当前位置:首页 >> 数学 >>

例谈局部调整法在不等式证明中的应用


第 9期 

张 小明: 例 谈 局 部 调 整 法在 不等 式证 明 中的 应 用 

?3 7?  

例 谈 局 部 调 整 法 在 不 等 式 证 明 中 的 应 用 
●张小 明  ( 海宁市高级中学 浙江海宁 3 1 4 4 0 0 )  

在 中学数学竞赛 中, 局部调整法 ( 又称磨光法 ) 是证明不等式常用 的手段与技 巧. 理论上其逐步逼近  目标 , 直至最后彻底解决问题 , 实际上它主要可以表示成如下定理 1 ~ 4 . 本文选用一些常见的数学竞赛题 
和 网络 流行 题 为 例 , 说 明局 部 调整 法 的作 用.   定 理 1 设 凡∈N,  ≥2 , 1 _(一∞ , c +∞ ) 是一区间, 若对 于 任 意 的  ,  , …,   ∈, , 凡元 连续 对 称 函数  满 足  ,   z ,   , , …,  ) ≥( ≤)  
1 +  2 戈 1 +   2  

2   ’   2  

’  3 ' …'  n l ,  

、  

±  — — 贝 U 厂 (  ,   : , …,  ) ≥( ≤)  A , A, …, A ) , 其 中 A=   n 
足 

 

为它们 的算术平均 匕  l l J H  畀 个 1-  ?  
. 

定 理 2 设 凡∈N, n ≥2, ,  ( 0, - - I ∞) 是 一 区间 ,   若 对 于任 意 的  ,  , …,   ∈, , n元 连 续对 称 函数  满 

1 ,   2 ,   3 , …,  ) ≥( ≤)   贝 0   ,   : , …,  ) ≥( ≤) - 厂 ( G, G, …, G) ,   其 中 G=  

,  

,  



,  

) ,  

它们 的几 何平 均.  

称定理 1 为“ 和调整 ” ( 可参考文献 [ 1 ] ) , 定理 2为“ 积调整” .  
1 任 意 2个 自变 量 之 间的 调整 
1 +  2 + … - I -  

( 算术一几何平均基本不等式 ) 已知 ≥2 ,  ∈ N,  1 >0( i = 1 , 2 , …, n ) , 求证 :  

≥ 

1 +  2 + …

- I -  

令  1 ,   2 , …,   )=  
1 +  2  

n 

√   1   2 …  , 则  J J { U  


1+  2  
,   ,,… ,  

厂 (  ,   : ,   s , …,  ) ≥  

2  

’   2  

1 甘  
,  

l +  2 + …
n 

" 4 -  

—   姜 _   + 十  芸 —    + 十   3 + 十 …   - I - X n  
n 

n /   r   — — — 2 — —   — — — — . —   — — — — 2 —   — — — — — — — 一 —   — — — …  — — — — — — — 一 一   甘   ’  

≥ 

(  
1 +  2 + …
凡 

由定 理  1 , 知 

,  , …,  ) ≥   ^ ( A, A, …, A ) , 即 
+  n  

≥ 

例 2 在 AA B C中 , 求证 :   ∑s i n  n c c 。 s   ,   ≤  

9√ 3  
8  

证明  设  A , B , c ) =∑s i n B s i n c c 。 。   A, 则  
f ( a, B, c )=   1   c 。 s   A[ c 。 s ( B

c ) + c 。 s (   + c ) ] + 2 s i n A c 。 s 导 c 。 s 导 ( s i n 导 + s i n   ) =   s ( …  0 s ( …) ] + 2 s i 卟。 s   …s 孚) s i n   c o s   =  


?

3 8?  

中学教研 ( 数学)  

2 0 1 4盘 

丢 c 。 s 孚 c 。 s (   — c ) +   1   c 。 s 孚 c 。 s (   + c ) + 2 s i   c 。 s 拿   s i n  c 。 s   +  
2s i   s   s i n   c o s   ,  

从而  

B ’ C )一  

B 丁+ C
,  

) - - 1 c 。 s   s ( ¨) _ 1 ] + 2 s i  s   s i n   ( c o s   t ) +   2 s i n A s i n   ( c o s  c o s   一 - )  
一 。 。

1 , 知  A, B, C ) ≤  6 O 。 , 6 0 。 , 6 0 。 )  9   由定 理 

8 。  

例 3 设 口 > 。 , 6 > 。 , c > 。 , 求 证 : ( 。 + 丢 ) ( 6 + 古 ) ( c + ÷ ) ≥ (  +   .   证 明因 为 ( 口 +   ) ( 6 +   ) ≥ (  + 。  )   甘 詈 +   b ≥ 2 , 所 以 由 定 理 2 , 知  
( 。 + 丢 ) ( 6 + 寺 ) ( c + ÷ ) ≥ (   +  
2   2个 特定 自变量 之 间的调 整 
1   、  
。 

=  

+ 


一  
一  

+ 

2 . 1   在最大值 与最小值之 间的调整 
定理 3 设 1 7 , ∈N, 1 7 , 12 > , I _ (一∞ , C +∞ )   是一 区间, 若对于任意 的  1 ,   2 , …,  E , , 当 1 ≥   2 ≥…≥  

≥   时, I ' L 元连续对称函数 满足 


,  

) ≥( ≤)  

一 ,  。 ,   丁 1 +   n 、 J   ’  
为 它们 的算 术平 均.  

则 

,  

, …

,  

) ≥( ≤  A, A, …, A ) , 其 中 A=  

定 理 4 设  ∈N, 凡 ≥2, I _( C 0 , +∞ ) 是一 区间,   1 ,   2 , …,   ∈, , 当 1 ≥戈 2 ≥… ≥  一 1 ≥   时, n元 连  续 对称 函数 /满 足 
( .  l ,   2 , …,  一 l ,  ) ≥( ≤)   ,   …,   。 ,   ) ,  

 ̄ U f ( x   ,   : , …,  ) ≥( ≤   G , G , …, G ) , 其中 G =  
例4 设a 1 , 口 2 , …, a   均为正数  , a 1 口 2 …a   = 1 , 求证 :  


:   它们的 几何平均.  
n 

1  + —— 1  +




l  +  + ——
0n  

≥ n+1 .  
+ an  

口1  

a2  

a1 + a2 + …

证明   由对称性不妨设 a 。 ≥   ≥…≥0   , 且设 
n 1 , a 2 , …, a n )  
则 
l  
+ —— +  0  口 1 + 口2 + …


n 一 1.  

+ an  

a 1 , 口 2 , …, a   )- / (  
1  
— — ?

,   …, 0  
l  
, '  
—— 

 ̄ / 口 l 口   ) :  
凡 

I -— —

n 

—_ = = ==

口1  

口R  

J a 1 a h口 1  
竺 !  

十 一  + 口  + 



+0 n   2  

+。2+ … + 口  


1  

二  

±  

±   ± : : : ±  

二  

!   ≥  

a l n   ( o l + n 2 +…+ n   ) ( 2  ̄ / 0 1 D   + 口 2 + …+ 0   一 1 )  

二  
(   一  

竺  
)   ( n   [ 2  

二  

±  二  
+口 2 +… +。   一 1 )   >0 i .  

二   ! >  

a l a n ( a 1 + a 2 + …+ n n ) ( 2  ̄ / 口 1 n   + 口 2 + …+ 口   一 1 )  
0 1 口   ( 口 1 +0 2 +… + a n ) ( 2  

+ (  一 2 ) a   】   一 n a l a   )  

第 9期 

张 小明: 例 谈 局 部 调 整 法在 不 等 式 证 明 中 的 应 用 

?3 9?  

由定 理 3, 知  0   , o   , …, 口   )  

1 , 1 , …, 1 ): 0 , 即证.  

与 例 4和练 习题 2相 关 的结 果 可参 见文 献 [ 2 ] .  

