 解,文科考试说明没有明确要求。但是 2008 年文科 22 题考察了“轨迹法”求方 程,而且答案给的是“消参法” ;2008 山东理科却是“待定系数”问题。2009 年

- 16 -

文科为二次曲线轨迹问题讨论,理科则是“待定系数”问题。感觉明显的文科难 于理科!似乎与考试说明要求的截然相反! 2.函数偏重?函数小题 4 个,感觉较多,3 个就可以吧。其中理科第 10 题主 要考察函数周期, 但是周期性在考试说明里只有一句话 “了解三角函数的周期性” , 此题非要将周期问题设计上似乎价值不大.考察分段函数与对数运算就够好的了。 作为选择填空我觉得主要是考察基础知识,函数过多必定使得有些知识难以考察, 而且今年的函数题都是“纯函数” ,均未能和其他知识交汇! 3.新增知识地位不高?幂函数,零点,全程与特称命题,三视图,定积分, 条件概率(理科) ,几何概型,推理证明,算法初步,超几何分布(理科) ,茎叶 图,流程图与结构图等 07,08 新增知识似乎所占比例不高!其中几何概型今年是 第一年考察,感觉姗姗来迟。超几何分布好像一直未有其身影!理科的条件概率 也仅仅是 08 年考了一次。建议 07,08 来新增内容尽量在高考题中予以体现。 4.选择填空题中知识交汇的题目感觉偏少?有不少知识完全可以通过与其它 知识交汇的方式来考察。如:今年的理科 15 题为数列与程序框图交汇,因此数列 就未再出小题;再如理科第 9 题为双曲线与抛物线交汇,理科 22 题为圆与椭圆交 汇,因此整个解析几何只要 2 个题就够了;还有理科 12 题将线性规划与基本不等 式交汇考察。类似的交汇题目再多些的话相信知识会考察的更全面!建议在小题 方面:如果将复数,二项式定理等交汇 1 题;几何概型,线性规划,定积分等交 汇 1 题;将集合与不等式,幂函数,全称与特称命题的否定,函数零点等放在一 题中分别判断 1 题;数列与框图交汇 1 题;直方图,茎叶图,平均数,方差交汇 1 题;函数图像性质 2 题;三角函数 1 题;基本不等式应用题 1 个;平面向量与物 理知识交汇 1 个;抛物线与导数交汇 1 题;双曲线离心率 1 题;类比推理,数列 交汇 1 题;立体几何 2 个小题;排列组合概率(条件概率)1 个;正态分布(理) , 线性回归,回归分析,独立性检验应该考 1 个了。这样 16 个小题可以考察的知识 更全面些。 5.文理差别?09 高考卷中有些知识文科涉及理科没有,有些反之,而考试说 明对于这些知识文理要求是相差不大的。如数列求和理科未考但文科考察,数列 小题文科有 1 个,理科没有专门的数列小题;近几年文理科的函数解答题差别也 较大,其实考题的难度差不多,都比较难。既然都比较难还分文理就意义不大了

- 17 -

吧,我觉得 09 年文科 21 题好像比理科 21 题要难等等。但是在这些有的考试说明 的要求上好像文理是一样的,希望这样的就不要制造文理不懂的题目了吧;有的 是不一样的,这样的尤其是在难度上要有明显的分别,文比理还难是不合适的。 像文理的 11 题这种文理差异还是比较好的。因此,还是建议文理不要差别太大, 姊妹题的形式还是比较好的! 6.推理证明?正态分布?回归分析?线性回归?独立性检验?流程图?结构 图?算法案例?算法语句?等问题一直是很困扰老师和学生的。 好像从 2005 年山 东自主命题以来好像山东高考从未涉及,但是考试说明一直要求了解,课本又有 很大的篇幅,的确让人很难处理,希望在考试说明里将这类问题要求的更具体些, 最好是干脆删掉。其中类比推理等问题似乎应该考察了,作为新增知识近几年都 没有考察。但是从各地复习情况来看多数对此不重视或者说无法重视,内容多难 以复习! 7.最后两道题题运算量似乎过大?从答案来看这两道题目主要还是考察通 法,大部分学生可能想不到降低运算的巧法!这样即使思维能力足够但是不用技 巧似乎也很难得满分!从接触的学生来看大部分水平很高的学生主要问题都是算 不完,我曾经作了一下,在答题区根本做不开。因此有个疑问,考试说明要求的 第一能力为运算能力,但往往没有一定运算技巧就很难算出来,似乎运算量过大 了。尤其是分式运算问题,2006 山东文 21,2008 山东文 22,2009 山东理科 21, 22 都在考察, 尤其今年放在两个题里学生难以承担!但是,非常令人陶醉的是“圆 与椭圆的完美交汇” !很希望在这个方向上继续发展,留下高考史上的一段佳话! 8.文科的概率大题问题不明朗?文理的概率统计应该更加加强? 从考试说明近近几年高考题看文科的应用题问题不如理科明确。由于文科概率 没有排列组合基础因此命题不会太难,正是基于此很多时候我们都不敢确定概率 是否会出大题?如 2007 年用线性规划取代大题!再好在考试说明中明确一下,最 好将概率的大题地位确定下来!从近几年各地一摸题看对于文科概率大题均有些 不确定。 由于我们考试说明要求的第二能力是“数据处理能力” ,且我们的概率统计又 是考察这一思想的很好载体,并且近几年随着“条件概率”“几何概型” , “超几何 分布” “茎叶图”等知识的新增,概率统计有很多考点,应该加大对这部分知识的

- 18 -

考察力度,3 个小题应该是可以接受的。 (五)对高考命题的一些思考 1.高度重视运算能力(包括适当的运算技巧如:换元,分式,向量几何运算, 圆的数形结合运算) ,对,指,幂运算等需要不断强化!很多学生不重视运算,很 多考生败于“运算” ! 2.源于课本。结合考试说明,利用好课本题目的形式,如:今年 21 题的模 型与“课本必修 1 中 126 页第 7 题的模型! 3.平时模拟训练应该“全面” ,其实今年山东各地一摸,二摸题中涉及“应 用题”很少,尤其是函数应用题!甚至很多地区的一摸,二摸题过于简单甚至两次 都过于简单也未必是好事,应该在高考前尽量让学生接触更多的风格和变化,过 分集中于某一点是危险的! 4. “考察基础知识,注重思想能力” ,考试说明中要求的知识点及相应层次必 须到位!注意新课程对学生探索,应用意识的要求! 5.学会体会思考高考的经典。 2006 年山东高考数学理科(18)设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中 a ? -1,求

f(x)的单调区间。
2007 年山东高考数学理科(22)设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ?
1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点;
?1 ? 1 1 (Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

2008 山东高考数学理科(21)已知函数 f ( x) ? 常数. (Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值;

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为 (1 ? x)n

(Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n,当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1.
(一次) Ln(一次) , (二次) Ln(一次) , (三次) Ln(一次) , (类似幂函数) ln() ! ? ? ? ?

三年来我们目睹了一段经典传奇! ()+ln()反复挖掘,其特点决定了(1)定义域

- 19 -

问题(2)求导问题(3)三个二次问题(通分后) (4)构造函数证明不等关系! 今年的题目很好的考察了学生解决问题的能力。 年为一次+ ; 年为二次 06 () 07 (三 次)+() ;08 年为(n 次,类似幂函数)+() ;往后会怎样?是否到尽头!相信 出题者如果想是会继续发展的,函数的下一站会怎样?数学之美通过函数完美展 现,向山东高考卷致敬!在 2009 年高考前我个人猜测两种可能:一是可能这种形 式会告于段落(因为似乎已经走向“巅峰”了!;二是可能继续发展,请我们相 ) 信命题者的水平吧!我当时猜是不是会出现 (指数) ln(对数) ?!当然最终高考转 ? 移到了“函数应用题”问题!似乎告于段落,但是“江东才子多才俊,卷土重来 未可知! ” 再联想今年文理科 22 题,感觉圆与椭圆似乎“意犹未尽” ! 其实我们山东卷有不少经典题目,如 2005 年山东理科 21 题,2006 年山东理 科 21 题,2007 山东理科 22 题,及今年文理的 22 题,都是非常经典的,经常可以 见到他们的变式问题!
绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学(全解析)
注意事项: 1 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第 I 卷(共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1) 已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =
2

?

?

- 20 -

A.

? x ?2 ? x ? 2?

B.

? x ?2 ? x ? 2?

C. x x ? ?2或x ? 2

?

?

D.

? x x ? ?2或x ? 2?

(3)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为
x

?

?

A.

? 0, ?? ?

B.

? 0, ?? ? ?

C.

?1, ?? ?
x

D. ?1, ?? ? ?

【答案】A
x 【解析】因为 3 ? 1 ? 1 ,所以 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 ? log 2 1 ? 0 ,故选 A。

?

?

【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。 (4)在空间,下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

- 21 -

【命题意图】本题考查平均数与方差的求法,属基础题。 (7)设 ? an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ? an ? 是递增数列”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】C (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】若已知 a1 <a 2 ,则设数列 ?a n ? 的公比为 q ,因为 a1 <a 2 ,所以有 a1 <a1q ,解得 q>1, 又 a1 >0 ,所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列,则公比 q>1 且 a1 >0 , 所以 a1 <a1q ,即 a1 <a 2 ,所以 a1 <a 2 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,属保分题。 (8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式为

1 y ? ? x3 ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3
(A)13 万件 (C) 9 万件 (B)11 万件 (D)7 万件

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(10)观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的
2 '
4 ' 3 '

函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) = (A) f ( x) 【答案】D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数 f ( x) 是偶函数,则它的导函数是奇函数, 因为定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,即函数 f ( x) 是偶函数,所以它的导函数是 奇函数,即有 g (? x) = ? g ( x) ,故选 D。 【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识,考查同学们类比归纳的能力。 (11)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是
x 2

(B) ? f ( x)

(C) g ( x)

(D) ? g ( x)

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【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2 - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 - x =
x

2

x

2

1 ? 4<0 ,故排 4

除 D,所以选 A。 【命题意图】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力。 (12)定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下:对任意的 a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令

a ? b ? mq? np,下面说法错误的是
(A)若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0 (B) a ? b ? b ? a (C)对任意的 ? ? R ,有 (? a) ? b ? ? (a ? b) (D) (a ? b) ? (a ? b) ?| a | | b |
2 2 2 2

【答案】B 【解析】若 a 与 b 共线,则有 a ? b=mq-np=0 ,故 A 正确;因为 b ? a ? pn-qm ,而

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b=mq-np ,所以有 a ? b ? b ? a ,故选项 B 错误,故选 B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识 以及分析问题、解决问题的能力。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
(13)执行右图所示的程序框图,若输入 x ? 4 ,则输出 y 的值为 【答案】 ? .

5 4 1 1 1 ? 4-1=1 ,此时|y-x|=3;当 x=1 时,y= ?1-1=- , 2 2 2

【解析】当 x=4 时,y= 此时|y-x|= 当 x= ?

3 ; 2

1 1 1 5 5 3 时,y= ? ? ) ( -1=- ,此时|y-x|= <1 ,故输出 y 的值为 ? 。 2 2 2 4 4 4
x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4
.

