当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省扬州中学2014届高三上学期期中考试模拟数学试题 Word版含答案


江苏省扬州中学 2013—2014 期中考试模拟试题

数 学
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分, ) 1.已知全集 U ? ? ,2,3,4?,集合 P ? ?1, 2? , Q ? ?2,3? ,则 P ? (? Q) ? 1 U 2. 复数 3.“ ? ?

2013.11

.

?

5i 的实部是 1 ? 2i

6

”是“ sin ? ?

1 ”的 2

条件.

(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m, n 作为点 P 的横、 纵坐标, 则点 P 在直线 x ? y ? 5 上的概率为 5.如图是某学校学生体重的频率分布直方图,已知图中 从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,第 2 小组 的频数为 10 ,则抽取的学生人数是 . .

6.若样本 a1 , a2 , a3 的方差是 2,则样本 2a1 ? 3,2a2 ? 3,2a3 ? 3 的方差是 7.执行右边的程序框图,若 p ? 15 ,则输出的 n ? 8.已知函数 f ( x) ? ? .

?log 2 x( x ? 0) 1 , 则 f [ f ( )] 的值是 x 4 ? 3 ( x ? 0)

.

9.等差数列 {an } 中,若 a1 ? a2 ? 4 , a9 ? a10 ? 36 , 则 S10 ? .

?2 x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 5 ? 0 1 x 1 y ? 10.已知实数 x 、 y 满足 ? ,则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为 . 4 2 ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? ? n ? 11 . 设 向 量 a ? ( c o s ,?s i, b ) (cos ? , sin ? ) , 其 中 0 ? ? ? ? ? ? , 若
? ? ? ? | 2 ? b ? |a ? 2 | ? ? ? ? a | b ,则
12. 若函数 f ( x) ?
2

. ___. .

4 ? k ? 2 x 在 ? ??, 2 ? 上有意义,则实数 k 的取值范围是_
2

13.若函数 f ( x) ? x ? 2a x ? 4a ? 3 的零点有且只有一个,则实数 a ?

14.对于在区间[a,b]上有意义的两个函数 m( x)与n( x) ,如果对于区间[a,b]中的任意 x 均有 | m( x) ? n( x) |? 1,则称 m( x)与n( x) 在[a,b]上是“密切函数”, [a,b]称为“密 切区间”,若函数 m( x ) ? 则 b ? a 的最大值为

x 2 ? 3x ? 4 与 n( x) ? 2 x ? 3 在区间[a,b]上是“密切函数”,
.

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?2sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1
2

⑴求 f ( x) 的最小正周期及对称中心; ⑵若 x ? [?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3

16. (本题满分 14 分) 如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, OP ? x ? OA ? y ? OB. (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值; (2)若 BP ? 3PA , | OA |? 4 , | OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60° 时,求 OP ? AB 的值。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

17.(本题满分 14 分) 已知集 A ? ? x

? 1? x ? ? 0 ? 合, B ? x x 2 ? 2 x ? a 2 ? 2a ? 0 ? x?7 ?

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 16 分) 扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑 到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低于
?

3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x (米) ,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 ....... ......

y (米). ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最
小)?求此时外周长的值.

B

C

x
60?

A

D

19. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
3 2

?

?

⑴求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数 c 的最小值; ⑶若过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

20. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设函数 f ? x ? ?

? 1 ? 2x ? 3 ? x ? 0? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? f ? ? ? n ? N * , 且n ? 2 ? . 3x ? an ?1 ?

⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1? 求实数 t 的取值范围; ⑶是否存在以 a1 为首项,公比为 q 0 ? q ? 5, q ? N
n ?1

an an ?1 ,若 Tn ? tn 2 对 n ? N * 恒成立,

?

*

? 的数列 ?a ? , k ? N
nk

*

,使得数

列 a n k 中每一项都是数列 ?an ? 中不同的项, 若存在, 求出所有满足条件的数列 ?nk ? 的 通项公式;若不存在,说明理由.

? ?

2009~2010 学年度第一学期期末高考模拟考试

数学参考答案及评分标准
1、 {1} 2、2 3、充分不必要 4、

1 9
11、

5、 40

6、 8

7、 5

8、

1 9

9、 100

10、

1 16

? 2

12、 (??,1]

13、

3 2

14、1

15.解:⑴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ∴ f ( x) 的最小正周期为 T ?

?
6

)

2? ------6 分 ?? , 2 ? k? ? 令 sin(2 x ? ) ? 0 ,则 x ? ? (k ? Z ) , 6 2 12 k? ? ∴ f ( x) 的对称中心为 ( ----8 分 ? , 0), (k ? Z ) ; 2 12 ? ? ? ? 5? 1 ? ⑵∵ x ? [? , ] ∴ ? ? 2 x ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ∴ ?1 ? f ( x) ? 2 6 3 6 6 6 2 6
∴当 x ? ?

?

6 ??? ??? ? ? 16. (1)∵ BP ? PA ,

时, f ( x) 的最小值为 ?1 ;当 x ?

?

6

时, f ( x) 的最大值为 2 。 ----14 分

∴ BO ? OP ? PO ? OA ,即 2OP ? OB ? OA ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

3分 5分

? ? 1 ??? 1 ??? 1 1 OA ? OB ,即 x ? , y ? 2 2 2 2 ??? ? ??? ? (2)∵ BP ? 3PA ,
∴ OP ? ∴ BO ? OP ? 3PO ? 3OA ,即 4OP ? OB ? 3OA

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7分 8分 9分 10 分 12 分 14 分

? ? 3 ??? 1 ??? OA ? OB 4 4 3 1 ∴x ? ,y ? 4 4 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 3 ??? 1 ??? ??? ??? OP ? AB ? ( OA ? OB) ? (OB ? OA) 4 4 ??? ??? 3 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 2 1 3 1 1 ? ? 22 ? ? 42 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2
∴ OP ?

??? ?

17.解: (1) A ? ? x |1 ? x ? 7? , 当 a ? 4 时, B ? x | x ? 2 x ? 24 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 6 ,
2

?

? ?

?

∴ A ? B ? ?1, 6 ? . (2) B ? x ( x ? a )( x ? a ? 2) ? 0 , ①当 a ? ?1 时, B ? ?, ? A ? B 不成立; ②当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时, B ? (?a, a ? 2),

?

?

??a ? 1 ? A ? B,? ? ,解得 a ? 5; ?a ? 2 ? 7
③当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时, B ? (a ? 2, ?a),

?a ? 2 ? 1 ? A ? B,? ? 解得 a ? ?7; ??a ? 7
综上,当 A ? B ,实数 a 的取值范围是 (??, ?7] ? [5, ??) . 18.解:⑴ 9 3 ?

3 1 x x, ( AD ? BC )h ,其中 AD ? BC ? 2 ? ? BC ? x , h ? 2 2 2

1 3 18 x ∴ 9 3 ? (2 BC ? x) x ,得 BC ? ? , 2 2 x 2
∴ y ? BC ? 2 x ? 分 ⑵ y?

? 3 x? 3 ?h ? ? 2 由? ,得 2 ? ? BC ? 18 ? x ? 0 ? x 2 ?

x?6

18 3x ? , (2 ? x ? 6) ; x 2

--------------------6

18 3x ? ? 10.5 得 3 ? x ? 4 ∵ [3, 4] ? [2,6) ∴ 腰 长 x 的 范 围 是 x 2

[3, 4]

--------------10 分 ⑶y?

18 3x 18 3x 18 3 x ? ?2 ? ?6 3, [) 2 当并且仅当 , x ? 2 3 ?,6 即 ? x 2 x 2 x 2

时等号成立.

∴外周长的最小值为 6 3 米, 此时腰长为 2 3 米。 分

--------------------------------15

19. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分) 解:⑴ f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3 .…………………………………………………………2 分
2

根据题意,得 ?
3

? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1 ? 即? 解得 ? ……………………3 分 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ?b ? 0 ? f ? ?1? ? 0, ?

所以 f ? x ? ? x ? 3x .………………………………………………………………4 分
2 ⑵令 f ? ? x ? ? 0 ,即 3x ? 3 ? 0 .得 x ? ?1 .

x
f ?? x?

?2

? ?2, ?1?
+

?1

? ?1,1?
?

1

?1, 2 ?
+

2

f ? x?

?2



极大值



极小值



2

因为 f ? ?1? ? 2 , f ?1? ? ?2 , 所以当 x ? ? ?2, 2? 时, f ? x ?max ? 2 , f ? x ?min ? ?2 .………………………………6 分 则对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4 ,所以 c ? 4 .
所以 c 的最小值为 4.……………………………………………………………………8 分 ⑶因为点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 不在曲线 y ? f ? x ? 上,所以可设切点为 ? x0 , y0 ? .

则 y0 ? x0 ? 3x0 .
3
2 因为 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 3 ,所以切线的斜率为 3x0 ? 3 .………………………………9 分

2

3 x0 ? 3 x0 ? m 则 3x ? 3 = ,………………………………………………………………11 分 x0 ? 2
2 0

即 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 .
3 2

因为过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线, 所以方程 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解.
3 2

所以函数 g ? x ? ? 2 x ? 6 x ? 6 ? m 有三个不同的零点.
3 2

则 g ? ? x ? ? 6 x ? 12 x .令 g ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 2 .
2

x
g?? x?

? ??, 0 ?
+ 增

0

? 0, 2 ?
?

2

? 2, ?? ?
+

g ? x?
则?

极大值



极小值



? g ? 0? ? 0 ?6 ? m ? 0 ? ,即 ? ,解得 ?6 ? m ? 2 .…………………………………16 分 g ? 2? ? 0 ? ?2 ? m ? 0 ? ?

20. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

1 ?3 ? 1 ? an ?1 2 ? an ?1 ? , ? n ? N * , 且n ? 2 ? , 解:⑴因为 an ? f ? ?? 1 3 ? an ?1 ? 3? an ?1 2?

2 .…………………………………………………………………………2 分 3 2 因为 a1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 是以 1 为首项,公差为 的等差数列. 3 2n ? 1 所以 an ? .…………………………………………………………………………4 分 3
所以 an ? an ?1 ? ⑵①当 n ? 2m, m ? N * 时,

Tn ? T2 m ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1

? a2 ? a1 ? a3 ? ? a4 ? a3 ? a5 ? ? ??? ? a2 m ? a 2 m?1 ?a2 m?1 ?

??

4 4 a ?a 1 ? a2 ? a4 ? ? ? a2m ? ? ? ? 2 2m ? m ? ? ?8m2 ? 12m ? 3 3 2 9 1 ? ? ? 2n2 ? 6n ? .…………………………………………………………………6 分 9

②当 n ? 2m ? 1, m ? N * 时,

Tn ? T2 m ?1 ? T2 m ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1

??

1 ?8m2 ? 12m ? ? 1 ?16m2 ? 16m ? 3? 9 9 1 1 ? ?8m2 ? 4m ? 3? ? ? 2n2 ? 6n ? 7 ? .…………………………………………8 分 9 9

? 1 2 ?? 9 ? 2n ? 6n ? , n为偶数, ? 所以 Tn ? ? ? 1 ? 2n 2 ? 6n ? 7 ?,n为奇数 ?9 ?
只要使 ?

* 要使 Tn ? tn 对 n ? N 恒成立,
2

1 ? 2n2 ? 6n ? ? tn2 , (n为偶数)恒成立 . 9
1? 9? 6? 5? ? ? ? ? t , 对n为偶数恒成立 ,故实数 t 的取值范围为 ? ? ?, ? . 10 分 n? 9? ?

只要使 ? ? 2 ? ⑶由 an ?

2n ? 1 ,知数列 ?an ? 中每一项都不可能是偶数. 3

* ①如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 a n k , k ? N ,

? ?

此时 a n k 中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以 a1 为首项,公比为偶数的数列

? ?

?a ? .……………………………………………………………………………………12 分
nk

②当 q ? 1 时,显然不存在这样的数列 a n k .
* 当 q ? 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列 a n k , k ? N .

? ?

? ?

k ?1 则 an 1 ? 1 , n1 ? 1 , a n k ? 3 ?

2nk ? 1 3k ? 1 , nk ? . 2 3
3k ? 1 .…………………………16 分 2

所以满足条件的数列 ?nk ? 的通项公式为 nk ?


相关文章:
...2014学年高一上学期期末试题数学Word版含答案
江苏省扬州中学2013-2014学年高一上学期期末试题数学Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2013—2014 学年度第一学期期末调研测试试题 高一数学 (满分 160 分,...
江苏省扬州中学2014-2015学年高三下学期开学考试 数学 ...
江苏省扬州中学2014-2015学年高三下学期开学考试 数学 Word版含答案_数学_高中教育...2 ,求实数 t 的值. 高三第二学期期初联考数学参考答案一、填空题 1. {?...
江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考试题 历史 Wor...
江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考试题 历史 Word版含答案 隐藏>> 江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第一学期单元测试 高三历史试卷试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ...
...2016届高三上学期开学考试 数学(理) Word版含答案
江苏省扬州中学2016届高三上学期开学考试 数学(理) Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。扬州中学 2016 届高三 8 月开学考试 数学 (理科)试题Ⅰ(全...
江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考试题物理Word...
江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考试题物理Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。1.如图所示,光滑水平桌面上,一个小球以速度v向右做匀速运动,它经过靠近...
...届高三上学期10月月考试题 数学(文) Word版含答案
江苏省扬州中学2016届高三上学期10月月考试题 数学(文) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省扬州中学高三数学(文科)月考试卷 数学 2015.10 (满分 160...
...学年高一上学期期中考试试卷 数学 word版含答案
【收集】江苏省扬州中学2013-2014学年高一上学期期中考试试卷 数学 word版含答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省扬州中学 2013—2014第一学期期中...
...中学2013届高三下学期期中考试 数学 Word版含答案
江苏省扬州中学 2012-2013 高三第二学期期中测试 数学Ⅰ注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 2013.4 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(...
江苏省扬州中学2014-2015学年高一上学期期中考试 数学 ...
江苏省扬州中学2014-2015学年高一上学期期中考试 数学 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省扬州中学2014-2015学年上学期期中考试 扬州中学期中考试,扬州...
扬州中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题word版 含答案_...
扬州中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题word版 含答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省扬州中学 2014—2015 学年第二学期期中考试 高一数学试卷...
更多相关标签: