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专题九 第一讲:三角函数


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【题型解读】
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数学解答题是高考数学试题中的一类重要题型,这些题涵盖了 中学数学的主要内容,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、 突显数学思想方法的运用以及要求考生有一定的创新意识和创新能 力等特点,解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能 力和分析问题、解决问题的能力.

【考情预测】 预测今年各省市高考数学解答题,有以下几个特点:
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1.和前几年一样,虽略有差别,但总体上高考五至六个解答题的模 式基本不变,分别为三角函数与平面向量、概率与统计、立体几 何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式. 2.一般来说,前三题属于中低档题,第四题属中档偏难题,后两题 属难题.其中,三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在 前三题中出现的概率较高, 掌握这几类题的解法是大多数学生成 功的关键.

【解题策略】 1.审题要慢,解答要快.审题时,必须充分搞清题意,综合所有条 件,提炼全部线索,形成整体认识.
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2.确保运算准确,立足一次成功. 3.缺步解答:面对难题,讲究策略,争取多得分.解题过程在其中 某一环节上卡住时,可以承接这一结论,往下推,或直接利用前 面的结论做下面的. 4.模板作答:针对不少同学答题格式不规范,出现“会而不对,对 而不全”的问题,规范每种题型的万能答题模板,按照规范的解 题程序和答题格式分步解答,实现答题步骤的最优化.

考情分析

第一讲

第一讲

三角函数

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三角函数、平面向量和三角形中的正余弦定理是高考中考查的热 点,主要以中低档题目的形式出现.选择、填空题以考查三角函数性质及 公式应用为主,解答题会以向量或三角形为载体,考查三角函数的图象 和性质或者与函数的奇偶性、周期性、最值相结合,以小型综合题的形 式出现.

考情分析

第一讲

解决三角函数问题的基本思想是脱掉向量或者其他知识的外衣,抓 住三角函数问题的实质,灵活实现问题的转化.最后往往通过三角变换
本 归结到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,要注意题目中隐含的角的限 讲 栏 制条件,做到推理严谨、计算准确、表达确切.解答题往往放在 17、18 目 开 题的位置,但是根据历年的阅卷情况,本题的得分率并不是太高,主要是 关

审题不严谨、答题不规范导致失分,希望引起同学们注意.

题型突破

第一讲

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题型一

三角函数的概念及三角恒等变换

三角函数的概念和公式是三角变换的基础,主要考查和角公式的 正用、逆用和变形使用,运用公式进行化简求值是必考内容,要注意角 的范围及公式使用的条件,灵活使用公式及其变形.

题型突破
? π? 1+ 2cos?2x-4 ? ? ? f(x)= . ? π? sin?x+ 2 ? ? ?

第一讲

例 1 已知函数
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(1)求 f(x)的定义域; 3 (2)若角 α 在第一象限,且 cos α= ,求 f(α). 5
解 (1)由
? π? sin?x+2?≠0,得 ? ?

π x+ ≠kπ,k∈Z, 2

π 即 x≠kπ- (k∈Z). 2 π 故 f(x)的定义域为{x|x≠kπ- ,k∈Z}. 2

题型突破
(2)因为角 α 在第一象限 sin α= 1-cos α=
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2

第一讲

?3? 4 ? ?2 = . 1- 5 5 ? ?

从而

? π? 1+ 2cos?2α-4? ? ? f(α)= ? π? sin?α+2? ? ?

π π 1+ 2?cos 2αcos 4+sin 2αsin 4? = cos α

1+cos 2α+sin 2α 14 = =2(cos α+sin α)= 5 . cos α

题型突破

第一讲

第一步:根据已知条件,计算三角函数值或者三角函数式子的值;
本 讲 第二步:通过对角进行“拆”或“添”变形,确定已知角、未知角的 栏 关系; 目 开 第三步:对所求三角函数式子进行化简,并将已知代入; 关

第四步:反思回顾,对结果估算.

题型突破

第一讲

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π 1 变式训练 1 已知- <x<0,sin x+cos x= ,求 cos x-sin x 的值. 2 5 1 解 由 sin x+cos x=5两边平方得 1 sin2x+cos2x+2sin xcos x=25, 24 即 2sin xcos x=-25, 49 2 2 2 所以(cos x-sin x) =sin x+cos x-2sin xcos x=25. π 又- <x<0,所以 sin x<0,cos x>0. 2 7 所以 cos x-sin x=5.