【命题意图】本题考查程序框图的基础知识,考查了同学们的试图能力。 (14)已知 x, y ? R ? ,且满足

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(16) 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得 的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 【答案】 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 【解析】由题意,设圆心坐标为 (a,0) ,则由直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得 .

的弦长为 2 2 得, (

| a-1| 2 ) +2=(a-1) 2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 2

,又已知圆 C 过点(1,0) ,所以所求圆的半径为 2,故圆 C 的标 a=3 ,故圆心坐标为(3,0) 准方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.
(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到 2

? ?? 函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ?0, ? 上的最小值. ? 16 ?
【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质,进行运算、变形、

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转换和求解的能力。 【解析】

因此 1 ? g(x) ?

1? 2 ,故 g(x)在此区间内的最小值为 1. 2

(18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? 2a1 ? 10d ? 26 ?
2 所以 an ? 3 ? (n ? 1)=2n+1 ; S n = 3n+
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 = ? = = ?( ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

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所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1- + ? +? + ) = ? (1)= 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n 。 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

(19) (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m, 将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率. 【命题意图】本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算,考察学生分析问题、解决问 题的能力。

【命题意图】本小题主要考查空间中的线面关系,考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体 体积的计算,考查试图能力和逻辑思维能力。 【解析】 (I)证明:由已知 MA 平面 ABCD,PD ∥MA, 所以 PD∈平面 ABCD 又 BC ∈ 平面 ABCD, 因为 四边形 ABCD 为正方形, 所以 PD⊥ BC

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又 PD∩DC=D, 因此 BC⊥平面 PDC 在△PBC 中,因为 G 平分为 PC 的中点, 所以 GF∥BC 因此 GF⊥平面 PDC 又 GF ∈平面 EFG, 所以 平面 EFG⊥平面 PDC. (Ⅱ )解:因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1, 则 PD=AD=2,ABCD 所以 Vp-ABCD=1/3S 正方形 ABCD,PD=8/3 由于 DA⊥面 MAB 的距离 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3,所以 Vp-MAB:Vp-ABCD=1:4。 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (II)当 a ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

(Ⅱ)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

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所以

ax 2 ? x ? 1 ? a 1 a ?1 ?? f ' ( x) ? ? a ? 2 x x2 x

x ? (0,??) ,



g ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

③ 当 a<0 时,由于 1/a-1<0, , x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f (x)<0 函数 f(x)单调递减; , x∈(1 ,∞)时,g(x)<0 此时函数 f (x)<0 单调递增。 综上所述: 当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当 a=1/2 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当 0<a<1/2 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1,1/a -1)上单调递增; 函数 f(x)在(1/a,+ ∞)上单调递减。 (22) (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过点. a 2 b2

(1,

2 2 ) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 、 2 2

F2 .点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意
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一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k 2 . (i)证明:

1 3 ? ?2; k1 k2

(ii)问直线 l 上是否存在点 P ,使得直线 OA 、OB 、OC 、OD 的斜率 kOA 、kOB 、

kOC 、 kOD 满足 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不
存在,说明理由.

因此结论成立。

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2010 年全国高考数学(山东卷) 试卷分析
一、试 卷 综 述
2010 年的高考是我省实施新课程改革后的第四次自主命题考试.今年的高考试题是新课程 改革的又一次真正的检验, 是新课程改革的主要指向标,对今后新课程改革和中学数学教学 均具有较强的指导作用. 命题严格遵守《2010 年普通高等学校招生全国统一考试大纲(课程标准实验版)(以下 》

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简称《大纲》 )和《2010 年普通高等学校招生全国统一考试(课程标准实验版)山东卷考试说 明》 (以下简称《说明》,遵循“有利于高等学校选拔新生、有利于中学推进素质教育和课程 ) 改革、有利于扩大高校办学自主权、有利于考试科学、公正、安全、规范”的命题原则.命 题根据山东省高中教学的实际情况,不拘泥于某一版本,重点考查高中数学的主体内容,兼 顾考查新课标的新增内容,加强了对数学的应用的考查, 体现了新课程改革的理念.试卷在考 查基础知识、基本能力的基础上,突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查. 试卷的知识覆盖面广,题目数量、难度安排适宜,题设立意新颖,文、理科试卷区别恰 当,两份试卷难、中、易的比例分配恰当. 试卷具有很高的信度、效度和区分度.达到了考基 础、考能力、考素质、考潜能的考试目标.命题稳中有变,稳中有新,继续保持了我省高考自 主命题的风格,具有浓郁的山东特色.

二 试 卷 特 点 1 试卷的整体结构和知识框架
试卷的长度、题目类型比例配置与《考试说明》一致,全卷共 22 题,其中选择题 12 个, 每题 5 分,共 60 分,占总分的 40%;填空题 4 个,每题 4 分,共 16 分,约占总分的 10.7%; 解答题 6 个,前 5 个题目每题 12 分,最后一题 14 分,共 74 分,约占总分的 49.3%,全卷合 计 150 分. 试题在每个题型中均基本按照由简单到复杂的顺序排列,难度呈梯度增加.全卷重点考查 中学数学主干知识和方法(见表 2);侧重于对中学数学学科的基础知识和基本能力的考查;侧 重于知识交汇点的考查,加强了对考生的数学应用意识的考查. 2010 年山东高考数学试卷全面考查了《考试说明》中要求的内容,在全面考查的前提下, 突出考查了高中数学的主干知识如函数、三角函数、不等式、空间几何体、圆锥曲线、概率 统计、导数及应用等主要内容,试卷兼顾了新课改新增加的内容如正态分布,方差,定积分 等,尤其是两份试卷的解答题,涉及内容均是高中数学的主干知识, 试卷加强了对数学应用 意识的考查,结合中学的主干知识,考查了和函数以及概率统计相关的应用题,突出体现了 新课程改革的理念, 明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.

2 全面体现新课程改革的要求
从表 1 不难发现, 2010 年的考试内容体现了新课标的要求.对新课标增设内容如算法与框 图、方差、正态分布、统计、概率和分布列、常用逻辑用语,绝对值不等式以及文科的复数 等均体现在试卷中.充分体现了“高考支持新课程改革”的命题思路,同时又兼顾到试卷涵盖 的各部分内容的平衡,并注意对这些新增内容的考查把握适当的难度,注意到这部分内容的 应用.如利用统计中的方差考查学生收集、分析和整理数据的能力以及应用数学的意识;利用 程序框图简约地表示解决问题的算法流程.

3 文理有差异,内容有区别
命题注意到文理科学生在数学学习上的差异, 对文理科学生提出不同的考查要求 (见表 3) . 增加了不同题、适当控制相同题和姊妹题的个数和分数. 1、难度要求相异 如选择题中文科(13)和理科(13)题都是程序框图问题,题干完全相同,但文科试题比

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理科试题要简单;文科(7)和理科(9)题干完全相同,文科增加了条件:首项大于零, 使 题目简单了许多。文理第(14)小题, 文科要求写出圆的方程,而理科则必须在求出圆的方 程后,再求直线方程,考察的知识点比理科多。理科(21)和文科(22)题,可以看出这是两 道姊妹题,但是理科以椭圆为主体,结合双曲线,重点考察直线和圆椎曲线的关系,而文科虽 然也是以考察椭圆为主体,但是结合直线考察直线和圆椎曲线的关系,入手容易。 2、对相同知识点考查也有区别 例如文科(21)和理科(22) ,都是考查导数及其应用, 但是文科(21)侧重对导数的 直接应用,方法上主要考查通性通法,而理科(22)作为一道压轴题,在第二设问中考察了 考生的逻辑用语,全称量词等,思考量极大,属于较难题.这样处理符合新课标对文理科学生 有不同学习要求的精神,符合当前中学数学教学以及学生的实际学习状况.

4 注重数学的应用和创新
对数学的应用和对数学本身的探索是学习数学的两个主要目的,中学数学教学要体现数 学的应用,以期达到学以致用的最终目的,而要达到这样的目的,应用题就是一个很好的训 练方式,通过对应用题的考查让学生从实际背景中提炼所需要的数学知识和数学方法,最终 解决实际问题,培养学生如何将实际问题转化为数学问题,进而利用所学的数学知识和数学 方法解决这个数学问题,然后再回到实际中,利用所得的结果解释实际现象.这是数学的应用 过程,我们的绝大多数考生最终主要是用数学的,需要熟悉这个过程,并熟练运用它到未来 的生活中,对这种数学的应用意识的考查是必要的,不可缺少的. 文科(6) 是关于体育比赛评判的应用题,考查了数据处理中平均值和方差的应用。 : 文科(8) 是经济学中的应用题, 考察利润和年产量的关系, 考察导数的应用。 : 文科(19) :是概率知识在小球编号方面的应用; 理科(8) :利用排列组合解决节目编排次序的问题 理科(20) :利用概率解决知识竞赛中答题得分情况的问题 所有这些问题均体现了命题者的这样的思想:利用所学的数学知识、方法解决实际问题. 这些题目均具有较强的实际背景,考查考生应用数学知识和方法解决实际问题的能力.题设立 意新颖,设问巧妙,独具匠心,背景清晰明了,都是学生熟悉并关心的事件,如产品抽检和 租赁,汽车销售,体育训练,城市建设,成绩测试等. 数学的学习还应体现数学的创新意识,应引导学生从已有的知识结构中去发现未知的数 学知识,对数学本身的探索,是数学学习的一个非常重要的目的. 文理科 (12) 题考查向量知识, 是对向量知识的综合应用, 中学只是介绍了向量的数量积, 本 小题则介绍了向量的外积概念, 考查外积的基本性质, 是运用已有知识获得新知识的典范。 题 目虽然简单,但是蕴含了命题者旨在体现学生的探索精神的良苦用心. 理科(21) 文科(22) , :做完这道题后我们一定还有很多想法,似乎问题并没有结束, 理科(21)题第二设问得出的结果非常完美对于双曲线上任意点 A (异于顶点) ,和双曲线的 两个顶点的连线所得两直线的斜率互为倒数, 题目中这个结果是对一个第一设问求出的特殊 双曲线才成立的,我们自然要问: (1) 这样的结果对一般的双曲线有没有? (2) 其他的曲线或直线呢? (3) 其他的圆锥曲线有无相应的结果? 文科(22)第二设问得第二个问题,也是非常值得回味的,体现了数学的美。 由此看出,试卷就象一个窗口,我们看到的很少,我们待考查的很多,如同一个充满新奇和 宝藏的迷宫,试题仅仅掀开了冰山一角,许多的知识尚待探索,这样层层设问又无穷尽的设 问方式,给考生留下了很多疑问,而这些疑问将带他们探索更多的未知知识.

