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河北省邢台市捷径2015届高考数学四模试卷(理科)


河北省邢台市捷径 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=( A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} 2.已知 i 是虚数单位,若 A.﹣1 B.1
a b

) D.{2,3,4}

是实数,则实数 a 等于( C.

) D.﹣

3.己知命题 p:“a>b”是“2 >2 ”的充要条件;q:?x∈R,|x+l|≤x,则( ) A.¬p∨q 为真命题 B.p∧¬q 为假命题 C.p∧q 为真命题 D.p∨q 为真命题 4.函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的大致区间是( A. (﹣ ,0) B. (0, )
x

) D. ( , )

C. ( , )

5.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的 半圆,则该几何体的表面积是( )

A.

B. )的图象向左平移

C.

D.

6.把函数 y=sin(2x﹣ ( )

个单位后,所得函数图象的一条对称轴为

A.x=0

B.x=

C.x=﹣

D.x=

7.阅读如图的程序框图.若输入 n=6,则输出 k 的值为(

)

A.2

B.3

C .4

D.5 )

8.若 a>0 且 a≠1,b>0,则“logab>0”是“(a 一 1) (b 一 1)>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.奇函数 f(x) 、偶函数 g(x)的图象分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x) )=0、g(f(x) ) =0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b=( )

A.14

B.10

C .7
2

D.3

10.在区间[﹣1,1]上任取两数 s 和 t,则关于 x 的方程 x +2sx+t=0 的两根都是正数的概率 为( ) A. B. C.
2 2

D.

11.设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条切线,切 点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积最小时∠P=( ) A.60° B.45° C.30° D.120°

12.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球 的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径( )

A.l0

cm

B.10cm

C.10

cm

D.30cm

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.从某地区随机抽取 100 名高中男生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直 方图 (如图) . 若要从各组内的男生中, 用分层抽样的方法选取 20 人参加一项活动, 则从[60, 70]这一组中抽取的人数为__________.

14.双曲线

的左、右焦点分别为 F1、F2,过焦点 F2 且垂直于 x ,则双曲线的离心率为__________.

轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,若

15.将边长为 2 的正△ ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 B﹣AD﹣C,则三棱锥 B﹣ ACD 的外接球的表面积为__________. 16. 已知在△ ABC 中, sinB 是 sinA 和 sinC 的等差中项, 则内角 B 的取值范围是__________.

三、解答题(本大题共 5 小题,70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=14,S6=126. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 …+ ,试求 Tn 的表达式.

18.某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下:

(Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名队 员在同一场比赛中得分多少互不影响, 预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、 乙两名队员得分 均超过 15 分次数 X 的分布列和均值.

19.如图,已知四棱锥 E﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE= (Ⅰ)求证:平面 EAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣EC﹣D 的余弦值.



20.已知椭圆 C:

的离心率为

,且过点 Q(1,

) .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设 P 点在直线 x+y﹣1=0 上, 且满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的最小值.

21.已知



(I)求函数 f(x)的最小值; ( II) (i)设 0<t<a,证明:f(a+t)<f(a﹣t) . (ii)若 f(x1)=f(x2) ,且 x1≠x2.证明:x1+x2>2a.

四、请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答 时,请写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,AD⊥CE,垂足为 D,AC 平分∠BAD. (Ⅰ)求证:直线 CE 是⊙O 的切线; 2 (Ⅱ)求证:AC =AB?AD.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合.直线 l 的参数方程

为:

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ.

(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并指出 C 是什么曲线; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求|PQ|值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=log2(|x﹣1|+|x+2|﹣a) . (1)当 a=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R,求 a 的取值范围.

河北省邢台市捷径 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=( ) A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} D.{2,3,4} 考点:补集及其运算. 专题:计算题. 分析:根据题意,先用列举法表示集合 A,进而由补集的性质,可得 B=?A(?AB) ,计算可 得答案. 解答: 解:根据题意,集合 A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5}, 若 CAB={1,3,5},则 B=?A(?AB)={0,2,4}, 故选 B. 点评:本题考查补集的定义与运算,关键是理解补集的定义.

