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空间几何量的计算.板块七.空间几何量计算综合问题.学生版


板块七.空间几何量计算综合 问题 典例分析
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥” ,四条侧棱称为它的

腰,以下四个命题中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
P

D

O C H B

A

【例2】 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在侧面 BCC1 B1 及其边界上运动,并且

总保持 AP ? BD1 ,则动点 P 的轨迹是(
A.线段 B1C B.线段 BC1 C. BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D. BC 中点与 B1C1 中点连成的线段
D1 A1 B1 P D A B C C1



【例3】 (2010 重庆高考) 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线
1

的平面内的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆

C.抛物线

D.双曲线

【例4】 (2010 福建高考) EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到 如图,若 ? 是长方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 被平面 的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且
EH ∥ A1D1 ,则下列结论中不正确的是(



A. EH ∥ FG C. ? 是棱柱
D1 A1 E F D A B C H B1 C1 G

B.四边形 EFGH 是矩形 D. ? 是棱台

【例5】 (2010 江西高考) 过正方形 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 作直线 l ,使 l 与棱 AB , AD , AA1 所成的角 都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 B.2 条 C.3 条
A B A1 B1 C1 C D1 D

D.4 条

【例6】 (2010 全国卷Ⅱ高考) 11.与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的 点 A.有且只有 1 个 C.有且只有 3 个 B.有且只有 2 个 D.有无数个

【例7】 (2009 海南)如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱线长为 1 ,线段 B1 D1 上有两个
F ,且 EF ? 动点 E ,
2 ,则下列结论中错误的是( 2



A. AC ? BE B. EF ∥平面 ABCD
2

C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 BF 所成的角为定值 D.异面直线 AE ,
C1 E D1 F A1 B1

C

B A

D

【例8】 (2008 辽宁)
F 分别为棱 AA1 , CC1 的中点,则在空间中与三 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , 条直线 A1 D1 , EF , CD 都相交的直线( )

A.不存在 C.有且只有三条
D1
M N

B.有且只有两条 D.有无数条
C1

A1
P

B1 F

E

D B

C

A

【例9】 (2009 安徽文 15)对于四面体 ABCD ,下列命题正确的是 所有正确命题的编号) . ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 ?BCD 的三条高线的交点; ③若分别作 ?ABC 和 ?ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.

. (写出

【例10】 (2010 年一模·西城·文·题 17) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点, 它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. ⑴证明: AD ? 平面 PBC ; ⑵求三棱锥 D ? ABC 的体积; ⑶在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.

3

P D
4 2 2 2 4 2 2 2

A B

C

4

正(主)视图

侧(左)视图

【例11】 (2010 年二模·宣武·文·题 16) 已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图中标出的数据, ⑴ 求这个组合体的体积; ⑵ 若组合体的底部几何体记为 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,其中 A 1 B1 BA 为正方形. ⅰ)求证: A1 B ? 平面 AB1C1 D ; ⅱ)求证: P 为棱 A1 B1 上一点,求 AP ? PC1 的最小值.
4 12 8 8 主视图
D1

10

左视图
C1

俯视图

A1

B1 D

C

A

B

【例12】 (2010 年二模·宣武·理·题 16) 已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图中标出的数据, ⑴求这个组合体的表面积; ⑵若组合体的底部几何体记为 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,其中 A 1 B1 BA 为正方形. ⅰ)求证: A1 B ? 平面AB1C1D ; ⅱ)设点 P 为棱 A1 D1 上 一点,求直线 AP 与平面 AB1C1 D 所成角的正弦值的取值范 围.

4

4 12 8

10

8 主视图
D1

左视图
C1

俯视图

P A1 D B1 C

A

B

【例13】 (2009 广雅期中) 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的动点.
P E
2 2 1 1 主视图 1 左视图 1 俯视图

D

C

A

B

⑴求四棱锥 P ? ABCD 的体积; ⑵是否不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE ?证明你的结论.

【例14】 (2009 江门市一模) 如图,四棱锥 P ? ABCD , ?PAB ≌ ?CBA ,在它的俯视图 ABCD 中, BC ? CD , AD ? 1 , ?BCD ? ?BAD ? 60? . ⑴求证: ?PBC 是直角三角形; ⑵求四棱锥 P ? ABC 的体积.

