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高考中选择题的解题策略


一、复习策略 高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法, 体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重 大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.正如《考试大纲》中明确指出的, 应“多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判关. 因而,在解答时应该突出一个" 选"字,尽量减少书写解题过程,在对照选择支的同时,多方考虑间接解法,依据题目 的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择巧法,以便快速智取.具体概括如下: 选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的 运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.一般说来,能定性判断的,就不必使 用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能使用间接法解的, 就不必采用直接法解;对于明显可以否定的选择支应及早排除,以缩小选择的范围;对 于具有多种解题思路的,宜选最简解法等。解题时仔细审题、深入分析、正确推演、谨 防疏漏;初选后认真检验,确保准确。 解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最 基本、最常用的方法;但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间 不允许,甚至有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方 法.基本策略是: ①熟练掌握各种基本题型的一般解法;②结合高考数学单项选择题的结 构(由“四选一”的指令、题干和选择项所构成)和不要求书写解题过程的特点,灵活运 用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧;③挖掘题目“个性”,寻求简 便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择. 二、典例剖析 (一)直接法: 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则等知识,通过推理运算, 得出结论,再对照选择项,从中选正确答案的方法叫直接法. 例1、设 f(x)是(-∞,+∞)是的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x, 则 f(7.5)等于( ) A.0.5 C.1.5 解: B.-0.5 D.-1.5

由 f(x+2)=-f(x)得 f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5), 由 f(x) 是奇函数得 f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以选 B.也可由 f(x+2)=-f(x),得到周 期 T=4,所以 f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 例2、已知函数 y=f(x)存在反函数 y=g(x),若 f(3)=-1,则函数 y=g(x-1)的图像在下 列各点中必经过( A.(-2,3) C.(2,-1) 解: 由题意函数 y=f(x)图像过点(3,-1),它的反函数 y=g(x)的图像经过点(-1,3), 由此可得函数 y=g(x-1)的图像经过点(0,3),故选 B. 例3、若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是( ) ) B.(0,3) D.(4,-1)

A.{x|2k



<x<2k



,k Z}

B.{x|2k



<x<2k



,k Z}

C.{x|k



<x<k



,k Z }

D.{x|k



<x<k



,k Z}

解: (直接法)由 sin2x>cos2x 得 cos2x-sin2x<0,

即 cos2x<0,所以:

+2kπ <2x<

+2kπ ,选 D.

另解:数形结合法:由已知得|sinx|>|cosx|,画出 y=|sinx|和 y=|cosx|的图象, 从图象中可知选 D.

例4、设椭圆的每个焦点分别为 F1,F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰三角形,则椭圆的离心率为( )

解析:

故选 D.

例5、如图是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则

等于(



A. 解析:

B.

C.

D.

由图象可得 f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x, 又∵x1、x2是 f ′(x)=3x2-2x-2=0的两根,

∴x1+x2=

,x1x2= -



故x

=(x1+x2)2-2x1x2=(

)2+2×

=

,故选 C.

直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解.直接法适

用的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力,准确 地把握中档题目的“个性”,用简便方法巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的基础 上的,否则一味求快则会快中出错. (二)特例法: 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进 行检验,从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图 形、特殊角、特殊位置等. ①特殊值: 例6、一等差数列前 n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) A.-24 解: 本题结论中不含 n,正确性与 n 无关,可对 n 取特殊值,如 n=1,此时 a1=48,a2=S2 -S1=12,a3=a1+2d=-24,所以前3n 项和为36,选 D. ②特殊函数: 例7、如果奇函数 f(x)在区间[3, 7]上是增函数,且最小值为5,那么 f(x)在区间[-7, -3]上是( ) B.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值为-5 B.84 C.72 D.36

A.增函数且最小值为-5 C.减函数且最小值为-5 解:

构造特殊函数 f(x)=

x,显然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上是

增函数,且最大值为 f(-3)=-5,故选 B. ③特殊数列:

例8、如果等比数列{an}的首项是正数,公比大于1,那么数列{

}(



A.是递增的等比数列 C.是递增的等差数列 解:取 an=3n,易知选 D. ④特殊位置:

B.是递减的等比数列 D.是递减的等差数列

例9、 过

的重心任作一直线分别交



于点

、 , 若





,则 A.4

的值等于( B.3

) C.2 D.1

解:取平行于边 BC 的直线即可得,故选 B. 例10、已知长方形的四个项点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上 的点 P2、P3和 P4(入射解等于反射角) ,设 P4坐标为( 范围是( ) 的取值

A.

B.

C.

D.

解:

考虑由 P0射到 BC 的中点上,这样依次反射最终回到 P0,此时容易求出 tan =



由题设条件知,1<x4<2,则 tan ≠

,排除 A、B、D,故选 C.

⑤特殊点:

例11、函数 f(x)=

+2(x≥0)的反函数 f-1(x)图像是( )

解:

在 f(x)=

+2(x≥0)中可令 x=0,得 y=2;令 x=4,得 y=4,则特殊点(2,0)

及(4,4)都在反函数 f-1(x)图像上,观察得 A、C,又由反函数 f-1(x)的定义域知选 C.

