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《2.2 等差数列》2013年基础同步练习试题解析


《2.2 等差数列》2013 年基础同步练习试题解析
一、选择题 1.已知数列 3,9,15,…,3(2n﹣1) ,…那么 81 是它的第几项( A.12 B.13 C.14 ) D.15

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知数列 3,9,15,…,3(2n﹣1) ,…可知:此数列是以 3 为首项,6 为公差的等差数列.即可得出其 通项公式,解出即可. 解答: 解:由已知数列 3,9,15,…,3(2n﹣1) ,…可知:此数列是以 3 为首项,6 为公差的等差数列.
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∴其通项公式 an=3+(n﹣1)×6=3(2n﹣1)=6n﹣3, 由 6n﹣3=81,得 n=14. 故选 C. 点评: 熟练等差数列的定义及其通项公式是解题的关键. 2.若数列{an}的通项公式为 an=﹣n+5,则此数列是( A.公差为﹣1 的等差数列 C. 首项为 5 的等差数列 考点: 专题: 分析: 解答: 等差关系的确定. 等差数列与等比数列.
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) B. 公差为 5 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列

直接根据数列{an}的通项公式是 an=﹣n+5 求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论. 解:∵an=﹣n+5, ∴an+1﹣an=[﹣(n+1)+5]﹣(﹣n+5)=﹣1, ∴{an}是公差 d=﹣1 的等差数列. 故选 A. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. 3.等差数列 1,﹣1,﹣3,﹣5,…,﹣89,它的项数是( ) A.92 B.47 C.46 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 计算题. 给出的数列是等差数列,由题意得到首项和公差,直接由通项公式求项数.
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D.45

解:a1=1,d=﹣1﹣1=﹣2,∴an=1+(n﹣1)?(﹣2)=﹣2n+3,由﹣89=﹣2n+3,得:n=46. 故选 C. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,是基础的会考题型.

4.等差数列的首项为 A. d>

,且从第 10 项开始为比 1 大的项,则公差 d 的取值范围是( B. d< C. <d< D.

) <d≤

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可知 a10>1,a9≤1,把 a1 代入即可求得 d 的范围.
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解答: 解:依题意可知, ,





<d≤

故选:D. 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用.要熟练记忆等差数列的通项公式.

5. (2003?天津)等差数列{an}中,已知 A.48 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列. 计算题;方程思想.
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,a2+a5=4,an=33,则 n 为( C.50

) D.51

B.49

先由等差数列的通项公式和已知条件解出 d,进而写出 an 的表达式,然后令 an=33,解方程即可. 解:设{an}的公差为 d, ∵ ,a2+a5=4,

∴ +d+ +4d=4,即 +5d=4, 解得 d= . ∴an= + (n﹣1)= 令 an=33, 即 =33, ,

解得 n=50. 故选 C. 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式 an=a1+(n﹣1)d,注意方程思想的应用. 6. (2006?海淀区二模)等差数列{an}的公差 d<0,且 a2?a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( ) * * * A.an=2n﹣2(n∈N ) B.an=2n+4(n∈N ) C.an=﹣2n+12(n∈N ) D.an=﹣2n+10(n∈N*) 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由题意列式求出公差,然后代入等差数列的通项公式求解.
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解:由 a2?a4=12,a2+a4=8,且 d<0,解得 a2=6,a4=2. 所以 d= .

则 an=a2+(n﹣2)d=6﹣2(n﹣2)=﹣2n+10. 故选 D. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,如果给出了等差数列公差和第 m 项 am,则 an=am+(n﹣m)d,是基础题.

7.已知 a= A.

,b= B.

,则 a,b 的等差中项为( C.

) D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差中项的性质可知 a,b 的等差中项为
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,代入即可求解

解答: 解:由等差中项的性质可知 a,b 的等差中项为 = = =

故选 A 点评: 本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于对基本概念的考查 8. (2006?福建)在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( A.40 B.42 C.43 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质. 计算题. ) D.45

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先根据 a1=2,a2+a3=13 求得 d 和 a5,进而根据等差中项的性质知 a4+a5+a6=3a5 求得答案. 解:在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13, 得 d=3,a5=14, ∴a4+a5+a6=3a5=42. 故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.属基础题.

9.若 a≠b,两个等差数列 a,x1,x2,b 与 a,y1,y2,y3,b 的公差分别为 d1,d2,则 A. B. C.

等于(



D.

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 a,x1,x2,b 为等差数列,根据等差数列的性质得到 b=a+3d1,表示出 d1,同理由 a,y1,y2,y3,b 为 等差数列,根据等差数列的性质表示出 d2,即可求出 d1 与 d2 的比值. 解答: 解:∵a,x1,x2,b 为等差数列,且公差为 d1,
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∴b=a+3d1,即 d1=



∵a,y1,y2,y3,b 也为等差数列,且公差为 d2, ∴b=a+4d2,即 d2= 则 = . ,

故选 C

点评: 此题考查了等差数列的通项公式,以及等差数列的性质,熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键.
2 2

10. (2003?天津) 已知方程 (x ﹣2x+m) (x ﹣2x+n) =0 的四个根组成一个首项为 的等差数列, 则|m﹣n|等于 ( A .1 B. C. D.



考点: 等差数列的性质;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4,进而可知 x1+x2 和 x3+x4 的值,进而根据等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列,进而求得 m 和 n,则答案可得. 解答: 解:设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4, 则 x1+x2=2,x3+x4=2, 由等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.
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设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列为 , , , , ∴m= ,n= .