2 . 2   自变量最小( 大) 值不参与的调整 
例5   设 0> 0, b> 0, c> 0 , 求证 : n+6+ c+ 3  
证 明  设 口 ≤6 ≤c   口 , 6 , c )=n…b  c +3  

≥2 (  
一 2 (  

+  
+  

+  
+  

) .  
) , 则 

口 , 6 , c ) 一  0 ,  

,  

)=6+c 一 2  

一 2   (   +   一 2  

)=  

(  一  )   【 (  +  )   一 2 同 ≥(   一  )   ( 4   一 2   J h - ) > 0 .  
- F  ̄f ( 口 ,   ,   ) 10 > . 若设 t =J  ̄- >a , 只要证 口+ 3   , 3 /   a 一  ̄ 4   J  ̄ / >o 令 上 =s 1   ≥1 s ≥1 , 则 1+  




3 s   一4 s   ≥0, 即( s 一1 )   ( 3 s  + 2 s +1 ) >0, I 至 此知 待证 式成 立.  

侈 4   6 设x >O 1 , y >O 1 , z >O 1 , t > 1 O ,  + y+  + t = 4 , 求证 :  
( 1 +3 x ) ( 1+ 3 y ) ( 1 +3 z ) ( 1 +3 t ) ≤1 3 0+1 2 6 x y z t .   证 明  不 妨设 x Iz > ly > It >   2 , z t ≤1 , 从 而  , y , z , t )=1 3 0+1 2 6 x y z t 一( 1+3   ) ( 1+ 3 y ) ( 1 +3 z ) ( 1 +3 £ ) . 此 时  +t ≤ 

f ( x , y  

,   叫  6 x y z t  6 (  ) ‘ z t 一  
【 ( 1 + 3 x ) ( 1 + 3 y ) 一 ( 1 + 3 .  ) ( 1 + 3 .   ) 】 ( 1 + 3 z ) ( 1 + 3 t ) =  
三 [ 9 + 2 7 (  +   ) 一 4 5 z t ] ≥   [ 9 + 5 4   4 5 荔] >0 i .  


由 定 理3 , 调整4 个自 变 量中的 最大 值、 第二 大 值和第三 大 值, 直至 它 们的 平均, 此时 可 令  : y :   : - 4 } 
下证  ,   ,   ,   , 即 

l 3 o + 1 2 6 ( 孚) 3 t 一 (  3 ?  )   ( 1 + 3 t ) ≥ o 铮 1 5 — 4 £ 一 4 2 “3 6  5 t 4 ≥ o 甘 ( 1  ( 1 5 + 2 6  t 2 ) 地 
上式对于 0< t ≤1 显然为真 , 待证式成立.   例 6的证法 已经把本文介绍 的技巧集于一身 , 它是 自变量最小值 t 不参与调整的情形下 , 自变量的最  大值与次小值进行“ 和调整” , 从而 由定理 3知 : 除t 外, 其实 自变量都能调整到相等 , 不妨设为 s , 最后证 明 
二 元 函数  s , s , …, s , t ) ≥O .  
3 其他 情 形的 局部调 整 法 

侈 4   7   已知 口 ≥O , 6 >0 I , c >0 I , 口+6+ C =1 , 求证 : ( 1 一n   )  +( 1—6   )  +( 1 一C   )   ≥2 .  

证明

设  0 , 6 , c ) =( 1 一 口   )  +( 1 — 6   )  +( 1 一 c   )   . 先证, ( 口 , 6 , c )  

0 , 口+ 6 , c ) , 其等价于  

( 1 一 口   )  +( 1 一 b   )  +( 1 一 c   )   ≥( 1 — 0 )  +[ 1 一( 口+ 6 )   ]  +( 1 一 c   )   ,  
即   1 ≥口  +   3口 6+6  
.  .  

由1 =( 口 + b + c )   ≥( 口 + 6 )  = 口   + 2 a b + b  知上 式为真. 此时   0 , 6 , c ) ≥ 厂 ( 0 , 口 + 6 , c ) =  c , 口+ 6 , 0 ) ≥  
0 , 0+ 6+c , 0 )= 2 , 即证.  