例12、给定四条曲线:① 其中与直线 A. ①②③ C. ①②④ 解:

,②

,③ )

,④



仅有一个交点的曲线是( B. ②③④ D. ①③④

本题可以利用直接法求解,但求解过程较繁,分析选择支可知,四条曲线中有且只 有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中①为

圆, ②③④为椭圆, 而②是一个面积最大的椭圆, 故先看②, 显然直线和曲线 是相交的,因为直线上的点 ⑥特殊方程 在椭圆内,故问题可解,选 D 即可。

例13、 双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为 α , 离心率为 e, 则 cos

等于 ( )

A.e

B.e2

C.

D.

解:

可用特殊方程来解.取方程为



=1,易得离心率 e=

,cos

=

,故选 C.

⑦特殊模型:

例14、若实数 x,y 满足 (x-2)2+y2=3,则

最大值是(



A. 解:

B.

C.

D.

题中

=

.联想数学模型:两点直线的斜率公式 k=

,将问题看成圆(x-2)2

+y2=3上点与原点 O 连线斜率最大值,得 D. 当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得愈简单愈 好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一 般规律,是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的 约占30%左右. (三)筛选法(也叫排除法、淘汰法) 使用筛选法的前提是“答案唯一”.目前高考数学及平时的练习,选择题中的正确 答案都是唯一的.使用筛选法的具体做法是:充分运用选择题中单选题的特征,即有且 只有一个正确选择支这一信息,采用简捷有效的手段(如取特殊值,找特殊点,选特殊 位置等),通过分析、推理、计算、判断,对各选择支进行筛选,排除假支,选出真支。 例15、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 值域是( )

A.(1,

]

B.(0,

]

C.[ 解:



]

D.(



]

因 x 为三角形中的最小内角,故 x∈(0, 误支 B,C,D,应选 A.

),由此可得 y=sinx+cosx>1,排除错

例16、

解:





.

筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根 据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小的选 择支的范围中找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等 结合使用是解选择题的常用方法,近几年高考选择题中约占40%. (四)代入法: 将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断.即将各选择支分别作 为条件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案.

例17、函数 y=sin(2x+

)的图象的一条对称轴的方程是( )

A.x=-

B.x=-

C.x=

D.x=

解:

(代入法)把选择支逐次代入,当 x=-

时,y=-1,可见 x=-

是对称轴,又

因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”,故选 A.

另解:(直接法) ∵函数 y=sin(2x+

)的图象的对称轴方程为2x+

=kπ +

,即 x=

-π ,当 k=1时,x=-

,选 A.

例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0—9和字母 A—F 共16个计 数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如:用十六进制表示 E+D=1B,则 A×B=( ) A.6E 解: 采用代入检验法,A×B 用十进制数表示为1×11=110,而 6E 用十进制数表示为6×16+14=110 72用十进制数表示为7×16+2=114 5F 用十进制数表示为5×16+15=105 B0用十进制数表示为11×16+0=176,故选 A. 代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题.若能据题意确定代入顺序,则能较大 提高解题速度. B.72 C.5F D.BO

(五)数形结合法: 根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形, 借助几何图形的直观性作出正确 判断的方法叫图解法或数形结合法.

例19、在

内,使

成立的 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

解: (数形结合法)在同一直角坐标系中分别作出 y=sinx 与 y=cosx 的图象,便可观 察选 C.

另解: (直接法)由 取 k=0即知选 C.

得 sin(x-

)>0,即2kπ <x-

<2kπ +π ,

例20、设函数 A. (-1,1) B. (-1, C. ( D. ( ) (0, (1,

,若

,则

的取值范围是( )

,-2) ,-1)

) )

解:

(数形结合法)在同一直角坐标系中,作出函数 们相交于(-1,1)和(1,1)两点,由 ,得

的图象和直线 或 .

,它

数形结合法在解有关选择题时非常简便有效.不过运用数形结合法解题一定要对有 关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉,否则错误的图象反而会导致错误的选择.如: 例21、函数 y=|x2—1|+1的图象与函数 y=2- x 的图象交点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

本题如果图象画得不准确,很容易误选(B) ;答案为(C) 。 数形结合,借助几何图形的直观性,迅速作正确的判断是高考考查的重点之一;历 年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50%左右. (六)极限法: 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以 避开抽象、复杂的运算,降低解题难度,优化解题过程. 例22、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )

A. (

π ,π )

B. (

π ,π )

C. (0,



D. (

π,

π)

解:

当正 n 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时, 则底面正多边形便为极限状态, 此时棱锥相邻两侧面所成二面角 α →π ,且小于 π ;当棱锥高无限大时,正 n 棱柱便

又是另一极限状态,此时 α →

π ,且大于

π ,故选(A).

用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征, 考虑极端情形, 有助于缩小选择面,迅速找到答案。 (七)估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、 估算而获得.这样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次.

例23、已知双曲线中心在原点且一焦点为

,直线

与其交于 M、N 两点,

MN 中点横坐标为

,则此双曲线的方程是(



A.

B.

C.

D.

解:设方程为

,由点差法得

,选 D.注:不必解 m、n.

例24、 已知过球面上 A、 B、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=CA=2, 则球面面积是( )

A.

π

B.

π

C.4π

D.

π

解:∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r=



则 S 球=4π R2≥4π r2=

π >5π ,故选(D).

估算,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.其应 用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法. 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略”,“手段”都是 无关紧要的.所以人称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确 的理由与错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分 析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避 免小题大作,真正做到准确和快速. 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解 答,但更应该充分挖掘题目的“个性”,寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用, 迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案,还可以提高解题速 度,为后续解题节省时间


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