∴|m﹣n|= . 故选 C 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.解题的关键是运用了等差数列当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq 的性质. 二、填空题 11. (2009?山东)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6= 13 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质可知第五项减去第二项等于公差的 3 倍,由 a5=a2+6 得到 3d 等于 6,然后再根据等差 数列的性质得到第六项等于第三项加上公差的 3 倍,把 a3 的值和 3d 的值代入即可求出 a6 的值. 解答: 解:由 a5=a2+6 得到 a5﹣a2=3d=6, 所以 a6=a3+3d=7+6=13 故答案为:13 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题,是一道基础题.
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12.一个直角三角形三边长 a、b、c 成等差数列,面积为 12,则它的周长为 12



考点: 等差数列的性质. 专题: 解三角形. 分析: 首先根据题意可知 b 一定不是斜边,设 c 为斜边,然后根据直角三角形、三边成等差数列、以及面积,列 出式子,进而解出 a、b、c,即可求出周长. 解答: 解:由条件知 b 一定不是斜边,设 c 为斜边, ∵直角三角形三边长 a、b、c 成等差数列 ∴2b=a+c ①
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a +b =c ② ∵面积为 12 ∴ ab=12 ③ 联立①②③,解得:b=4 ,a=3 ,c=5

2

2

2

∴a+b+c=12 故答案为:12 点评: 此题考查了等差数列的性质、三角形的面积等知识,属于基础题. 13.等差数列的第 3 项是 7,第 11 项是﹣1,则它的第 7 项是 3 . 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质. 等差数列与等比数列.
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设出首项和公差,再表示出 a3 和 a11,求出首项和公比,进而求出 a7 的值. 解:设首项为 a1,公差为 d, 由 a3=7,a11=﹣1 得,a1+2d=7,a1+10d=﹣1, 解得 a1=9,d=﹣1,则 a7=3. 故答案为:3. 点评: 此题考查了等差数列的性质,求出首项和公比是解题的关键,属于基础题. 14. (2011?湖北) 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的 容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升.

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题设知

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,先求出首项和公差,然后再由等差数列的通项公式

求第 5 节的容积. 解答: 解:由题设知 ,

解得 ∴ 故答案为: . =

, .

点评: 本题考查等式数列的通项公式和前 n 项和公式,解题时要注意公式的灵活运用. 15.等差数列{an}的首项为 70,公差为﹣9,则这个数列中绝对值最小的一项是第 9 项. 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质. 等差数列与等比数列. 先根据等差数列的首项和公差,求出通项公式,就可得到数列中绝对值最小的项.
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解;∵数列{an}中,a1=70,d=﹣9, ∴通项公式为 an=a1+(n﹣1)d=70﹣9(n﹣1)=﹣9n+79, ∴|an|=|﹣9n+79| 当 n=9 时,有最小值 故答案为:9. 点评: 本题考查了等差数列通项公式,属于基础题,必须掌握.

三、解答题 16.已知 , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列.

考点: 等差关系的确定. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据题意得 ,化简整理得 2ac=b(a+c) .再将
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+ +

通分,将分子中的 b(a+c)换成 ac,分母中 =2? ,结合等差中项的定义即可得到

的 ac 换成 , 解答: ,

,结合完全平方公式约分化简得 也成等差数列.

解:∵ , , 成等差数列, ∴ ,去分母化简整理得 2ac=b(a+c)



+

=

=

=

=

=

=2?

∴ 点评:



=



,可得



, 、

也成等差数列. 、 也成等差数列.着重考查了运用完全平方公式和约分

本题给出 、 、 成等差数列,求证

的方法将分式化简、等差数列的定义和等差关系的确定方法等知识,属于中档题. 17.设{an}是等差数列,若 am=n,an=m, (m≠n) ,求 am+n. 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 设出等差数列的首项和公差,直接由题意列方程组求解首项和公差,则第 m+n 项可求.
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解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由已知, 得 ,解得 .

∴am+n=a1+(m+n﹣1)d=(m+n﹣1)﹣(m+n﹣1)=0. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了方程组的解法,是基础的运算题.
an

18.18.设{an}是等差数列,bn=( ) .已知 b1+b2+b3=

,b1b2b3= .求等差数列的通项 an.

考点: 专题: 分析: 解答:

等差数列的性质;等差数列的通项公式. 方程思想. 因为{an}是等差数列,所以用 a1 和 d 分别表示出 b1,b2,b3,再结合题意列出关于 a1、d 的方程,求解即可. 解:设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n﹣1)d.
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∴ b1b3= ?
3

=

=b2 .

2

由 b1b2b3= ,得 b2 = , 解得 b2= .

代入已知条件

整理得

解这个方程组得 b1=2,b3= 或 b1= ,b3=2 ∴a1=﹣1,d=2 或 a1=3,d=﹣2. 所以,当 a1=﹣1,d=2 时 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣3. 当 a1=3,d=﹣2 时 an=a1+(n﹣1)d=5﹣2n. 点评: 本题考查了等差数列的性质和通项公式,考查了学生的运算能力和公式的灵活运用能力,难度中等.

参与本试卷答题和审题的老师有:zhwsd;zlzhan;邢新丽;sllwyn;sxs123;俞文刚;wubh2011;jj2008;minqi5; 孙佑中(排名不分先后)
菁优网 2014 年 4 月 3 日


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