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5 适度综合考查,提高试题的区分度
本次数学试卷的另一个特点是综合性的题目明显增多, 很多题目是由多个知识点构成的, 这有利于考查考生对知识的综合理解能力,有利于提高区分度,在适当的规划和难度控制下, 效果明显. 文科(10) :是结合导数考察逻辑推理的, 需要考生对这些知识点有深刻理解. 文理科(12) :考查了向量的外积的性质,外积对考生来说是个新的概念,是利用向量的 知识的综合运用。 文科(21) :结合导数的应用考查了函数曲线的几何意义,分类思想, 考察了对数函数, 幂函数,分式函数的求导, 是一道综合了多个知识点的题目,具有较高的区分度。 文科(22) :综合考查直线和椭圆位置关系,考查了分类思想、方程的思想;考查了由特 殊到一般的探究方法、该题综合性极强,具有适当的难度和较好的区分度. 理科(12) :同文科(12) 理科(16) :综合考查了直线和圆的位置关系, 考察了直线截圆所得弦长,考查了点到 直线的距离,考察了两直线的位置关系, 是一道综合性较强的题目,具有较好的区分度。 理科(21) :综合考察了两类圆锥曲线, 椭圆和双曲线,增加了试题的难度和区分度, 考查了方程的思想;考查了数形结合的思想,考查了量的不变性,考查了考生的运算能力 和数据整理能力,该题综合性极强,具有适当的难度和较好的区分度. 通过考查知识的交汇点,对考生的数学能力提出了较高的要求,提高了试题的区分度, 体现出高考的选拔功能,这和当前新课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际 情况是吻合的.

6 试题入口容易,得高分难
试卷共有六道大题,题目按照由易到难的顺序排列,前面的题目较简单,使考生不会面 对大题,知难而退,每道大题也遵循由简单到复杂的顺序编排,循序渐进,逐渐达到应有的 难度,这样的安排,更适合考生发挥最大的潜能,更好的体现区分度, 更有利于高校选拔合 适的人才. 理科第(21)题,第一设问:注重考察基本知识; 第二设问,考察双曲线的性质,难度 稍大,第三设问, 考察直线和圆锥曲线的关系,难度又有提高,该题作为压轴题之一,难度 层层提高,具有较高的区分度。 例如理科(22)题,作为试卷的压轴题,第一设问是基本的知识点考查,考察函数的导 数的基本知识,考生不会有太大的困难,但是要求考生对分类思想有清晰的认识;如此设问, 让一般水平的考生能得分,中等偏上的考生得高分,优秀的学生得满分;第二设问关于 b 的取 值范围,因为思考量大,是较优秀的学生才可斩获的,该题难度逐级提高,具有很强的区分 度. 文科(21)题, (22)题,也是按照这样的思路安排的,具有较高的区分度,很好的完成 了压轴的任务。

7 命题符合中学的教学课时分配
今年的试题在各个知识点的分数值和该知识点所占的中学教学课时量基本保持一致,这 对中学教学将会起到重要的指导性作用,我们不希望看到这样的景象:在教学中,因为某一 模块虽然在教学中要求的课时不多,但是因为在高考中占的分值很高,所以,教师在教学中

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便挤占其它模块的课时,加重这部分模块的学习. 高考必须符合教学原则,反过来又对中学 教学起重要的导向作用.从表一中我们可以看出,函数(包括三角函数)所占的分值达 50 多 分,这和函数在中学教学中的地位是一致的,纵观今年的高考试题, 试题知识点从难度和分 值上分布都是合理的.

8 试题涵盖了考生继续深造应该具备的知识和技能

高考的一个重要作用是为高校选

拔合格的人才,他们应该具备一定的知识和技能. 从这个层面上认识高考,我们认为, 高考 应该具有过关的功能,应该能够衡量一个考生是否具备了继续深造的能力,今年的高考命题 在这一方面我们认为很好的贯彻了这一思想.试题中有很多是基本知识和基本技能的考查,例 如函数性质,三角函数,向量,立体几何和平面解析几何知识,概率和统计以及分类思想, 函数和方程思想,必然和或然的思想,特殊与一般的思想等,都是进入高校后继续学习必备 的知识和素养.

二 试 题 特 点 1 注重双基考查,突出通性通法
2010 年数学试题,延续了往年的命题思路,即注重考查基本知识和基本技能,重点考查 通性通法,避免设计偏题和怪题,适当控制运算量,适度加大思考量,在大题中,每个题的 难度按照由易到难的梯度设计,学生入口容易,但是又不能无障碍的获得全分;整个大题也 是按照这样的梯度设计的,前面的题容易,难度慢慢上升,使学生慢慢适应考题的难度,有 利于发挥学生的最大的潜能,不至于使学生一见到题目就懵,本来会的也做不出来的尴尬境 地,从方法上,则重点考查通性通法, 也兼顾重要的特殊性质,特殊方法,鼓励考生发散思 维,不拘一格,从考生答题来看,命题确实做到了这一点.

2 注重考查数学的各种思想和能力 2.1 数形结合的思想
文理(11) :函数 y ? 2 ? x 的图像大致为
x 2

(图略) 解析:本小题主要考查利用函数性质确定函数图像的能力. 因为当 x ? 0 时, 函数有两个零点 x ? 2, x ? 4 , 则答案应该在 (A) D) , 中选择, ( 又当 x ? 0 , 原来越小时,函数值应该小于零,故答案选择(A) 。 理(16) :已知圆 C 过点 (1, 0) , 且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截 得的弦长为 2 2 , 则过圆心且与直线 l 垂直的直线方程为 ________ 解析: 本小题主要考查直线和圆的位置关系, 考查数形结合的能力, 因为直线 l : y ? x ? 1 的斜率为 1, 倾斜角为

? , 故圆的直径一定为 4, 所以圆心坐标为 (3, 0) , 故过圆心且与 4

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直线 l 垂直的直线的方程为 x ? y ? 3 . 文(16) :已知圆 C 过点 (1, 0) , 且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所 截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 _______ 解析: 本小题主要考查直线和圆的位置关系, 考查数形结合的能力, 因为直线 l : y ? x ? 1 的斜率为 1, 倾斜角为
2 2

? , 因此圆的直径一定为 4, 所以圆心坐标为 (3, 0) ,所以圆的标准 4
1? a ? 1(a ? R) x

方程为: ( x ? 3) ? y ? 4 。 理(21) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? :

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; 分析:通过数形结合,切线的斜率即函数 f ( x) 在该点的导数。.

x2 ? x ? 2 解:由已知得 f '( x) ? , ( x ? 0) x2
因此 f '(2) ? 1 , 又 f (2) ? ln 2 ? 2 因此曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x ? y ? ln2 ? 0 。

2.2 分类思想
分类思想是一种重要的数学思想,这种思想能够使我们思路清晰,处理问题井井有条, 层次清晰,真正做到不重不漏,养成严谨缜密的思维习惯.这种思想应该在中学数学的教学中 得到应有的重视.在 2010 年的试题中,这一点得到了充分的体现. 理(8) :某台小型晚会由 6 个节目组成, 演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节 目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位, 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 (A) 36 种 (B) 42 种 (C) 48 种 (D)54 种 分析:该题考查排列组合的基本知识, 考察分类思想. 解:按照甲的位置分类, 分为两种情况, 当甲在第一位时,共有 P4 ? 24 中排法; 当甲在
4

第二位时,共有 C3 P ? 18 中排法,因此该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 42 种排法, 3
1 3

答案为(B). 理(22) :已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

- 36 -

i. ii.

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 . 当 a ? 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0, 2) , 存 在 x2 ? [1, 2 ] 使 , 4
当a ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 求实数 b 的取值范围.
解析:本题第一设问从知识点看难度不但,该设问主要考察分类思想,分类情形多,考察考 生分析问题,解决问题的能力. 解:因为 f ( x) ? ln x ? ax ? 所以 f '( x) ? ?
2

1? a ?1 . x

ax 2 ? x ? 1 ? a , x ? (0, ??) x2

令 h( x) ? ax ? x ? 1 ? a (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ? x ? 1 , x ? (0, ??) 所以 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递增; (2)当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 , 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?
2

1 ?1 . a

(a) 当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立,此时 f '( x) ? 0 , 函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调 2 1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 , 2 a

递减。 (b) 当 0 ? a ?

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减。

1 x ? (1, ? 1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。 a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减。 a 1 (c) 当 a ? 0 时,由于 ? 1 ?? 0 a
x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减。
x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
(II)因为 a ?

1 1 ? (0, ) , 由(I)知, x1 ? 1, x2 ? 3 ? (0, 2) , 当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 , 4 2

- 37 -

函数 f ( x) 单调递增;当 x ? (1, 2) 时, f '( x) ? 0 , ,函数 f ( x) 单调递增, 所以 f ( x) 在 (0, 2) 上的最小值为 f (1) ? ?

1 . 2

由于“对任意的 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ? [1, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于 “ g ( x) 在 [1, 2] 上的最小值不大于 f ( x) 在 (0, 2) 上的最小值 ? 又 g ( x) ? ( x ? b) ? 4 ? b , x ? [1, 2] , 所以
2 2

1 ” 2

(*).

(a) 当 b ? 1 时,因为 g ( x) min ? g (1) ? 5 ? 2b ? 0 , 此时与(*)矛盾; (b) 当 b ? [1, 2] 时,因为 g ( x) min ? 4 ? b ? 0 , 此时与(*)矛盾;
2

(c) 当 b ? [2, ??) 时 , 因 为 g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4b , 解 不 等 式 8 ? 4b ? ?

1 ,可得 2

b?

17 . 8 17 , ??) . 8

综上所述, b 的取值范围是 [

文科(21) (II) :同理科(22) (I), 略 文科(22) :已知椭圆

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) , 离心率为 , 左右焦点分别 2 2 2 a b

为 F1 , F2 . 点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交 点分别为 A, B 和 C , D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 . (i) 证明:

1 3 ? ?2 k1 k2

(ii) 问直线 l 上是否存在点 P , 使得直线 OA, OB, OC, OD 的斜率 kOA , kOB , kOC , kOD 满 足 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理 由. 解析:本题第二设问的第二小问,考察了分类思想. 解(II) (ii)设 A( xA , y A ), B( xB , y B ), C( xC , yC ), D( x D , y D ) . 联立直线 PF1 与椭圆的方程并化简得:

- 38 -

(2k12 ? 1) x 2 ? 4k12 x ? 2k12 ? 2 ? 0
因此

x A ? xB ? ?

4k12 2k 2 ? 2 , x A xB ? 12 2k12 ? 1 2k1 ? 1

由于 所以

OA, OB 的斜率存在,
xA ? 0, xB ? 0 , 因此 k12 ? 0,1 .
kOA ? kOB ? y A yB 2k ? ?? 2 1 x A xB k1 ? 1

因此

同理

2 xC ? 0, xD ? 0 , k2 ? 0,1 , kOC ? kOD ? ?

2k1 , k12 ? 1

则 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? ?

2(k1k2 ? 1)(k1 ? k2 ) . 2 (k12 ? 1)(k2 ? 1)

若 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 , 须有 k1 ? k2 ? 0 或 k1k 2 ? 1 . (a) 当 k1 ? k2 ? 0 时,结合(i)的结论,可得 k2 ? ?2 , 所以解得点 P 的坐标为 (0, 2) ; (b) 当 k1k 2 ? 1时, (i) 结合 的结论, 解得 k2 ? 3 或 k 2 ? ?1(不合题意, 舍去) 此时直线 CD ,

5 3 ,y? 4 4 5 3 综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为 (0, 2) , ( , ) . 4 4
的方程为 y ? 3( x ? 1) , 联立方程 x ? y ? 2 得 x ?