题型突破

第一讲

题型二
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三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的重点考查内容,求函数的周期、 单调性、奇偶性、值域是命题的方向,图象以五点法作图和图象变换 为主.解决这类问题要注意数形结合,将函数的性质、图象结合起来.

题型突破
π? 1 ?,g(x)=1+ sin 2x. 例 2 已知函数 f(x)=cos x+12 2 ? ?
2?

第一讲
?

(1)设 x=x0 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴,求 g(x0)的值; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.
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? π ?? 1? 解 (1)f(x)=2?1+cos?2x+6??, ? ? ??

因为 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴, π π 所以 2x0+ =kπ (k∈Z),即 2x0=kπ- (k∈Z). 6 6 π? 1 1 ? 所以 g(x0)=1+2sin 2x0=1+2sin?kπ-6?. ? ? 1 ? π? 1 3 当 k 为偶数时,g(x0)=1+ sin?-6?=1- = . 2 ? 4 4 ? 1 π 1 5 当 k 为奇数时,g(x0)=1+2sin 6=1+4=4.

题型突破
(2)h(x)=f(x)+g(x) ? π? 1 1 ?2x+ ?]+1+ sin 2x =2[1+cos 6? 2 ?
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? 3 1? 3 1 ? =2? cos 2x+ sin 2x?+2 ? 2 ? 2 ?

第一讲

π? 3 1 ? = sin?2x+3?+ . 2 ? ? 2 π π π 当 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2 (k∈Z), 5π π 即 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z)时, π? 3 1 ? 函数 h(x)=2sin?2x+3?+2是增函数. ? ?
故函数 h(x)的单调递增区间为 ? 5π π? ?kπ- ,kπ+ ? (k∈Z). 12 12? ?

题型突破

第一讲

第一步:三角函数式的化简,一般化成 y=Asin(ωx+φ)+h 的形式,即
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化为“一角、一次、一函数”的形式; 第二步:由 y=sin x、y=cos x 的性质,将 ωx+φ 看做一个整体,解不 等式,求角的范围或函数值的范围; 第三步:得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果; 第四步:反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.

题型突破
变式训练 2 已知函数 f(x)=2sin x(sin x+cos 的最大值.

第一讲
? π? x),x∈?0,2 ?,求函数 ? ?

f(x)

解 f(x)=2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+2sin xcos x
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=1-cos 2x+sin 2x ? π π? =1+ 2?sin 2xcos 4-cos 2xsin 4? ? ? ? π? =1+ 2sin?2x-4? ? ? ? π? π ? π 3π? 因为 x∈?0,2?,所以 2x-4∈?-4, 4 ?, ? ? ? ?
? π? ? 2 ? ? 所以 sin?2x-4?∈?- ,1?, ? 2 ? ? ? ? ? π? ?2x- ?∈[0,1+ 2]. 1+ 2sin 4? ?

所以函数 f(x)的最大值为 1+ 2.

题型突破

第一讲

题型三

三角函数与向量

向量与三角函数的结合是高考命题的热点,向量具有代数与几何
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的双重身份,是中学知识的交汇点之一.这类问题以向量为背景,解决 关键是利用向量知识(数量积应用最多)将条件转化到三角函数,再利 用三角函数的图象与性质处理.

题型突破
例3

第一讲

在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且

3(tan A-tan B)=1+tan A· B,又已知向量 m=(sin A,cos A), tan n=(cos B,sin B),求|3m-2n|的取值范围.
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因为 3(tan A-tan B)=1+tan A· B, tan

tan A-tan B 3 3 所以 = ,即 tan(A-B)= , 3 1+tan A· B 3 tan π π 又△ABC 为锐角三角形,则 0<A< ,0<B< , 2 2 π π π 所以-2<A-B<2,所以 A-B=6.
又|3m-2n|2=9m2+4n2-12m· n
? π? =13-12sin(A+B)=13-12sin?2B+6?. ? ?