例 8 已知正实数  1 ,   2 , …,  , 满足  1 戈 2 …   =1 , 求证 :  
1   1   1  

T  +   T 

一+   T  ≤   ’  

?

4 0?  

中学教研 ( 数 学)  

( 1 9 9 9年 罗马 尼 亚 数 学 奥 林 匹 克 国 家 队 试 题 )  

证明  先证如下的结论 ( 1 ) 和结论( 2 ) , 此处略.  
( 1 ) 若 ≥n一1   y ≥n一1 , 贝 0  
1   1   1  
n 叫

1  

丁  +   T  ≤   T 

十 _ —■ 
十 

甘 

(   — 2 — n —   二 一   — 2   ) _ i [   ( n 一   1 二  x   )   { +   y   } ]   (   丢 = = 一 _ 1   。 1 =   - +     ) 丽 ( n 一   1   +   Y  一 )   [ x y (   一 - )   ] ≥ ,   。 .  
( 2 ) 若 ≤n一1 , ) , ≤n一1 , 贝 0  

+   南 ≤  


≤ (   _ 1 )   ‘ . ?  
…,   } , 由结论 ( 1 )  

设 A={  

>/ 7 , 一1 } 和 B={  

≤  一1 } . 若 集合 A是 空 集 , 则 由结论 ( 2 ) 知,   。 ,   : , …,   都可 以逐 

步 两两调 整 到 它们 的几何 平 均 1 , 结论 为 显 然. 若 集合 A不是 空集 , 不 妨设 A={  

知, 可以把它们调整到 t 一 1 个 n— l 和1 个 
I   n — l   J  

, 前者都并入集合 B 中, 此 时A的元素为 1 个, B中的  

元 素为  一1个 , 可 以继 续调 整到 它们 的几何 平均.  
至此 , 只要证  , _ 1

,一


, …

s n 一   的情形 , 其 中s n - 1 > n 一 1 , 即只要证 
+   -( , 卜 1 ) S +n- -2 ≥ O,  

, ‘



J  T  

S 

由于 易证 最 后 一式 的左边 关 于 s 单调 且 能在 s =1时等号成 立 , 即证.  

关于局部调整法 , 还有微分判别准则 , 具体可见文献 [ 3 ] .  
4 练 习题 

? . 设 口 , 6 , c , d 为 正 数 , 口 + 6 + c +   = t , 求 证 : ( n +   ) ( 6 +   ) ( c + ÷ ) ( d +   ) ≥ (   )   .  
2 . 设。 ? , 口 : , …, 口   >0  ̄l a 2 . . . a n -1 求证 : 1
口 


+ 

+… +   +  

≥凡+ 2 . ( 提示 : 采 取 自变 

量 的最大值不参与的积调整 , 其结果强于例 4 . )  

3 .  A A B C 中 , 求 证 :  
可参考例 2 . )  

+  

+  

≥ ÷ . ( 提 示 : 最 小 内 角 不 参 与 的 和 调 整 , 证 明 过 程  
( 2 0 0 5年全 国高 中数 学联 赛试题 )  

( 在 成文 过程 中 , 得到 “ 局 部调 整法 ” 研 究专 家 石世 昌先生 的帮助 。 在 此表 示衷  感 谢 ! )  
参 考 文 献 

[ 1 ]   赵德钧. 关于求多元对称 函数极值 的一个磨f l L  ̄[ J ] . 数学通报 , 1 9 9 8 ( 1 2 ) : 3 1 - 3 2 .  
[ 2 ]   杨学枝. 数学奥林匹克不等式研 究[ M] . 哈 尔滨 : 哈 尔滨工业大学 出版社 , 2 0 0 9 : 3 3 0 - 3 3 1 .   [ 3 ]   张小明, 褚玉明. 解析不等式新论[ M] . 哈 尔滨 : 哈 尔滨工业大学出版社 , 2 0 0 9 : 2 1 7   2 5 9 .  


相关文章:
更多相关标签: