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《常用逻辑用语》复习课教案


一、课题: 《常用逻辑用语》复习 二、教学目标: 1.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系; 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义; 3.了解逻辑联结词‘ ‘或’ ’ ‘ ‘且’ ’ ‘ ‘非’ ’的含义; 4.理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 三、教学重点: 充要条件的判断、四种命题的关系及等价性,命题真假的判

断. 四、教学难点: 对一些命题真假的判断. 五、教学方法: 讲练结合法 六、教学过程: (一)知识结构 命题及其关系 四种命题

常 用 逻 辑 用 语

充分条件与必要条件 或 简单的逻辑联结词 且 非 或 全称量词与存在量词 量词 并集 交集 补集 全称量词 存在量词 含有一个量词的否定 全称命题 特称命题 运算

(二) 、 【知识梳理】 1.命题 (1)命题的定义:我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的 真的语句叫做 ,判断为假的语句叫做 . (2)命题的结构:在数学中,具有“若 p 则 q ”这种形式的命题中的 p 叫做

叫做命题。其中判断为 , q 叫做 .

2.四种命题及其相互关系 (3)四种命题的概念:一般地,用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 ? p 和 ? q 分别表示 p 和 q 的 否定,于是四种命题的形式就是: 原命题:若 p 则 q ;逆命题: ;否命题: ;逆否命题: .

(4)四种命题之间的关系 四种命题之间的相互关系如下图所示:

原命题 若p则q 互

互 逆 否 为 逆 为 逆 互 否 互 逆

逆命题 若q则p

互 否
逆否命题 若 ?q 则 ?p

互 否
逆否命题 若 ?q 则 ?p

由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题,因此这四种命题的真假之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们具有相同的 ; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 . (5)反证法 由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,所以我们在直接证明某一命题有困难时,可以通过证 明 ,来间接地证明原命题为真命题,这种证明的方法,称作是 。用反证法证明 的步骤如下: (1) ,即假设结论的反面成立; (2)从 出发,经过推理论证得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确, . 3.充分条件与必要条件 (6)若 p ? q ,则 p 叫做 q 的 条件,则 q 叫做 p 的 条件; 若 p ? q ,则 p 叫做 q 的 条件,简称为 条件. (7)如果 p ? q 且 q ? p ,我们称 p 为 q 的 条件,如果 p ? q 且 q ? p ,则我们称 p 为 q的 条件. 4.判断充要条件的方法 (8)命题判断法 设“若 p 则 q ”为原命题,那么: (1)原命题为真,逆命题为假时,则 p 是 q 的 (2)原命题为假,逆命题为真时 p 是 q 的 (3)原命题与逆命题都为真时, p 是 q 的 (4) 原命题与逆命题都为假时, p 是 q 的 (9)集合判断法 从集合的观点看,建立命题 p, q 相应的集合: p : A ? {x | p( x) 成立 } ,q : B ? {x | q( x) 成立 } ,那么: (1)若 A ? B ,则 p 是 q 的 (2) 若 B ? A ,则 p 是 q 的 (3)若 A ? B ,则 p 是 q 的 条件,若 A ? B 时,则 p 是 q 的
?

条件; 条件; 条件; 条件.

条件; 条件; 条件.

条件,若 B ? A 时,则 p 是 q 的
?

条件,若 A ? B 且 B ? A 时,则 p 是 q 的

5.逻辑联结词 (10)逻辑联结词:在数学中,有时会使用一些联结词,如 (11) “ p 且 q ”记作 ; “ p 或 q ”记作 ; “非 p ”记作
? (12)命题 p ? q , p ? q 和 p 的真假判断

. .

(1)当 p, q 都是真命题时, p ? q 为

; p?q为

; ?p 为

.

(2)当 p, q 有一个是真命题时, p ? q 为 ; p?q为 . (3) 当 p, q 都是假命题时, p ? q 为 ; p?q为 ; ?p 为 . 上述语句可以描述为:对于 p ? q “一假必假” ;对于 p ? q “一真必真” ;对于 ? p “真假相反” 。 可以用下表来判断: (即真值表)

p
真 真 假 假 6.全称量词与存在量词 (13) .全称量词:短语 、 含有全称量词的命题,叫做

q
真 假 真 假

p?q

p?q

?p

在逻辑中通常叫做全称量词,用符号 . .

来表示;

全称命题“对 M 中任意一个 x ,有 p ( x) 成立”可用符号简记为 (14) .存在量词:短语 、 含有存在量词的命题,叫做

在逻辑中通常叫做存在量词,用符号 . .

来表示;

存在命题“存在 M 中一个 x ,使 p ( x) 成立” 可用符号简记为 (15) .含有一个量词的命题的否定: 全称命题 p : ?x ? M , p( x) ,它的否定 ? p : 特称命题

;即全称命题的否定是 ;即全称命题的否定是

. .

p : ?x ? M , p( x) ,它的否定 ? p :

(三) 、范例导航
1.四种命题的关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)已知 a , b , c 为实数,若 ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2

2 (2)若 x ? 2 或 x ? 3 ,则 x ? 5x ? 6 ? 0 ;

(3)若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为零. 【分析】由定义写出其逆命题、否命题、逆否命题,然后判断其真假;也可利用命题间的等价性来判断. 【解答】 (1)原命题是真命题; 逆命题:若 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根,则 ac ? 0 , (假) ;
2

否命题:若 ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 没有两个不相等的实数根, (假) ;
2

逆否命题:若 ax ? bx ? c ? 0 没有两个不相等的实数根,则 ac ? 0 , (真) .
2

(2)原命题是真命题;
2 逆命题:若 x ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 或 x ? 3 ,是真命题; 2 否命题:若 x ? 2 且 x ? 3 ,则 x ? 5x ? 6 ? 0 ,是真命题;

2 逆否命题:若 x ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 且 x ? 3 ,是真命题.

(3)原命题是真命题; 逆命题:若 x , y 全为零,则 x2 ? y 2 ? 0 , (真) ; 否命题:若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 不全为零, (真) ; 逆否命题:若 x , y 不全为零,则 x2 ? y 2 ? 0 , (真) . 【点评】(1)要注意四种命题之间的等价关系,即原命题与逆否命题等价,否命题与逆命题等价.判断一 个命题是真命题时,要按照数学逻辑进行推理证明,而要说明它是假命题时,只需要举出一个反例即可. (2)在否定条件或结论时,要注意否定词语的使用.常见否定词语有: 正面词语 否定词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 不小于( ? ) 有 无 是 不是 都是 不都是 全是 不全是

不等于 ( ? ) 不大于( ? )

正面词语 否定词语

任意的 某个

任意两个 某两个

至少有一个 一个也没有

至多有一个 至少有两个

所有的 某些

至多有 n 个 至少有 n ? 1 个

或 且

变式训练:
写出下列命题的否命题,并判断真假 (1)若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为 0; (2)若 x + y =0,则 x,y 中至多有一个大于 0. 答案: (1)否命题:若 xy ? 0 ,则 x,y 都不为 0; (真) (2)否命题:若 x ? y ? 0 ,则 x,y 都大于 0(假)

2.充分必要条件
例 2(1) “ ? ?

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的( 2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】充要条件的判断前提是先明确条件与结论,即弄清楚哪个是条件,哪个是结论,再根据条件 分析出推式的关系,从而利用定义和推式得到结论. 【解答】当 ? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? ,w 即 p ? q . 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

?

综上所述, “? ? (2)设集合 A ? ? x

?
6

6

? k ? Z ? ,即 q ?? p .
1 ”的充分不必要条件,故选 A. 2


? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

x ? ? ? 0? , B ? ? x 0 ? x ? 3? ,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( ? x ?1 ?

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】本题条件与结论的形式都是集合形式,只要理清集合之间的关系,按照充要条件与集合的对应

关系即可作出判断. 【解答】∵ A ? x 0 ? x ? 1 ,∴ A

?

?

B .故选 A.

【点评】在从条件推结论,结论推条件时,可以利用学过的定理、定义和公式直接做逻辑判断,或利用 数轴或 Venn 图分析两个集合的关系判断出“ p ? q ”和“ q ? p ”的真假. 例 3 已知 p 是 r 的充分条件而不必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件.现 有下列命题:① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分而不必要条件;③ r 是 q 的必要而不充分条件;④

?p是?s 的必要而不充分条件;⑤ r 是 s 的充分而不必要条件,则正确命题序号是(



A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤ 【分析】本题命题及其关系较多,如果直接解决则比较麻烦,可以用符号“ ? ” 、 “ ? ”等符号表示,简 化题意,解决方便. 【解答】由题意可知: p ? r ,且 r ?? p , q ? r ? s ? q . 所以 s ? q ,①正确; p ? r ? q ,且 q ?? p ,②正确; r ? q ,③不正确; p ? r ? s ,且 s ?? p ,④正确; r ? s ,⑤不正确.故选 B. 【点评】 (1)本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题之间关系的转化,逆否命题的等价 性,考查了逻辑思辩能力和转化思想. (2)在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中,使用符号语言可以简化过程,降低思 维量.

变式训练:
已知命题 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ,命题 q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0 ? m ? 0? ,若¬ p 是¬ q 的充分不必要条件, 3

求实数 m 的取值范围. 答案: 0 ? m ? 3 . 3. 命题真假的判断 例 4(1)已知命题 A. (?p) ? q

p :所有有理数都是实数,命题 q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是
B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q)

【分析】本题只需要判断出命题 p 和命题 q 的真假,根据真值表进行判断即可. 【解答】由题意可以判断命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,所以命题 ? p 是假命题,命题 ? q 是真 命题.只有 (?p) ? (?q) 是真命题,故选 D. 【点评】命题 p ? q 的真假判断是“一真必真” ;命题 p ? q 的真假判断是“一假必假” ;命题 p 与 ? p 的真假相反.

变式训练:
有四个关于三角函数的命题:

p1 : ?x ? R , sin 2 p3 : ?x ??0, ? ? ,

x x 1 ? cos 2 ? 2 2 2

p2 : ?x 、 y ? R , sin ? x ? y ? ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2


?
2

其中是假命题的有( A. p1 , p4

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

答案:A. 4.命题的否定 例 5 已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则( )

A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 【分析】对全称(特称)命题的否定是将其全称(存在)量词改为存在(全称)量词,再将结论否定. 【解答】将 ? 变为 ? ,同时否定 sin x ? 1 ,可以得到 ?p : ?x ? R, sin x ? 1 ,故选 C. 【点评】一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题 p : ?x ? M , p ? x ? ,它的否定¬ p : ?x0 ? M ,¬ p ? x0 ? . 特称命题 p : ?x0 ? M , p ? x0 ? ,它的否定¬ p : ?x ? M ,¬ p ? x ? .

变式训练:
命题“存在 x0 ? R, 2
x x0

? 0”的否定是
B.存在 x0 ? R, 2
x0

A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0

? 0 C.对任意的 x ?R, 2 x ? 0

D.对任意的 x ? R, 2 >0
x

答案:D (四) 、解法小结 1.要理解命题的四种形式,会运用逻辑推理判断真命题,利用举反例判断假命题.原命题与其逆否命题 为等价命题, 逆命题与否命题为等价命题, 当一个命题的真假不易判断时, 可考虑判断其等价命题的真假. 2.理解逻辑联结词的含义,能正确分析命题形式,指出构成它们的简单命题,并会依据真值表判断命题 的真假. 3.注意一个命题的否定与命题的否命题是不同的,原命题的否定只否定结论,原命题的否命题既否定条 件,又否定结论. 4.判断充要条件的三种方法是:定义法、等价法、利用集合间的包含关系作判断. (五) 、布置作业 必做题:
2 1. 命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(



,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1
2.“ x ? 2k? ?

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

?
4

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的
B.必要不充分条件
3 2

A.充分不必要条件

C .充分条件

D.既不充分也不必要条件.

3.命题“对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( ) A.不存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

D. 对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

4.下列命题是真命题的为

A.若

1 1 ? ,则 x ? y x y

B. 若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

C. 若 x ? y ,则 x ?

y

D. 若 x ? y ,则 x 2 ? y 2

5、设 m,n 是平面 ? 内的两条不同直线, l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线,则 ? // ? 的一个充分而 不必要条件是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.m // ? 且 l // ?
2

B. m // l 且 n // l 2
2

C. m // ? 且 n // ?

D. m // ? 且 n // l 2 条件.

6.若 P : x ? 2 x ? 3 ? 0, q :

1 ? 0 ,则 ?P是?q 的 x ? 5x ? 6

必做题答案:1. D. 2. A 3. C. 4.A. 5. B. 6. 充分不必要条件 选做题:1.已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax = b 的充要条件是

1 2 1 2 1 2 1 2 ax ? bx ? ax0 ? bx0 (B) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (C) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 (D) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2
(A) ?x ? R, 2. “a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ) D.既不充分也不必要条件

3.已知 p: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q: 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假, 求 m 的取值范围. 选做题答案:1.C.2. A. 3. { m 1 ? m ? 2 或 m ? 3 } (六)板书设计:

七、教学后记:复习过程中要强调知识点本身、内涵与外延,横向联系与纵向联系,注重知识的连续性和 系统性。学以致用,活学活用。还要强调解题的规范性、合理性。


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