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公开课古典概型


古典概型(一)
高中数学人教A版 必修3 第三章3.2.1

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(1)互斥事件:不能同时发生的两个事件
(2)对立事件:不能同时发生且必有一个发生的 两个事件 (3)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥, 则 P(A+B)=P(A)+P(B)

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一、基本事件的定义及特点

1点

2点

3点

4点

5点

6点

一次试验可能出现的每一个结果称为一个 基本事件 问题1: (1) 在一次试验中,会同时出现 “1点” 与 “2点” 这两个基本事件吗?不会 ( 2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件? “2点” “4点” “6点” 事件“向上的点数不大于4”包含哪几个基本事件? “1点” “2点” “3点” “4点”

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基本事件的两大特点:
(1)互斥性:任何两个基本事件是互斥的 (2)完备性:任何事件(除不可能事件) 都可以表示成基本事件的和

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问题2:掷一枚均匀的骰子,若事件A表示“出现偶数点”,则 事件A发生的概率是多少? 探究:基本事件的总数为6个,{1点,2点,3点,4点,5点,6点}
事件A包含的基本事件有3个,{2点,4点,6点} P(A)=P(2点)+P(4点)+P(6点) =
1 1 1 3 ? ? ? 6 6 6 6

1 = 2

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生1:{2点,3点,4点,5点……,11点,12点} 生2:{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6) }

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{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }

若事件A为“点数之和小于等于6”,则
1 15 5 ? ? P(A)= 15 ? 36 36 12
生1:{2点,3点,4点,5点……,11点,12点}

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具备什么特点的事件可以采用上述方法计算 概率?结合掷骰子的例子总结
各基本事件发生的概率相等 某事件含有的基本事件的个数是n个, n ? ? 基本事件的总数是有限个

1 ?0 n

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二、古典概型的定义

(1) 有限性:试验中所有可能出现的基本事件的个数只有有限个 (2) 等可能性:每个基本事件出现的可能性相等

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型

简称:古典概型

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古典概型的概率计算公式:
P(A) A包含的基本事件的个数 m

基本事件的总数

n

在使用古典概型的概率公式时,应该注意: 要判断所用概率模型是不是古典概型(前提)

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问题3:向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内 任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?

有限性 等可能性

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问题4:某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果有: “命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中7环”、 “命中6环”、“命中5环”和“不中环”。 你认为这是古典概型吗?为什么?

有限性 等可能性

5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 7 6 5

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例1:抛掷两枚硬币,求结果一正一反的概率

误区:A={两正,一正一反,两反}
解:抛掷两枚硬币产生的基本事件组为包括 {(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}, 每个基本事件发生的概率均相等,设事件A表示“结果 一正一反”,则事件A中包含(正,反),(反,正) 两个基本事件,故由古典概型的概率计算公式,得
P( A) ? 2 1 ? 4 2

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例2.单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A、 B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握 了考察的内容,它可以选择唯一正确的答案。假设考 生不会做,他随机的选择一个答案,问他答对的概率 是多少? 解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个:选 择A、选择B、选择C、选择D,即基本事件只有4个,考生随 机的选择一个答案是选择A、B、C、D的可能性是相等的, 由古典概型的概率计算公式得: P ( “答对” )= “答对”所包含的基本事件的个数 4 1 = 4 =0.25

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变式.多选题从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答 案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案, 多选题更难猜对,为什么?

分析:在多选题中,基本事件为15个(A),(B),(C) (D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D), (A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),(A,B,C,D). 假设考生不会做,在他随机的选择任何答案是等可能的情况 1 下,他答对的概率为 15 ≈0.0667,比单选题答对的概率0.25 小得多,所以多选题更难猜对

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例3.同时掷两枚质地均匀的骰子,计算向上的点数之和是5的 概率
解:(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号 1,2以便区分,它总共出现的情况如下表所示:
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

2
3 4

5
6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。

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在上面的结果中,向上的点数之和为5的结果有4种,分别为: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之 和为9的结果(记为事件A)有4种,因此,

A所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 4 1 P (A)= = = 基本事件的总数 36 9

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为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会

出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不标上记号,类似于(1,4)和(4,1)的结果将没 有区别。这时,所有可能的结果将是:
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

P (A6 )=

A所包含的基本事件的个数 2 (6,1) (6,2) (6,3)= (6,4) (6,5) (6,6) 基本事件的总数 21

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因此,在投掷两个 骰子的过程中,我 们必须对两个骰子 加以标号区分

(3,6) (3,3)

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例4:假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以 是0,1,2…,9十个数字中的任意一个。假设一个人完 全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自

动提款机上随机试一次密码就能取到钱
的概率是多少? 解:设“试一次就能取到钱”为事件A 由于每个数字都有10个选择,所以 4个数字共构成10×10×10×10= 10000个基本事件,且均为 等可能的基本事件,由古典概型的概率计算公式知:

P(A)=

1 10000

课堂小结
1.基本事件的定义和特点
2.古典概型的定义和特点 (有限性、等可能性)

3.古典概型中事件的概率计算:
P(A) ? 事件A中包含的基本事 件的个数 基本事件总数


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