题型突破
π π π 又 0<C=π-(A+B)< ,0<A= +B< , 2 6 2 π π π π 5π 所以 <B< ,所以 <2B+ < . 6 3 2 6 6 ? ? π? ?1 所以 sin?2B+6?∈?2,1?,所以|3m-2n|2∈(1,7). ? ? ? ?
故|3m-2n|的取值范围是(1, 7).

第一讲

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题型突破

第一讲

第一步:进行三角变换,求出某个角的值或者范围;
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第二步:脱去向量的外衣,利用向量的运算将所求的式子转化为一个 角的三角函数问题; 第三步:得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果; 第四步:反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.

题型突破
变式训练 3

第一讲
(2012· 湖北)已知向量 a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=

(-cos ωx-sin ωx,2 3cos ωx),设函数 f(x)=a· b+λ(x∈R)的图象关于直线 ?1 ? ? ,1?. x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈ 2 ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; 本 讲 (2)若 y=f(x)的图象经过点?π,0?,求函数 f(x)在区间?0,3π?上的取值范围. ? ? ? ? 4 5? 栏 ? ? ? 目 2 2 cos 开 解 (1)因为 f(x)=sin ωx-cos ωx+2 3sin ωx· ωx+λ 关

=-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ ? π? =2sin?2ωx-6?+λ. ? ?

由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, ? π? 可得 sin?2ωπ-6?=± 1, ? ? π π k 1 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即 ω= + (k∈Z). 6 2 2 3

题型突破
5 又 k=1,故 ω= . 6 6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 . ?π ? ?π? (2)由 y=f(x)的图象过点?4,0?,得 f?4?=0, ? ? ? ? ?5 π π ? π 即 λ=-2sin?6×2-6?=-2sin 4=- 2. ? ? ?5 π? 故 f(x)=2sin?3x-6?- 2. ? ? 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6 ?5 π? 1 所以-2≤sin?3x-6?≤1, ? ? ?5 π? 得-1- 2≤2sin?3x-6?- 2≤2- 2, ? ? ? 3π? ?0, ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 故函数 f(x)在 5? ?
?1 ? ω∈?2,1?,所以 ? ?

第一讲

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题型突破

第一讲

题型四

三角函数与三角形

解三角形是历年高考的热点,以三角形为载体,将三角形中的问
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题转化为代数或方程问题,小题中考查正弦定理、余弦定理的直接应 用,在解答题中常与三角函数的图象、性质结合;解题是要从边角关 系入手,灵活进行边角互化.

题型突破
例4

第一讲

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin A=(2b-

c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小;
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(2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.



(1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,整理得 b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 1 所以 cos A= 2bc =2.
又 A∈(0° ,180° ),所以 A=60° .
(2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3. 所以 sin B+sin 120° B-cos 120° B= 3, cos sin

题型突破
3 3 即 sin B+ cos B= 3,所以 sin(B+30° )=1. 2 2

第一讲

又 0° <B<120° ,所以 30° <B+30° <150° .
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所以 B+30° =90° ,所以 B=60° . 所以 A=B=C,故△ABC 为正三角形.

题型突破

第一讲

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第一步:实现边角互化. 第二步:三角变换,化简、消元,从而向已知角转化. 第三步:代入求值. 第四步:反思回顾,检查公式是否用错.

题型突破

第一讲

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变式训练 4 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 6 2 2 2 a +c -b = ac. 5 2A+C (1)求 2sin +sin 2B 的值; 2 (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由已知条件及余弦定理得: 6 a2+c2-b2 5ac 3 4 cos B= = = ,从而得 sin B= , 2ac 2ac 5 5 2A+C ∴2sin 2 +sin 2B=1-cos(A+C)+sin 2B

=1+cos B+2sin Bcos B 3 4 3 64 =1+5+2··=25. 55

题型突破
6 (2)∵b=2,∴a +c = ac+4, 5 6 2 2 又∵a +c ≥2ac,∴2ac≤5ac+4,∴ac≤5, 1 1 4 ∴S△ABC=2acsin B≤2· 5=2,当 a=c 时取等号. 5·
2 2

第一讲

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∴△ABC 面积的最大值为 2.


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