2.3 函数与方程的思想
今年的试卷中,更多的体现了函数与方程的思想,例如理科(11) (14)(16) (21), , , (22) 文科(9)(11)(14)(16),(21)都是利用了函数和方程的思想. , , , , 例 文理(11) :函数 y ? 2 ? x 的图像大致为
x 2

(图略) 解析:本小题主要考查利用函数方程的根的情况确定函数图像的能力. 因为当 x ? 0 时, 函数有两个零点 x ? 2, x ? 4 , 则答案应该在 (A) D) , 中选择, ( 又当 x ? 0 , 原来越小时,函数值应该小于零,故答案选择(A) 。 文理 18:已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 . {an } 的前 n 项和为 S n . (I) 求 an 及 S n ;

- 39 -

(II)

令 bn ?

1 (n ? N * ) , 求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . a ?1
2 n

解析:通过求解方程组求得数列 {an } 的首项和公比,是解答本题的关键。 解:设等差数列 {an } 的首项为 a1 , 公比为 d , 由 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 得 ?

? a1 ? 2d ? 7 ?2a1 ? 10d ? 26

解得: a1 ? 3, d ? 2 , 故 an ? 2n ? 1, Sn ? n(n ? 2) . (II) 略. 理科 21: 已知椭圆

x2 y 2 2 , 以该椭圆上的点和椭圆的左右 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D . (I) 求椭圆和双曲线的标准方程; (II)设直线 PF1 和 PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 证明: k1k 2 ? 1 ; (III)是否存在常数 ? , 使得 AB ? CD ? ? AB CD 恒成立? 若存在, 求 ? 的值; 若 不存在,请说明理由. 解析:由题意,通过求解方程:

? c 2 ? ? a 2 ? ? 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) ? 得到 a, c ,得到椭圆的标准方程.
在第三设问中,通过将直线方程代人椭圆方程,求出弦长,找到所需的关系. 解:设椭圆的半焦距为 c , 由题意知:

? c 2 ? ? a 2 ? ? 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) ?
解得: a ? 2 2, c ? 2 .
- 40 -

又 b ? a ?c , 则 b ? 2.
2 2 2

所以 椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4
x2 y 2 ? ?1, m2 m2

设等轴双曲线的方程为

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,故 m ? 2 ,

x2 y 2 所以 等轴双曲线的标准方程为 ? ? 1. 4 4
(II) 略 (III)由于 PF1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) , 将其代入椭圆方程得

(2k12 ? 1) x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 则

8k12 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? 12 2k12 ? 1 2k1 ? 1 k12 ? 1 , 2k12 ? 1

AB ? 1 ? k12

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 4 2

2 k2 ? 1 同理 CD ? 4 2 , 2 2k 2 ? 1

所以

1 1 3 2 ? ? AB CD 8

故 存在 ? ?

3 2 , 使 AB ? CD ? ? AB CD 恒成立. 8

AB ? 1 ? k12

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 4 2

k12 ? 1 , 2k12 ? 1

2.4 划归的思想
归纳推理的思想是一种重要的数学思想,通过对事物的相似性分析,归纳得到新的结论, 然后证明结论是正确的,是我们认识新事物的一种重要方法,今年的高考试卷中充分体现了 这样的思想 文科(10)观察 ( x ) ' ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ' ? ? sin x , 由归纳推理可得:若
2 4 ' 3

- 41 -

定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) , 记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) ? (A) f ( x) (B) ? f ( x) (C)

g ( x)

(D)

? g ( x)

解析:本题考查学生利用归纳推理获得新结论的能力,通过不完全归纳可得 g ( x) 为奇函 数, 故答案为 (D)

2.5 特殊与一般的思想
特殊与一般的思想也是数学的一种重要的思想,寻找事物发展的共性和个性,利用共性 指导我们处理同类事物,利用个性体现事物发展的独特性,今年的试卷中很多试题都体 现了这一点,特别是文理科的解析几何题,理科解析几何题(第 21 题)体现了共性,考 察了点在等轴双曲线上运动时的保持的某种不变性质,即该点和双曲线两个顶点的连线 的斜率乘积保持不变等于 1,两条直线和椭圆相交所得弦长的倒数的和也保持某种定性 性质(和恒为

3 2 ) 而文科 22 题,则反应了事物发展的个性,当 P 点在定直线上运 , 8

动时,他们和椭圆两焦点的连线的斜率保持某种确定关系,相交的四个点和原点的连线 的斜率的和对某些点具有斜率和为零的性质.

x2 y 2 2 理科 21: 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 以该椭圆上的点和椭圆的左右 2 a b
焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D . (I) 求椭圆和双曲线的标准方程; (II)设直线 PF1 和 PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 证明: k1k 2 ? 1 ; (III)是否存在常数 ? , 使得 AB ? CD ? ? AB CD 恒成立? 若存在, 求 ? 的值; 若 不存在,请说明理由. 解析:由题意,通过求解方程:

? c 2 ? ? a 2 ? ? 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) ? 得到 a, c ,得到椭圆的标准方程.
在第三设问中,通过将直线方程代人椭圆方程,求出弦长,找到所需的关系. 解:设椭圆的半焦距为 c , 由题意知:

- 42 -

? c 2 ? ? a 2 ? ? 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) ?
解得: a ? 2 2, c ? 2 . 又 b ? a ?c , 则 b ? 2.
2 2 2

x2 y2 所以 椭圆的标准方程为 ? ? 1. 8 4
设等轴双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1, m2 m2

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,故 m ? 2 , 所以 等轴双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 4

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ), 则

k1 ?

y0 y0 , k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2

因为点 P 在双曲线上, 则 x0 ? y0 ? 4
2 2

因此 k1k 2 ? 1

(III)由于 PF1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) , 将其代入椭圆方程得

(2k12 ? 1) x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 则

8k12 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? 12 2k12 ? 1 2k1 ? 1 k12 ? 1 , 2k12 ? 1

AB ? 1 ? k12

? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 4 2
2 2 k2 ? 1 , 2 2k 2 ? 1

同理 CD ? 4 2

- 43 -

所以

1 1 3 2 ? ? AB CD 8

故 存在 ? ?

3 2 , 使 AB ? CD ? ? AB CD 恒成立. 8

AB ? 1 ? k12

? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 4 2
2

k12 ? 1 , 2k12 ? 1

x2 y 2 2 2 文科(22) :已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, , 左右焦点分 ) , 离心率为 2 2 a b
别为 F1 , F2 . 点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的 交点分别为 A, B 和 C , D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 . (i) 证明:

1 3 ? ?2 k1 k2

(ii) 问直线 l 上是否存在点 P , 使得直线 OA, OB, OC, OD 的斜率 kOA , kOB , kOC , kOD 满 足 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理 由. 解析:本题第二设问的第二小问,考察了分类思想. 解(II) (ii)设 A( xA , y A ), B( xB , y B ), C( xC , yC ), D( x D , y D ) . 联立直线 PF1 与椭圆的方程并化简得:

(2k12 ? 1) x 2 ? 4k12 x ? 2k12 ? 2 ? 0
因此

4k12 2k12 ? 2 x A ? xB ? ? 2 , x A xB ? 2k1 ? 1 2k12 ? 1

由于 所以

OA, OB 的斜率存在,
xA ? 0, xB ? 0 , 因此 k12 ? 0,1 .
kOA ? kOB ? y A yB 2k ? ?? 2 1 x A xB k1 ? 1

因此

- 44 -

同理

2 xC ? 0, xD ? 0 , k2 ? 0,1 , kOC ? kOD ? ?

2k1 , k12 ? 1

则 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? ?

2(k1k2 ? 1)(k1 ? k2 ) . 2 (k12 ? 1)(k2 ? 1)

若 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 , 须有 k1 ? k2 ? 0 或 k1k 2 ? 1 . (a) 当 k1 ? k2 ? 0 时,结合(i)的结论,可得 k2 ? ?2 , 所以解得点 P 的坐标为 (0, 2) ; (b) 当 k1k 2 ? 1时, (i) 结合 的结论, 解得 k2 ? 3 或 k 2 ? ?1(不合题意, 舍去) 此时直线 CD ,

5 3 ,y? 4 4 5 3 综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为 (0, 2) , ( , ) . 4 4
的方程为 y ? 3( x ? 1) , 联立方程 x ? y ? 2 得 x ?

2.6 变换的思想
变换的思想是一种很重要的数学思想,是我们处理问题的一种重要思路,同一个问题, 从不 同的角度考虑,可以得到更全面深刻的理解;可以简化我们的认识过程;甚至可以使本来不 可能的问题,变得可能;数学上有很多重要的变换,例如傅立叶变换,拉普拉斯变换等等, 是很重要的工具,概率论中通过对立事件的概率求事件的概率也是一种变换的思想,试题中 充分体现了这样一种重要思想。 理(22) :已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (I)当 a ?

1? a ? 1(a ? R) x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (II) 设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 . 当 a ? 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0, 2) , 存 在 x2 ? [1, 2 ] 使 , 4
f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 求实数 b 的取值范围.
解 析 : 本 题 第 二 设 问 中 , 通 过 变 换 对 “ 对 任 意 的 x1 ? (0, 2) , 存 在 x2 ? [1, 2], 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”的认识,其等价于
“ g ( x) 在 [1, 2] 上的最小值不大于 f ( x) 在 (0, 2) 上的最小值 ? 解:因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1 . x

1 ” , 因而得解. 2

ax 2 ? x ? 1 ? a 所以 f '( x) ? ? , x ? (0, ??) x2
令 h( x) ? ax ? x ? 1 ? a
2

- 45 -

(1)当 a ? 0 时, h( x) ? ? x ? 1 , x ? (0, ??) 所以 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递增; (2)当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 , 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?
2

1 ?1 . a

(d) 当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立,此时 f '( x) ? 0 , 函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调 2 1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 , 2 a

递减。 (e) 当 0 ? a ?

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减。

1 x ? (1, ? 1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。 a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减。 a 1 (f) 当 a ? 0 时,由于 ? 1 ?? 0 a
x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减。
x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
(II)因为 a ?

1 1 ? (0, ) , 由(I)知, x1 ? 1, x2 ? 3 ? (0, 2) , 当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 , 4 2

函数 f ( x) 单调递增;当 x ? (1, 2) 时, f '( x) ? 0 , ,函数 f ( x) 单调递增, 所以 f ( x) 在 (0, 2) 上的最小值为 f (1) ? ?

1 . 2

由于“对任意的 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ? [1, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于 “ g ( x) 在 [1, 2] 上的最小值不大于 f ( x) 在 (0, 2) 上的最小值 ? 又 g ( x) ? ( x ? b) ? 4 ? b , x ? [1, 2] , 所以
2 2

1 ” 2

(*).

(d) 当 b ? 1 时,因为 g ( x) min ? g (1) ? 5 ? 2b ? 0 , 此时与(*)矛盾; (e) 当 b ? [1, 2] 时,因为 g ( x) min ? 4 ? b ? 0 , 此时与(*)矛盾;
2

- 46 -

(f) 当 b ? [2, ??) 时 , 因 为 g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4b , 解 不 等 式 8 ? 4b ? ?

1 ,可得 2

b?

17 . 8
17 , ??) . 8

综上所述, b 的取值范围是 [

理科(20) :某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A, B, C, D 四个问题,规则如下: (1)每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A, B, C, D 分别加 1 分,2 分,3 分,6 分, 答错任一题减 2 分. (2) 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当 累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮; 当答完四题,累计分数仍不足 14 分 时,答题结束,淘汰出局. (3) 每位参加者按问题 A, B, C, D 顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题 A, B, C, D 回答正确的概率依次为 之间没有影响. (I) 求甲同学能进入下一轮的概率; (II)用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 解析:在第二设问中,求 ? 得的分布列,可以直接求事件“ ? ? 4 ”的概率 P(? ? 4) , 但 是非常繁琐,运算大,如果用求对立事件的概率来求,则简单的多,

3 1 1 1 , , , , 且各题回答正确与否相互 4 2 3 4

P(? ? 4) =1- P(? ? 2) - P(? ? 3) .

解:略.

2.7 充分体现,挖掘考生的各项数学能力
数学能力主要指运算求解能力,数据处理能力,空间想象能力,抽象概括能力,推理论 证能力,以及应用意识和创新意识,在 2010 年试题中,这些能力都得到了充分的体现. 1、 运算求解能力: 文 (1)(2) (5) (8) (11) , (3) (6) (9) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) 理 (1) (2) (4) (5) (6) (7) (8) (10) (11) (13) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) 2、 数据处理能力: 文(4) (13) (19) 理(6) (13) (20) 3、 空间想象能力: 文(4) (11) (20) 理(3) (11) (19) 4、 抽象概括能力: 文(4) (10) (7) (12) (22) 理(3) (9) (6) (12) (14) (20) (21) (22) 5、 推理论证能力: 文 (1) (5) (4) (7)(10)(12) (14)(20) (21) (22)

- 47 -

6、

理 (1) (4) (9) (3) (8) (12) (14) (20) (21) (22) 应用意识和创新意识: 文 (6)(8)(12)(19) 理 (8)(12)(20)

2.8 体现宽口径,多角度的命题思路
2010 年的试题中,体现命题者这样一种命题思路,即鼓励考生宽口径、多角度的思考和 解决问题,不拘泥于某一成法,不局限考生的思想,每个命题尽可能让考生可以从不同角度 入手,均能得到好的结果,避免思路单一,想到了就能做,想不到就失败的“华山一条道” 的尴尬局面.

x2 y 2 2 理科 21: 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 以该椭圆上的点和椭圆的左右 2 a b
焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D . (I) 求椭圆和双曲线的标准方程; (II)设直线 PF1 和 PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 证明: k1k 2 ? 1 ; (III)是否存在常数 ? , 使得 AB ? CD ? ? AB CD 恒成立? 若存在, 求 ? 的值; 若 不存在,请说明理由. 解析:本题第二问,第三问解法都很多,考生选择余地很大,从中可以看出考生的实际知识 水平。 (I)解:略 (II)证法(1) :设 P( x0 , y0 ), 则

k1 ?

y0 y0 , k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2

因为点 P 在双曲线上, 则 x0 ? y0 ? 4
2 2

因此 k1k 2 ? 1 证法(2) :设 P( x0 , y0 ), 由 PF1 , PF2 的方程可得

? y0 ? k1 ( x0 ? 2) ? ? y0 ? k2 ( x0 ? 2)


x0 ?

2(k1 ? k2 ) 4k1k2 , y0 ? k2 ? k1 k2 ? k1

- 48 -

因为点 P 在双曲线上, 则 x0 ? y0 ? 4
2 2

代入并整理得: k1k 2 ? 1 证法 III:因为点 P 在双曲线上, 则 x0 ? y0 ? 4
2 2

设 P(2sec ? , 2 tan ? ) , 则

k1 ?

2 tan ? 2 tan ? , k2 ? 2sec ? ? 2 2sec ? ? 2

因此 k1k 2 ? 1 (III)解法(1) :由于 PF1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) , 将其代入椭圆方程得

(2k12 ? 1) x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 则

8k12 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? 12 2k12 ? 1 2k1 ? 1 k12 ? 1 , 2k12 ? 1

AB ? 1 ? k12

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 4 2

2 k2 ? 1 同理 CD ? 4 2 , 2 2k 2 ? 1

所以

1 1 3 2 ? ? AB CD 8

故 存在 ? ?

3 2 , 使 AB ? CD ? ? AB CD 恒成立. 8

(III)解法(2)设直线 PF1 , PF2 的倾斜角分别为 ?1 , ? 2 , 则直线 PF1 的方程可以写 为?

? x ? t cos ?1 ? 2 , ? y ? t sin ?1

将其代入椭圆方程并设 A, B 对应的参数为 t1 , t2 , 则

(1 ? sin 2 ?1 )t 2 ? 4t cos ?1 ? 4 ? 0
由韦达定理

- 49 -

t1 ? t2 ?
因此

4 cos ?1 ?4 , t1t2 ? 2 1 ? sin ?1 1 ? sin 2 ?1

AB ? t1 ? t2 ?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ?

4 2 1 ? sin 2 ?1

同理: CD ? 所以

4 2 1 ? sin 2 ? 2

2 ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 1 1 ? ? , AB CD 4 2
由(II)知 tan ?1 tan ? 2 ? 1 , 故 sin ?1 ? cos ? 2 ,sin ? 2 ? cos ?1 ,
2 2 2 2

则 sin ?1 ? sin ? 2 ? 1
2 2

所以

1 1 3 2 ? ? . AB CD 8

(III) 解法(3) :设直线 PF1 , PF2 的倾斜角分别为 ?1 , ? 2 ,由椭圆的极坐标方程知:

CF2 ?

ep ep ep ? , DF2 ? 1 ? e cos ? 2 1 ? e cos(? ? ? 2 ) 1 ? e cos ? 2
4 2 , 1 ? sin 2 ? 2 4 2 1 ? sin 2 ?1

所以 CD ?

同理 AB ?

下同方法(2).



对中学数学教学与学习的启示

今年是我省进入新课改后的第四次高考,今年的高考命题为今后的课程改革和高考改革 提供哪些重要的信息成为人们关注的焦点.高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新

- 50 -

课改的力度和发展新课改的深度.因此,今年的高考试题和考生答卷情况备受关注.为了更好 地进行深化课程改革,更全面的推进中学素质教育,需要认真研究和分析学生在高考答题中 出现的问题,以反思我们在中学教学过程中的问题,促进我们的中学数学的教学与学习.

1 坚定新课程改革方向 从这两年全国课改省份的高考试卷可以看出,新课标中新增加的
教学内容,均占有较大比例.所以,执行和推广新课标是大势所趋. 注 新课标增加内容主要指:统计中的直方图、散点图和回归直线方程、三视图、程序框 图、简易逻辑用语、文科的复数和系列 4 的内容. 在今年的山东省高考试题中,新课程中新增加的内容所占的比例也有所提高,考查了方 查、正态分布、定计分、程序框图等, 文科还考察了复数的内容, 体现了对新课程改革的 重视,也明确了高考支持新课程改革的命题原则. 为了减少教学过程中的盲目性和随意性,增加教学的实效性和计划性,应该认真学习新 课标(包括考试说明) .特别是对变化的内容和要求更要细心地研讨,根据新课标的变化调整 和改变自己的教学理念、教学目标和教学方法. 今后我们应该坚定新课程改革的方向,坚定不移地推进新课程改革.

2 注重基础的学习 高考的终极目的是为高校输送合格的人才,考生要能够顺利完成未来
高校的学习, 必须具备一定的数学知识和数学素养, 所有这些都应该是高考试题中重点体现 的, 而这些知识和思想又恰恰是我们中学数学中强调的基本知识和基本技能.我们中学的课 程无论怎么改革,都不会丢掉最基本的数学知识和数学技能, 我们的高考无论如何变化,对基 本知识和基本技能的考核,永远是不会变的,这是不能有任何含糊的问题. 从今年乃至近几年 甚至自高考以来, 不重视“双基”的考生,不可能取得取得高分.每年试题的框架主体都是考 查数学的基础知识,基本技能和通性通法, 如函数的单调性、奇偶性、零点、图像性质及变换; 三角函数及其图像的基本性质;向量的基本运算;圆锥曲线的基本概念、性质及应用;数列 的基本性质及应用;空间图形的识别及线面的位置关系(包括面积、体积和理科的夹角和距 离) ;古典概型的方法;统计的基本方法(包括散点图、茎叶图、直方图、回归直线方程、方 差、标准差)等. “双基”也是与时俱进的.新的“双基”内容应该主要包括,一是和“图”有关的内容.如: 三视图、统计图、程序框图、函数的图像性质及变换、空间线面位置关系、平面直线与圆锥 曲线的位置关系、数形结合的思想方法等;二是与“函数”有关的内容,如函数的性质及围 绕研究函数性质的相关知识和方法(导数、数列、解析几何等) 、函数与方程的思想方法、特 殊与一般的思想方法、变换的思想方法;三是数据的收集、整理、分析和应用,如统计与概 率、线性规划等相关的应用问题, 体现或然和必然的数学思想.

3 通法为主, 变法为辅 重视中学数学的通性通法, 倡导举一反三、 一题多解和多题一解,
努力培养学生“六种能力、二个意识”. 数学能力包括运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证 能力、实践能力和创新意识.能力的分类和要求与以前有不同,必然要反映在命题中.特别应 注意新增加的“数据处理能力”和“实践能力和创新意识”.前者与统计有关,后者与应用问 题有关.另外, “推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力” ,逻辑思维能力 注重是演绎推理, “合情推理”也应引起我们的重视,它可以有效地培养学生的创新意识,这 正是我们国家现在大力提倡的. 我们鼓励考生思维活跃, 提倡考生发散思维, 就应该给与特殊方法,特殊技能一定的地 位, 针对具体问题, 采用具体的方法,这是很重要的处理问题的方法.我们强调通性通法的重 要,并不意味着完全否定其他的特殊方法, 其他的方法也是处理问题的一个重要方面,在整 个数学科的发展过程中, 也很重要的, 也应该有所体现. 理(21) :本题第三设问利用通法能够解决,也可以借助直线和椭圆,双曲线的参数方程, 或

- 51 -

者利用极坐标都可以解决本问题,从这个问题中,我们可以了解考生的知识结构,以及对该 知识结构的熟练程度,具有较好的区分度.

4 重视数学语言,提高素养.数学素养的高低在某种意义上来说就是其数学语言掌握和运
用的程度的差异.因此,数学学习的过程可以理解为就是数学语言的学习过程.无论学生将来 从事何种工作,经过高中(包括基础教育)阶段的数学学习,具备初步的数学语言理解、转 化和表达能力是非常重要的,是一个人具备一定的数学素养的基本标志. 尤其是当前高考考试形式主要考查的是书面表达能力.试卷能否得分,不唯你会做,重要 的是你要准确的表达出来,卷面上的文字表述务必正确、简洁; 文字书写力求工整.因此, 在日常教学中要重视对学生口头和书面表述(包括作图)能力的培养,以求达到数学语言运 用的准确性、逻辑性、完整性和流畅性.

5 重视创新能力和应用意识的培养 创新能力的培养是新课改的一个重要理念,我们的 教学对象,不应该仅仅是接受知识的口袋,而更应该是创造知识的机器,我们的教学对象, 是蓄势待发的火箭,他们将来应该能够独立地翱翔于知识的太空,应该能够独立的探索未知 的世界,而我们,作为教师,应该像点火者一样,激发学生的能动性,赋予他们能够创新的 基本知识,激活他们的创新意识,让学生能够在已有的知识基础上,探索未知的知识领域.只 有这样,我们和我们的教学对象才能真正体会“生知也有涯,而知也无涯”的境界,只有这 样,我们的知识水平才能不断的增加,我们的认知能力才能不断地提高,教师永远要记住: 培养学生的创新能力和探索能力,永远是重要的. 培养数学的应用意识也是非常重要的,数学对我们大多数人而言,应该是一个工具,是 处理其它实际问题的工具,如何将已有的数学知识应用到我们面临的实际问题中,如何利用 我们已掌握的数学知识,处理我们面对的实际问题,这都是很重要的,我们教育的目的,是 使我们的学生将来走向生活,走向社会,并且能够适应社会,这就要求他们必须将现在的“所 学”和将来的“所遇”有一个好的衔接,这样的能力不是自然产生的,需要一个培养的过程, 要有意识的培养学生的数学应用意识,高考命题中很好的体现了这一点,我们的高考题中有 相当数量的题目是数学的应用题,需要考生面对实际问题,将他们转化为数学问题,然后运 用所学的知识,解决这个数学问题,最后再将所得到的数学结果,还原到实际背景中,并合 理的解释实际的问题, 这就是数学的应用过程,这就是数学的建模过程,这也是我们的教学 对象,将来走向社会后,需要面对和解决问题的主要过程, 培养学生适应这个解决问题的方 法和过程是非常重要的.

四 评阅中发现的问题
1 概念不清 基本功不扎实 基本概念含混不清,因此读不懂题意,导致丢分,在以后的
教学中应该加强基本概念,基本知识的教学. 理科(14) :有的考生答案是 ( , ?) , 或者 [ , ?] , 都是概念不清引起的. 文理(17)很多考生特殊角的三角函数值记不住,三角公式记不牢, 记不清导致使用错 误, 有的考生不理解图像的平移和伸缩,所以在这个知识点的考察中丢分. 理科(21)有相当数量的考生对椭圆和双曲线的定义不清,或者将两者混淆, 将双曲线 写成

1 5

1 5

x2 y2 ? ?1 4 4

2 表述不清楚, 省略了必要的步骤 有的考生,步骤省略很多,甚至只是给出答案,或

- 52 -

者重要的证明步骤省略,这都会导致丢分. 这些问题在试题文理概率题体现的尤为明显,在文(19)中考生只写 p ?

1 , 没有任何过程; 3

在立体几何题中,考生的证明步骤跳跃太大,不知是怎么推导出来的;有的考生利用分析法 证明问题时,语言和表述很不准确,也导致丢分.有的考生在证明过程中,跳跃性太大,感觉 思路不连贯,如果丢失了主要步骤,也会导致丢分.因为表述不清楚,使很多考生丢掉相当的 分数,希望考生注意,也希望我们在教学过程中,强调这一点.

3 做题马虎,潦草 很多考生因此丢分,这不能不引起我们广大考生的特别注意,有的考
生,推理都很正确,结论也对,但是在最后总结时,却写错了,或者前面对,写到后面就错 了,这都是不应该发生的错误. 文理科(18)有的考生将等差数列看成等比数列,因此用错公式, 文科(19) 很多考生样本空间写得正确, 但是计算概率时却输错了样本数,犯了非常 低级的错误,甚至有的考生得出

1 ? 30% , 很不应该. 3
1 1 ? ?1 ? 4? ? ? 或者 4n(n ? 1) ? n n ?1 ?

理科(18)有的考生在裂项时写为 bn ?

bn ?

1 1? 1 1? ? ? ? ?. 4n(n ? 1) 4 ? n ? 1 n ?

理科(21)在第二问中,有的考生出现错误, 将 k1k 2 ? 1 误写成 k1k2 ? ?1 . 考生务必要养成细心的习惯,不惟对考试有利,对考生的一生都是重要的习惯. 4 拘泥成法,思路不够开阔 理(22)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (I)当 a ?

1? a ? 1(a ? R) x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (II) 设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 . 当 a ? 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0, 2) , 存 在 x2 ? [1, 2 ] 使 , 4
f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 求实数 b 的取值范围.
解析: 对第二问, 通法是将问题 “对任意的 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ? [1, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ” 转化为“ g ( x) 在 [1, 2] 上的最小值不大于 f ( x) 在 (0, 2) 上的最小值 ? 的思路,解法会更简单。 因为 a ?

1 ” ,但是如果按照下面 2

1 1 ? (0, ) , 由(1)知, x1 ? 1, x2 ? 3 ? (0, 2), 4 2

当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 , 因此函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, 2) 时, f '( x) ? 0 , 因此函数 f ( x) 单调递增.

- 53 -

所以 f ( x) 在 (0, 2) 上的最小值为 f (1) ?

1 . 2

由“对任意的 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ? [1, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”得 存在 x ? (1, 2) 使 g ( x) ? ? 即 x 2 ? 2bx ? 4 ? ? 所以 b ?

1 2

1 , x ? (1, 2) 2

x 9 ? , x ? (1, 2) 2 4x x 9 17 ? ? , 2 4x 8

因为 当 x ? (1, 2) 时, 易证 故 b?

17 . 8

5 运算能力尚待提高 计算能力也是数学能力的非常重要的一种能力, 是中学数学教学中
必须掌握的能力.在阅卷过程中,我们经常发现考生的数据运算能力尚待提高, 理科(18) 有的考生在计算 an 时出错为 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,

Sn ? 3n ?

2n(n ? 1) ? n2 ? n . 2

7、

理科(20)本题要求较高的运算能力, 在运算中要学会发现规律, 不能一味的蛮算, 很多考生看到这样的运算就退缩了,或者运算不讲究技巧,导致出错. 理科(21)很多考生在做第三问时, 由于没有掌握化简运算的技巧, 面对相对复杂的 运算, 束手无策,得不出结果. 分析原因, 我们现在的考生平时对计算器的依赖性太强,任何运算,只要是计算器能做 的,他们就不再去做,全部交给计算器来完成,但是高考过程中,又不允许使用计算器,使 得考生在考试过程中,不会算,算不准, 综合今年考生在高考中出现的问题, 我们认为: 必须加强中学数学运算能力的培养. 6 提高阅读能力,提高数学的应用意识理科 理科(20) :很多考生不能认真读题,理解题意,没有把握两个关键: (1)竞赛规则(2) 甲每答一题的结果对竞赛的进行有什么影响?导致随意解答,或者无法解答.有的考生不能准 确的进行数学建模, 无法准确的把握“符合限制条件的所有基本事件”列出. 分析考生粗错的原因,一个明显的原因是,有的考生因为题干太长,阅读时抓不住要点, 不能从中找到有用的数学信息, 因而不能建立适当的数学关系, 无法解决问题, 从中可以 看出, 在我们的中学教学过程中,应该加强考生这方面的能力. 综合运用所学知识的能力有待提高 今年的题目的一个特点是多层把关,按题把关,按方法把 关,而这些题目都体现了对知识的综合运用上,从考生答题中可以看出,考生对这部分题目 感到发懵,不知道如何下手,反映了考生需要加强对知识综合运用的训练. 理(21)该题综合了椭圆,双曲线两类圆锥曲线,结合直线和圆锥曲线的关系,结合动 点中求不变性质的思想,全面考察考生对该模块的理解, 是一道综合性较强的题目。 理科(22)该题第一问主要体现的分类思想的运用, 需要考生对这种重要的数学思想有 深入的理解,第二问结合全称量词等逻辑用语,考察考生对变换思想的理解,综合了多种数 学思想,是一道思想类的综合题.



对未来高考命题的思考
- 54 -

高考命题应往何处去?如何命制高水平的试题,以达到有利于高校选拔人才,有利于新 课程改革,有利于中学教学改革,有利于全面的素质教育,这是一个值得深思的问题.

1 追求与新课改和素质教育完美统一 高考命题应视为新课改的一部分,应该适合新课
程改革的需要.追求和新课改的完美接轨.真正做到“高考支持新课改”的理念, 从命题角度 看,高考命题应体现新课改的内容和理念,命题要和新课改的教学规划相配合,只有两者达 到高度完美的统一,才能真正实现新课改的稳步有序的发展.

2 达标和选拔并举 高考承担着为高校选拔适合继续学习的人才的重任,高考的任务应
该有两个: 一、 选择适合进入高校继续学习的人才, 二、 选拔不同层次的人才进入不同层 次的高校.考生进入高校继续深造,必须有一定的知识基础,否则很难完成大学的学习,高考 应该承担起检验考生是否具备这项知识基础的重任,因此,从某种意义上说,高考是一项达 标考试,是检验考生是否具备继续深造的能力的考试,要完成此项任务,高考命题中应该有 足够的试题,是考查考生的知识储备的,考查考生是否具备了这些知识和由这些知识产生的 技能,只要这部分知识掌握了,他就应该有机会进入高校继续深造. 因此,高考不应该是技巧 的考试,应该注重基础,注重基本技能, 为进入高校后的继续学习打好基础. 但是,从我们 目前的实际情况看,高考还应该承担着选拔的功能,高校对人才的要求层次是不同的,高校 中各个专业对人才的要求也是不一样的,考生有选择优秀高校,更有前景和更适合自己的专 业的权利,因此高考还应该具备选拔的功能,高考命题要有恰当的区分度,使得不同层次的 高校,不同层次的专业选择适合自己的层次的考生.综上考虑,我们认为, 未来的高考应该分 为两个模块: 基础模块(达标模块)和提高模块(区分模块), 所谓的基础模块, 应该是要求考 生必须掌握的基本知识和基本技能,是进入高校必需的, 对这部分知识的考核应该能够完成 达标考查, 提高模块是指能够有效地区分考生的不同知识水平的模块, 通过对这部分知识的 考查, 我们能够完成不同层次的高校招收不同层次的考生的目的. 对基础模块的要求, 应该 是更基本,更基础, 不追求区分度, 对提高模块,要有适当的难度, 要有较高的区分度.

3 追求“源于课本,高于课本”的理念 现在的考生,每天面对堆积如山的复习资料,
每天有做不完的试题,教师有批不完的试卷,教师和学生都在做一种机械式的学习,这绝不 是素质教育追求的目标,解放学生,首先应该将学生从题海战术中解脱出来,从复习资料中 解脱出来.为解决此问题,高考命题具有很强的指导和示范作用,我们的高考试题,应该来源 于课本,高于课本,让考生回到课本的学习中来,而不是在复习资料中拼搏.

4 遵循“多课时,多分值”的原则 中学教学过程中, 有的知识点,学时多,但是如果 在高考命题中得不到应有的重视,就很难保证这部分知识的满课时学习,只要高考存在,教
学中就必然受到影响,哪里分值大,哪里就受到重视,那里的教学课时量就大,有考试,就 有应试,这无疑违背了素质教育的教学目的.高考在现阶段是必须的, 我们无法取消考试,但 可以在一定程度上防范这样的弊端,多课时,多分值的原则,就是应对这种局面的一种方法..

5 还给学生适当的思考时间 高考命题中,题量大,考生的思考时间很少,因此,从某种
意义上讲, 过大的题量, 更多的是考查学生的熟练程度, 而弱化了对他们的各种能力的考核. 如 何改进考试形式,加大考试的思维量,扩大考生的思维空间, 让考生有相当的时间思考,又 不影响试卷的区分度,信度和效度,这也是值得思考的.

六、对各类考生的数据分析
(一) 普通理科考生:今年我省考生普通理科 平均分: 96.04 分,

- 55 -

试卷整体难度: 0.63 试卷的区分度: 0.50 试卷的信度: 0.81 试卷的效度: 0.53 由此可以看出试卷的整体难度适当, 试卷具有非常好的区分度, 试卷的信度和效度也非 常好。 我们认为: 试卷很好的反映了山东省普通理科考生的整体水平, 难度适中, 具有很好的 区分度, 信度和效度。 (二) 普通文科考生: 样本分析数据表 5 和表 6 可以看出: 平均分: 92.93, 试卷整体难度: 0.58 试卷的区分度: 0.64 试卷的信度: 0.81 试卷的效度: 0.66 由此可以看出试卷的整体难度适当, 试卷具有非常好的区分度, 试卷的信度和效度也非 常好。 我们认为: 试卷很好的反映了山东省普通文科考生的整体水平, 难度适中, 具有很好的 区分度, 信度和效度。 (三) 艺术理科考生: 平均分: 64.36, 试卷整体难度: 0.43 试卷的区分度: 0.40 试卷的信度: 0.74 试卷的效度: 0.45 由此可以看出试卷的整体难度适当, 试卷具有良好的区分度, 试卷的信度和效度也非常 好。 我们认为: 试卷很好的反映了山东省艺术理科考生的整体水平, 难度适中, 具有很好的 区分度,信度和效度。 (四) 艺术文科考生: 平均分: 59.06, 试卷整体难度: 0.39 试卷的区分度: 0.41 试卷的信度: 0.67 试卷的效度: 0.48 由此可以看出试卷的整体难度适当,试卷具有非常好的区分度, 良好的信度和效度。 我们认为: 试卷很好的反映了山东省艺术理科考生的整体水平, 难度适中, 具有很好的 区分度,信度和效度。 (五) 体育考生 平均分: 76.09, 试卷整体难度: 0.51 试卷的区分度: 0.42 试卷的信度: 0.65 试卷的效度: 0.43 由此可以看出试卷的整体难度适当, 试卷具有非常好的区分度, 良好的信度和效度。

- 56 -

我们认为: 试卷很好的反映了山东省体育科考生的整体水平, 难度适中, 具有很好的区 分度,信度和效度。

(山东卷)2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)解析版
注意事项: 1 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. 1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N = (A)[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【答案】A 【解析】因为 M ? ? x | ?3 ? x ? 2? ,所以 M ? N ? ? x |1 ? x ? 2? ,故选 A. 2.复数 z=

2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 2?i
(C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限 (B)第二象限 【答案】D 【解析】因为 z ?

2 ? i (2 ? i ) 2 3 ? 4i ? ? ,故复数 z 对应点在第四象限,选 D. 2?i 5 5
x

3.若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=

a? 的值为 6

(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

【答案】D 【解析】由题意知:9= 3 ,解得 a =2,所以 tan
a

a? 2? ? ? tan ? tan ? 3 ,故选 D. 6 6 3
- 57 -

4.曲线 y ? x ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
2

(A)-9

(B)-3

(C)9

(D)15

5.已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3”,的否命题是 (A)若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 (B)若 a+b+c=3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 (C)若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3 (D)若 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3,则 a+b+c=3 【答案】A 【解析】命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 ?p ,则 ?q ”,故选 A. 6.若函数 f ( x) ? sin ? x (ω >0)在区间 ?0, ω= (A)

? ?? ?? ? ? ? 上单调递增,在区间 ? 3 , 2 ? 上单调递减,则 ? 3? ? ?

2 3 (B) 3 2

(C) 2

(D)3

【答案】B 【解析】由题意知,函数在 x ?

?
3

处取得最大值 1,所以 1=sin

??
3

,故选 B.

? x ? 2y ?5 ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 ? x?0 ?
z ? 2 x ? 3 y ? 1的最大值为
(A)11 【答案】B 【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线 z ? 2 x ? 3 y ? 1 平移至点 A(3,1)时, 目 标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 1取得最大值为 10,故选 B. 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 (B)10 (C)9 (D)8.5

- 58 -

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额
为 (A)63.6 万元 (B)65.5 万元 【答案】B (C)67.7 万元 (D)72.0 万元

4? 2?3?5 7 49 ? 26 ? 39 ? 54 7 ? ,y? ? 42 ,因为点 ( , 42) 在回 4 2 4 2 7 ? ? ? ? ? ? 归 直 线 y ? bx ? a 上 , 且 b 为 9.4 , 所 以 42 ? 9. 4 ? ?a , 解 得 a ? 9.1 , 故 回 归 方 程 为 2
【解析】由表可计算 x ?

? ? y ? 9.4 x ? 9.1, 令 x=6 得 y ? 65.5,选 B.
2 9.设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为

半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 (A)(0,2) 【答案】C 【解析】设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心, 抛物线 C 的准线方程为 y ? ?2 ,由圆与准线相 切知 4<r,因为点 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,所以有 x0 ? 8 y0 ,又点 M( x0 , y0 )
2
2

(B)[0,2]

(C)(2,+∞)

(D)[2,+∞)

在 圆 x ? ( y ? 2 ) ? r , 所 以 x0 ? ( y0 ? 2) ? r ? 16 , 所 以 8 y0 ? ( y0 ? 2) ? 16 , 即 有
2 2 2

2

2

2

2

y0 2 ? 4 y0 ? 12 ? 0 ,解得 y0 ? 2 或 y0 ? ?6 , 又因为 y0 ? 0 , 所以 y0 ? 2 , 选 C.
的距离为 y0 ? 2 ,

【解析】 因为 y ?
'

1 1 1 ? 2cos x ,所以令 y ' ? ? 2cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是增函数; 2 2 4

- 59 -

令 y' ?

1 1 可得选 C 正确. ? 2cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象, 2 4

11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、 俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、 俯视图如下图.其中真命题的个数是

(A)3 【答案】A

(B)2 (C)1

(D)0

【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以. 12.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A1 A3 ? ? A1 A2 (λ ∈R),

?????

?????

????? ????? 1 1 A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R),且 ? ? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知点 C(c,o),D(d, ? ?
O) (c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C,D 可能同时在线段 AB 上 (D) C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】D 【解析】由 A1 A3 ? ? A1 A2 (λ ∈R), A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R)知: 四点 A1 , A2 , A3 , A4 在同一条直线上, 因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且

?????

?????

?????

?????

1 1 ? ? 2 , 故选 D. c d

- 60 -

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就业 倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽取的学 生人数为 . 【答案】16 【解析】由题意知,抽取比例为 3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为 40 ? 14.执行右图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出的 y 的值是 【答案】68 【解析】 由输入 l=2, m=3, n=5, 计算得出 y=278,第一次得新的 y=173;第二次得新的 y=68<105, 输出 y. 15.已知双曲线

8 =16. 20

x2 y 2 x 2 y2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 和椭圆 ? =1 有相同的焦点,且双曲线的离心 a2 b 16 9
.

率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

16. 已知函数 f(x) log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x) = 的零点

x0 ? ( n, n ? 1), n ? N* ,则 n=
【答案】5

.

【解析】方程 log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1) =0 的根为 x 0 ,即函数 y ? log a x(2 ? a ? 3) 的图 象与函数 y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的交点横坐标为 x 0 ,且 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * ,结合图象,因为当

x ? a(2 ? a ? 3) 时, y ? 1 ,此时对应直线上 y ? 1 的点的横坐标 x ? 1 ? b ? (4,5) ;当 y ? 2 时,
对数函数 y ? log a x(2 ? a ? 3) 的图象上点的横坐标 x ? (4,9) ,直线 y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的图 象上点的横坐标 x ? (5, 6) ,故所求的 n ? 5 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分)

- 61 -

在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I) (II) 求

cos A-2cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 若 cosB= , ? ABC的周长为5,求b的长. 4

【 解 析 】 (1) 由 正 弦 定 理 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所 以

c o s A - 2 c o s C = c o s B b

2 c - a
=

2sin C ? sin A sin B

,



B ) sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B ,即 有 sin(A ? B )? 2 sin( ? C ,即
sin C =2. sin A c sin C (2)由(1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦定 a sin A

sin C ? 2sin A ,所以

理得:

1 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a)2 ? (2a)2 ? a 2 ? 4a 2 ? ,解得 a=1,所以 b=2. 4
18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师 性别相同的概率; (II)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率. 【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、(甲 男 2, 乙男)、 (甲男 1, 乙女 1)、 (甲男 1, 乙女 2)、 (甲男 2, 乙女 1)、 (甲男 2, 乙女 2)、 (甲 女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男),共 9 种;选出的 2 名教师性别相同的结果有 (甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲女 1, 乙女 1)、(甲女 1, 乙女 2),共 4 种,所以选出 的 2 名教师性别相同的概率为

4 . 9

(2)从报名的 6 名教师中任选 2 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲 男 1, 乙女 1)、 (甲男 1, 乙女 2)、 (甲男 2, 乙女 1)、 (甲男 2, 乙女 2)、 (甲女, 乙女 1)、 (甲 女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、(乙男, 乙女 1)、(乙男, 乙女 2)、(乙女 1, 乙女 2),共 15 种;选出的 2 名教师来自同一学校的所 有可能的结果为(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、(乙男, 乙女 1)、(乙 男, 乙女 2)、 (乙女 1, 乙女 2), 6 种, 共 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 19.(本小题满分 12 分)
- 62 -

6 2 ? . 15 5

如图,在四棱台 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , D1 D ? 平 面 A B C D 底 面 , 是平行四边形, AB=2AD , ABCD

AD=A1B1 , ?BAD= 60°
(Ⅰ)证明: AA1 ? BD ; (Ⅱ)证明: CC1∥平面A1BD . 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 AB=2AD ,所以设 AD=a, 则 AB=2a, 又 因 为 ?BAD= 60 ° , 所 以 在 ?ABD 中 , 由 余 弦 定 理 得 :

BD2 ? (2a)2 ? a 2 ? 2a ? 2a ? cos 60? ? 3a 2 ,所以 BD= 3a ,所以 AD2 ? BD2 ? AB 2 ,故 BD⊥
AD,又因为

D1D ? 平面 ABCD ,所以 D1D ? BD,又因为 AD ? D1D ? D , 所以 BD ? 平面 ADD1 A1 ,故
AA1 ? BD .
(2)连结 AC,设 AC ? BD=0, 连结 AO ,由底面 ABCD 是平行四边形得:O 是 AC 的中点,由四棱 1 台 ABCD ? A1 B1C1 D1 知:平面 ABCD∥平面 A1 B1C1 D1 ,因为这两个平面同时都和平面 ACA1C1 相交,交线分别为 AC、 A1C1 ,故 AC ? A1C1 ,又因为 AB=2a, BC=a, ?ABC=120? ,所以可由

余弦定理计算得 AC= 7a ,又因为 A1B1=2a, B1C1=

3 a , ?A1B1C1 =120? ,所以可由余弦定 2

理计算得 A1C1=

7 a, 所以 A1C1∥OC 且 A1C1=OC, 故四边形 OCC1A1 是平行四边形, 所以 CC1∥A1O, 2

又 CC1 ? 平面 A1BD,A1O ? 平面 A1BD,所以 CC1∥平面A1BD . 20.(本小题满分 12 分) 等比数列 ? an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

- 63 -

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2n . 【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ? an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列

?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 .
(Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1) ln an = 2 ? 3
n?1

? (?1) ln 2 ? 3n?1 , 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
=

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ?ln an ) ln(2n ?1? 31 ? 32 ??? 3n?1 ) =

2(1 ? 3n ) 1? 3

-

ln a1a2 an

=

3n ? 1

-

3 ? 1- ln(2 ? 3
n

n

n ( n ?1) 2

) ,所以 S2n = 3 ? 1 - ln(2 ? 3
2n

2n

2 n (2 n ?1) 2

) = 9n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 .

21.(本小题满分 12 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2r .假设该容器的建造 3

费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建 造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为

80? 立方米,所以 3

4? r 3 80 4r 80? ? ? r 2l ? ,解得 l ? 2 ? ,所以圆柱 3 3r 3 3
的侧面积为 2? rl = 2? r ( 以y?

160? 8? r 2 80 4r 2 ? ,两端两个半球的表面积之和为 4? r ,所 ? )? 2 3r 3 3r 3

160? l ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为(0, ). r 2
'

(Ⅱ)因为 y ? ?

20 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 160? ' ,所以令 y ? 0 得: r ? 3 ; ? 16? r + 8? cr = 2 2 c?2 r r
3

' 令 y ? 0 得: 0 ? r ?

20 20 ,所以 r ? 3 米时, 该容器的建造费用最小. c?2 c?2

22.(本小题满分 14 分)

- 64 -

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不过 3

原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交 直线 x ? ?3 于点 D(?3, m) . (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定
2

点; (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时

? ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.
【解析】 (Ⅰ)由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) ,

? y ? kx ? n ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6knx ? 3n ? 3 ? 0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 2 ? ? y ?1 ?3
E

( x0 , y0 )

,















:

x1 ? x2

=

?3kn ?3kn n , y0 ? kx0 ? n ? , 所 以 中 点 E 的 坐 标 为 ?k ? n ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ?3kn n 1 m E( , ) ,因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kOE ? KOD ,即 ? ? ? ,解 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k 3 x0 ?


?6kn 1 ? 3k 2

,



m?

1 1 ,所以 m2 ? k 2 = 2 ? k 2 ? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号,即 m2 ? k 2 的最小值为 2. k k

m ? ?y ? ? 3 x m ? (Ⅱ) (i)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ? x ,所以由 ? 2 得交点 3 ? x ? y2 ? 1 ?3 ?
G 的纵坐标为 yG ?

m2 n 2 ,又因为 yE ? , y D ? m ,且 OG ? OD ? OE ,所以 2 2 m ?3 1 ? 3k

m2 n 1 ? m? ,又由(Ⅰ)知: m ? ,所以解得 k ? n ,所以直线 l 的方程为 2 2 m ?3 1 ? 3k k
l : y ? kx ? k , 即 有 l : y ? k( x? 1), 令 x ? ?1 得 ,y=0, 与 实 数 k 无 关 , 所 以 直 线 l 过 定 点
(-1,0).

- 65 -

(ii)假设点 B , G 关于 x 轴对称,则有 ? ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的中 垂线上, 由(i)知点 G( (

?3 m ?3
2

,

m m ?3
2

) ,所以点 B( (

?3 m ?3
2

,

?m m2 ? 3

) ,又因为直线 l 过定点

?m
(-1,0),所以直线 l 的斜率为

m 2 ? 3 ? k ,又因为 m ? 1 ,所以解得 m2 ? 1 或 6,又因为 ?3 k ?1 2 m ?3

此时 k=1, m=1, ( E 3 ? m2 ? 0 ,所以 m2 ? 6 舍去,即 n2 ? 1 , 圆心坐标为 ( ?

?3 1 AB , ) , 的中垂线为 2x+2y+1=0, 4 4

5 1 ?3 1 1 2 5 2 ,圆的方程为 ( x ? ) ? y ? .综上所述, , 0) ,G( ( , ) ,圆半径为 2 2 2 2 2 4

点 B , G 关于 x 轴对称,此时 ? ABG 的外接圆的方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

5 . 4

2011 年山东数学试卷 试卷分析
2011 年高考数学山东卷在保持稳定、充分体现新课改理念的基础上又呈现出诸多亮点,彰显 十大突破。 突破一:对统计的考查 今年的统计试题,考查了回归分析,不仅背景新颖、公平、贴近生活实际,而且设计科 学,表述规范。该题突破了仅对公式记忆的考查模式,考查了回归分析的实际应用,既注重 了中学教学实际,又体现了统计学的基本思想和新课标要求,对今后各地的命题起到很好的 示范作用。 突破二:对框图的考查 今年的框图试题考查了框图的三种基本逻辑结构,而且背景新颖。其背景是《孙子算经》 中的“物不知数”题,也叫“韩信点兵”。该题以框图为载体,以传统名题为素材,背景深刻。将 古老的数学文化,以考题的形式呈现出来,展示了中国古代数学的瑰宝,也创造性地揭示了 中国古代数学在算法上的成就。该题的形式和内涵不仅充分体现了算法的思想,也有着极高 的文化价值, 会激发学生的民族自信心和自豪感, 将会成为框图问题设计中的一个经典案例。 突破三:对三视图的考查 三视图的考查多采取给出三视图的形状、尺寸后,求空间几何体的表面积和体积的方式。 今年山东卷考题的设计,仅给出了主视图、俯视图,让考生去想象几何体的可能形状。这种 命题方式新颖独特,更为可贵的是主视图、俯视图都是我们熟悉的矩形,而几何体也列出了 我们最为熟悉的三棱柱、四棱柱、圆柱。尽管题目信息量大,但是不偏、不怪、不刁钻,不 会对考生的心理造成任何冲击。该题充分体现了新课程对学生空间想象能力的要求,遵循了 从局部到整体,从抽象到具体的原则。该题是今年所有三视图考题中的扛鼎之作。 突破四:创新题型的设计 文理( 12 )题背景基本一致,难度略有差异。该题目以平面向量的知识为载体,考查了

- 66 -

学生独立获取数学知识的能力及进入高校发展的潜力,也体现了命题人的数学功力。是近几 年创新题型中的力作,也是山东卷创新题型的又一重大突破。 突破五:对零点的考查 文理( 16 )题中的函数是对数函数和一次函数的组合,含有两个参变量。解答以数形结 合为切入点,融入了估算的处理方法。该题体现了多方面知识的交汇,体现了对数学素材的 统一把握,对数学基础知识的考查达到了必要的深度,是零点问题中的佼佼者,也是客观题 目中零点考查方式的重大突破。 突破六:数列问题情景的设置 文理( 20 )题均为数列题,情景一致。该题以列表的形式简洁明了地给出了等比数列的 前三项,极易让考生把握,巧妙地穿插进了分类整合的思想。该种情景具有科学依据,因为 数列是特殊的函数,函数可以借助解析法、列表法、图象法来表示。此外,从该情景中还可 以感觉到行列式的魅力。所以该题目情景的设置极具创新精神,又不失科学依据,具有极深 的数学底蕴,充分体现了数学语言文化的魅力。 突破七:应用题背景设置 今年的文理( 21 )题为应用题,生活中有较多的实例。题目涉及到球和圆柱构成的组合 体的表面积和体积,贴近学生的学习实际,背景公平,难度适中,无任何牵强附会之嫌。由 于教材中也出现了多个以体积为平台,考查导数应用的实际问题,因此该问题的设计充分体 现了“源于教材而高于教材”的理念,对中学教学将起到积极的引导作用。该题的设计,符合实 际情景,考查了导数的应用与分类整合的思想,以及建模能力和应用意识。该题背景和数学 知识相得益彰,体现了命题者对中学数学教学实际的充分把握和自身的较高的数学素养,也 是于平淡处挖掘新意的典范。 突破八:解析几何题目的设计 2011 年文理试卷均以解析几何题目为压轴题。椭圆作为传统核心内容和考查重点,常考 常新。今年尽管对解析几何的考查要求没有改变,但在考查方式上实现了较大突破。 1. 低而不俗。文理尽管都以椭圆为背景,难度不同,但第一问均以平方和的形式设问,分 别求定值和极小值,入口较宽,且起点低。但是没有落入司空见惯的求方程、求基本量的俗 套,独具匠心。 2. 通而不僵。定值、定点、存在性都是常见设问,通性通法均可处理,但本题于平淡处见 精神,靠已有的基础知识,基本方法,基本思想,和数学学习经验,经过研究分析才能解答, 是真正的好题。对只依赖练习册、死记题型、死套模式,思维僵化的考生,产生了较大的挑 战。 3. 丰而不散。本题内涵丰富 , 突出了对解析法本质的考查,与平面几何结合紧密;关注了 考生的思维能力,运算能力,图形分析和处理能力 . 但并不松散,各方面融合巧妙,形神兼备, 天衣无缝,是命题者神来之笔。 突破九:文理差别的处理 对文理科考查内容的不同要求在试卷中的处理,也是今年试卷的一大突破,以数列问题 为例,在第二问中,均在通项的基础上求和,但在求和的方法、计算量的大小和难易的程度, 都充分考虑到文理考生的实际状况,体现了对广大考生的人文关怀。对比 2010 年的数列试题 对文理要求完全一致,是一个重大突破。 突破十:对不同版本教材的处理 命题的指导思想是以《课程标准》和《考试说明》为依据,不拘泥于某一版本的教科书。 不同版本的教材在内容的设置、定义的叙述、公式的形式、数学术语给出等方面,都存在差 别,但 2011 年的试卷,完美地处理了这种差异,对使用不同版本教材的考生都很公平,充分 体现了考题与教材的完美结合。

- 67 -

总之,通过纵横比较, 2011 年的山东数学试卷在以上十个方面实现了较大突破,有利于 课改,有利于中学教学,有利于高校选拔人才,必将对山东省的素质教育产生积极的推动作 用。

- 68 -


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