5

P B B D C 直观图 A D C 俯视图 A(P)

【例15】 (2009 安徽文 20) 如图, ABCD 是边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行, E 和 F 是 l 上的两 个不同点, 且 EA ? ED ,FB ? FC .E? 和 F? 是平面 ABCD 内的两点,EE? 和 FF ? 都 与平面 ABCD 垂直. ⑴证明:直线 E?F? 垂直且平分线段 AD ; ⑵若 ?EAD ? ?EAB ? 60? , EF ? 2 ,求多面体 ABCDEF 的体积.
l D E' A B E C F' F

【例16】 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 3 , BC ? 3 ,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,使

点 C 移到 C ? 点, C ?O ⊥面 ABD ,且 O 在 AB 上. ⑴求证: BC ? ⊥平面 AC ?D ; ⑵求点 A 到平面 BC ?D 的距离; ⑶求直线 AB 与平面 BC ?D 所成角的正弦值.
B A

C ' (C) A D

B
C D

O

6

【例17】 如图,?ACD 和 ?ABC 都是直角三角形,AB ? BC ,?CAD ? 30? , 把三角形 ABC

沿 AC 边折起,使 ?ABC 所在的平面与 ?ACD 所在的平面垂直,若 AB ? 6 .
⑴求证:面 ABD ⊥面 BCD ;⑵求 C 点到平面 ABD 的距离.

B

B
C

A

A

H D

C

D

【例18】 (2006 江苏-19)在正 ?ABC 中, E、 F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点, 满足 AE : EB ? CF : FA ? CP : PB ? 1: 2 ,将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使 二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角,连结 A1 B、A1 P ⑴求证: A1 E ? 平面 BEP ⑵求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小 ⑶求二面角 B ? A1 P ? F 的余弦值大小.
A

A1 E B P
D B

E

F C

F P C

CD 的中点, G 是 【例19】 (07 湖南理 18)如图 1, E , F 分别是矩形 ABCD 的边 AB ,

CD 翻折成 ?G1 AB , ?G2CD ,并 EF 上的一点,将 ?GAB , ?GCD 分别沿 AB ,
G1G2 ∥ AD , 连结 G1G2 , 使得平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD , 且 G1G2 ? AD . 连结 BG2 ,

如图 2.
A E B 图1 G D

G1
F C

G2 A D F 图2 C

E B

⑴ 证明:平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 ;
7

⑵ 当 AB ?12 , BC ? 25 , EG ? 8 时,求直线 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角;

【例20】 (2009 江西)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,

PA ? AD ? 4 , AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点

M ,交 PC 于点 N . ⑴求证:平面 ABM ? 平面 PCD ;
P

M N A B O C D

⑵求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; ⑶求点 N 到平面 ACM 的距离. 【例21】 (2003 京皖春)
F分 如图所示,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4 . E , BC 的中点, EF ? BD ? G . 别为棱 AB ,

⑴求证:平面 B1 EF ? 平面 BDD1 B1 ; ⑵求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d ; ⑶求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V .
D1 A1 B1 C1

D G A E B F

C

【例22】 (2009 扬州中学高三期末) 在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2AB ? 2 . ⑴求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ; ⑵若 F 为 PC 的中点,求证 PC ? 平面 AEF .

8

P

E A

F B

D

C

【例23】 如图, 已知 PA ? ⊙O 所在的平面,AB 是 ⊙O 的直径,AB ? 2 ,C 是 ⊙O 上一点,

且 AC ? BC , PC 与 ⊙O 所在的平面成 45 ? 角, E 是 PC 中点. F 为 PB 中点. ⑴求证: EF ∥ 面ABC ;⑵求证: EF ? 面PAC ;⑶求三棱锥 B ? PAC 的体积.
P

F E A O C B

【例24】 (05-天津-19)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?A1 AB ? ?A1 AC , AB ? AC ,
A1 A ? A1 B ? a ,侧面 B1 BCC1 与底面 ABC 所成的二面角为 120? , E 、 F 分别是棱 CB1 、 AA1 的中点.

⑴求 AA1 与底面 ABC 所成的角; ⑵证明: EA1 ∥平面 B1 FC ; ⑶求经过 A1 、 A 、 B 、 C 四点的球的体积.
A1 F A C B C1 E B1

9

【例25】 (07 福建理 18) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. ⑴ 求证: AB1 ? 面 A1 BD ; ⑵ 求二面角 A ? A1D ? B 的大小; ⑶ 求点 C 到平面 A1 BD 的距离;
A A1

C D B B1

C1

\ 【例26】 如图所示,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底边长为 2 ,高为 4 ,过 AB 作一截面交侧

棱 CC1 于 P ,截面与底面成 60? 角,
⑴求截面 ?PAB 的面积; ⑵求点 C 到平面 ABP 的距离; ⑶求 PB 与平面 A1 B1 BA 所成的角的正弦值.
C1 A1 B1 P

C A B

【例27】 (05-江西-20)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点

E 在棱 AD 上移动. ⑴证明: D1 E ⊥ A1 D ; ⑵当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; π ⑶ AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 . 4
D1 A1 B1 D A E B C C1

10

【例28】 (2009 江西) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AC 为直径的球面交 PD 于点 M , 交 PC 于点 N . AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 ⑴求证:平面 ABM ? 平面 PCD ; ⑵求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; ⑶求点 N 到平面 ACM 的距离.
P

M N A B O C D

【例29】 (08 北京卷 16)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? ,

AP ? BP ? AB , PC ? AC . ⑴ 求证: PC ? AB ; ⑵ 求二面角 B ? AP ? C 的大小; ⑶ 求点 C 到平面 APB 的距离.
P

D A C B

【例30】 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是 AB ? 2 , BC ? 2 的矩形,侧面 PAB 是等边

三角形,且侧面 PAB ? 底面 ABCD . ⑴证明: BC ? 侧面 PAB ; ⑵证明:侧面 PAD ⊥侧面 PAB ; ⑶求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小.
P

B C D

A

11

P ? ABCD 是正四棱锥, PA ? 6 . 【例31】 如图, 其中 AB ? 2 , ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体,

⑴求证: PA ? B1 D1 ; ⑵求平面 PAD 与平面 BDD1 B1 所成的锐二面角 ? 的大小; ⑶求 B1 到平面 PAD 的距离.
P D A B

C

D1 A1 B1

C1

F 【例32】 如图所示,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4 . E ,
BC 的中点, EF ? BD ? G . 分别为棱 AB ,

⑴求证:平面 B1 EF ? 平面 BDD1 B1 ; ⑵求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d ; ⑶求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V .
D1 A1 B1 C1

D G A E B F

C

【例33】 (07 福建理 18) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. ⑴ 求证: AB1 ? 面 A1 BD ; ⑵ 求二面角 A ? A1D ? B 的大小; ⑶ 求点 C 到平面 A1 BD 的距离;

12

A

A1

C D B B1

C1

【例34】 (05-江西-20)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点

E 在棱 AD 上移动. ⑴证明: D1 E ⊥ A1 D ; ⑵当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; π ⑶ AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 . 4
D1 A1 B1 D A E B C C1

【例35】 已知 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱, D 是 AC 的中点. ⑴证明: AB1 ∥平面 DBC1 ; ⑵若 AB1 ? BC1 , BC ? 2 . ①求二面角 D ? BC1 ? C 的大小; ②若 E 为 AB1 的中点,求三棱锥 E ? BDC1 的体积.
B1 A1 O H C1

E B

C

A

13

【例36】 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形, PB ? 平面 ABCD . ⑴若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60? ,求这个四棱锥的体积; ⑵证明无论四棱锥的高怎样变化,二面角 C ? PD ? A 恒大于 90?

P

D C B

A

【例37】 (1999 全国-文 22)如图,已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,点 E 在棱 DD1 上,

截面 EAC ∥ D1 B ,且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45? , AB ? a .
⑴求截面 EAC 的面积; ⑵求三棱锥 B1 ? EAC 的体积.
D1 A1 E D A O B C B1 C1

【例38】 ( 08 辽 宁 卷 19 ) 如 图 1 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中 ,
AP ? BQ ? b ? 0 ? b ? 1? ,截面 PQEF ∥ A?D ,截面 PQGH ∥ AD? .

⑴ 证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; ⑵ 证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值; ⑶ 若 D?E 与平面 PQEF 所成的角为 45 ? ,求 D?E 与平面 PQGH 所成角的正弦值.

14

D' H A' P D F A 图1 B E B' Q G

C'

C

【例39】 (2009 西城区一模) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,?BCD ? 90? , AB ∥ CD , 又 AB ? BC ? PC ? 1 , PB ? 2 , CD ? 2 , AB ? PC . ⑴求证: PC ? 平面 ABCD ; ⑵求二面角 B ? PD ? C 的大小; ⑶求点 B 到平面 PAD 的距离.
P

D

C A B

【例40】 (2009 石景山区一模) 如图, 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2 ,D 是侧棱 CC1 的中点, 直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45 ° . ⑴求此正三棱柱的侧棱长; ⑵求二面角 A ? BD ? C 的大小; ⑶求点 C 到平面 ABD 的距离.
A1 A B1 B D C C1

【例41】 (海淀二模) 如图,直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, C1C ? CB ? CA ? 2 , AC ? CB . D 、 E 分别为 棱 C1C 、 B1C1 的中点.
15

⑴ 求点 B 到平面 A1C1CA 的距离; ⑵ 求二面角 B ? A1 D ? A 的大小; ⑶ 在线段 AC 上是否存在一点 F ,使得 EF ? 平面 A1 BD ?若存在,确定其位置并 证明结论;若不存在,说明理由.
A1 C1 E B1

D FA C

B

16


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