2.已知 i 是虚数单位,若 A.﹣1 B.1

是实数,则实数 a 等于( C.

) D.﹣

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:利用复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,利用复数是实数,虚部为 0,求出 a 的 值. 解答: 解: = = ,因为复数 是实数,所以 1﹣a=0,

所以 a=1. 故选 B. 点评:本题考查复数的代数形式的同除运算,复数的基本概念,考查计算能力. 3.己知命题 p:“a>b”是“2 >2 ”的充要条件;q:?x∈R,|x+l|≤x,则( ) A.¬p∨q 为真命题 B.p∧¬q 为假命题 C.p∧q 为真命题 D. p∨q 为真 命题 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:由指数函数的性质可知 P 真命题,¬p 为假命题;q:由|x+l|≤x,可得 可得 x 不存在,则 q 为假命题,¬q 为真命题,则根据复合命题的真假关系可判断 解答: 解:P:“a>b”是“2 >2 ”的充要条件为真命题,¬p 为假命题 q:由|x+l|≤x,可得 可得 x 不存在,则 q 为假命题,¬q 为真命题
a b a b



则根据复合命题的真假关系可得,¬p∨q 为假;p∨q 为真;p∧q 为假;p∧¬q 为真 故选 D 点评:本题主要考查了复合命题的真假关系的应用,解题的关键是准确判断 P,q 的真假, 属于基础题. 4.函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的大致区间是( A. (﹣ ,0) B. (0, ) C. ( , )
x

) D. ( , )

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:确定 f(0)=1﹣3=﹣2<0,f( )= ﹣1>0,f( )= <0,

f(1)=e+4﹣3=e+1>0,根据零点存在定理,可得结论. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e +4x﹣3 在 R 上是增函数,

求解:f(0)=1﹣3=﹣2<0,f( )= =e+4﹣3=e+1>0,

﹣1>0,f( )=

<0,f(1)

∴根据零点存在定理,可得函数 f(x)=2 +3x﹣4 的零点所在的大致区间是( , ) 故选:C. 点评:本题考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 5.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的 半圆,则该几何体的表面积是( )

x

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:利用三视图判断几何体的形状与特征,利用三视图的数据求出几何体的表面积. 解答: 解:由三视图可知,该几何体为两个半圆锥的对接图形.显然圆锥的底面圆的半径 为 1,母线长为 2,但是这个对接圆面不是底面,底面正好是轴截面. 所以该几何体的表面积为: =2( ) .

故选 A. 点评:本题考查几何体的表面积的求法,几何体的特征是解题的关键,考查空间想象能力, 计算能力.

6.把函数 y=sin(2x﹣ ( ) A.x=0

)的图象向左平移

个单位后,所得函数图象的一条对称轴为

B.x=

C.x=﹣

D.x=

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得 结论.

解答: 解: 把函数 y=sin (2x﹣ ﹣ ]=sin(2x+ )的图象,

) 的图象向左平移

个单位后, 得到函数 y=sin[2 (x+



令 x=

,求得 y=sin(2x+

)=1,是最大值,可得所得函数图象的一条对称轴为 x=



故选:B. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题. 7.阅读如图的程序框图.若输入 n=6,则输出 k 的值为( )

A.2

B.3

C .4

D.5

考点:循环结构. 专题:阅读型. 分析:框图是直到型循环结构,输入 n 的值为 6,给 k 的赋值为 0,运行过程中 n 进行了 4 次替换,k 进行了 3 次替换. 解答: 解:当 n 输入值为 6 时,用 2×6+1=13 替换 n,13 不大于 100,用 0+1=1 替换 k, 再用 2×13+1=27 替换 n,27 不大于 100,此时用 1+1=2 替换 k,再用 27×2+1=55 替换 n,此 时 55 不大于 100,用 2+1=3 替换 k,再用 2×55+1=111 替换 n,此时 111 大于 100,算法结 束,输出 k 的值为 3. 故选 B. 点评: 本题考查了程序框图中的直到型型循环结构, 直到型循环结构是先执行在判断直到条 件结束,循环结构主要用在一些规律的重复计算,如累加、累积等,在循环结构中框图中, 特别要注意条件应用,如计数变量和累加变量等.

8.若 a>0 且 a≠1,b>0,则“logab>0”是“(a 一 1) (b 一 1)>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

)

解答: 解:若 a>1,由 logab>0 得 b>1, 若 0<a<1,由 logab>0 得 0<b<1,则(a﹣1) (b﹣1)>0 成立, 若(a﹣1) (b﹣1)>0 则 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1, 则 logab>0 成立, 故“logab>0”是“(a﹣1) (b﹣1)>0”成立的充要条件, 故选:C 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键. 9.奇函数 f(x) 、偶函数 g(x)的图象分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x) )=0、g(f(x) ) =0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b=( )

A.14

B.10

C .7

D.3

考点:奇偶函数图象的对称性. 专题:计算题. 分析: 先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象, 再利用图象由外到内分别解方 程即可得两方程解的个数,最后求和即可 解答: 解:由图可知,图 1 为 f(x)图象,图 2 为 g(x)的图象,m∈(﹣2,﹣1) ,n∈ (1,2) ∴方程 f(g(x) )=0?g(x)=﹣1 或 g(x)=0 或 g(x)=1?x=﹣1,x=1,x=m,x=0,x=n, x=﹣2,x=2,∴方程 f(g(x) )=0 有 7 个根,即 a=7; 而方程 g(f(x) )=0?f(x)=a 或 f(x)=0 或 f(x)=b?f(x)=0?x=﹣1,x=0,x=1, ∴方程 g(f(x) )=0 有 3 个根,即 b=3 ∴a+b=10 故选 B

点评:本题主要考查了函数奇偶性的图象性质,利用函数图象解方程的方法,数形结合的思 想方法,属基础题 10.在区间[﹣1,1]上任取两数 s 和 t,则关于 x 的方程 x +2sx+t=0 的两根都是正数的概率 为( ) A. B. C. D.
2

考点:几何概型. 专题:计算题. 2 分析:先将二次方程 x +2sx+t=0 的两根都是正数的 s,t 必须满足的条件列出来,再在坐标 系 sot 中画出区域,最后求出面积比即可. 解答: 解:由题意可得, ,其区域是边长为 2 的正方形,面积为 4

由二次方程 x +2sx+t=0 有两正根可得

2

,其区域如图所示



其区域如图所示,面积 S=

s ds=

2

=

所求概率 P= 故选 B

点评: 本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解, 解题的关键是利用积分求出指定事件 的面积 11.设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条切线,切 点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积最小时∠P=( ) A.60° B.45° C.30° D.120° 考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析:由题意画出图形,判断四边形面积最小时 P 的位置,利用点到直线的距离求出 PC, 然后求出∠P 的大小. 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0,即圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =1,圆心坐标(1, 1) ,半径为 1; 2 2 由题意过点 P 作圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条切线,切点分别为 A,B, 可知四边形 PACB 的面积是两个三角形的面积的和,因为 CA⊥PA,CA=1, 显然 PC 最小时四边形面积最小, 即 PC 最小值= =2.
2 2 2 2 2 2

, ∠CPA=30°,所以∠P=60°. 故选 A.

点评:本题考查直线与圆的位置关系,正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键,考 查计算能力. 12.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球 的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径( )

A.l0

cm

B.10cm

C.10

cm

D.30cm

考点:棱锥的结构特征. 专题:计算题. 分析:底面是一个正方形,一共有四条棱,皮球心距这四棱最小距离是 10,而对上面的四 条棱距离正方形的中心距离为 10,由此可得结论. 解答: 解:因为底面是一个正方形,一共有四条棱,皮球心距这四棱最小距离是 10, ∵四条棱距离正方形的中心距离为 10,所以皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点时,半径应 该是边长的一半 ∴球的半径是 10 故选 B. 点评: 本题考查棱锥的结构特征, 解题的关键是熟练掌握正四棱锥的结构特征, 属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.从某地区随机抽取 100 名高中男生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直 方图 (如图) . 若要从各组内的男生中, 用分层抽样的方法选取 20 人参加一项活动, 则从[60, 70]这一组中抽取的人数为 6.

考点:频率分布直方图. 专题:计算题. 分析:由题意,再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率,再乘以样本容量即可得 到此组的人数. 解答: 解:由图知,0.030×10=0.3 ∴身高在[60,70]内的学生人数为 20×0.3=6. 故答案为:6.

点评:本题考查频率分布直方图的应用,考查了识图的能力.

14.双曲线

的左、右焦点分别为 F1、F2,过焦点 F2 且垂直于 x ,则双曲线的离心率为 .

轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,若

考点:双曲线的简单性质. 分析:因为 ,所以 AF1 与 BF1 互相垂直,结合双曲线的对称性可得:△ AF1B

是以 AB 为斜边的等腰直角三角形.由此建立关于 a、b、c 的等式,化简整理为关于离心率 e 的方程,解之即得该双曲线的离心率. 解答: 解:根据题意,得右焦点 F2 的坐标为(c,0) 联解 x=c 与 ∵ ∴AF1 与 BF1 互相垂直,△ AF1B 是以 AB 为斜边的等腰 Rt△ 由此可得:|AB|=2|F1F2|,即
2

,得 A(c,

) ,B(c,﹣



=2×2c
2 2 2



=2c,可得 c ﹣2ac﹣a =0,两边都除以 a ,得 e ﹣2e﹣1=0

解之得:e= (舍负) 故答案为: 点评:本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦,与左焦点构成直角三角形,求双曲 线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 15.将边长为 2 的正△ ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 B﹣AD﹣C,则三棱锥 B﹣ ACD 的外接球的表面积为 5π. 考点:与二面角有关的立体几何综合题. 专题:综合题. 分析:根据题意可知三棱锥 B﹣ACD 的三条侧棱 BD、DC、DA 两两互相垂直,所以它的外 接球就是它扩展为长方体的外接球,由此可得三棱锥 B﹣ACD 的外接球的表面积. 解答: 解:根据题意可知三棱锥 B﹣ACD 的三条侧棱 BD、DC、DA 两两互相垂直, 所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球, ∵长方体的对角线的长为: ∴球的直径是 ,半径为 , = ,

∴三棱锥 B﹣ACD 的外接球的表面积为:4π×

=5π.

故答案为:5π 点评:本题主要考查三棱锥 B﹣ACD 的外接球的表面积,解题关键将三棱锥 B﹣ACD 的外 接球扩展为长方体的外接球,属于中档题. 16.已知在△ ABC 中,sinB 是 sinA 和 sinC 的等差中项,则内角 B 的取值范围是(0, ].

考点:等差数列的性质;三角函数的化简求值. 专题:计算题;压轴题;等差数列与等比数列. 分析:利用 sinB 是 sinA 和 sinC 的等差中项,及正弦定理,可得 2b=a+c,再利用余弦定理 及基本不等式可得结论. 解答: 解:∵sinB 是 sinA 和 sinC 的等差中项, ∴2sinB=sinA+sinC, ∴2b=a+c ∴cosB= ∵0<B<π ∴ 故答案为: (0, ] = ≥ (当且仅当 a=c 时取等号)

点评:本题考查等差数列的性质,考查正弦定理,考查余弦定理及基本不等式的运用,属于 中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=14,S6=126. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 …+ ,试求 Tn 的表达式.

考点:数列的求和;等比数列的性质. 专题:计算题. 分析: (1)根据 S3=14,S6=126.可求出 a4+a5+a6=112,再利用等比数列各项之间的关系, 求出公比 q,把 S3=a1+a2+a3=14 中的每一项用 a1 和 q 表示,求出 a1,代入等比数列的通项 公式即可

(2)由(1)知,

=

=



= ,得出数列{

}是以 为

首项, 为公比的等比数列.利用公式求解即可. 解答: 解: (1)∵S3=a1+a2+a3=14,S6=a1+a2+…+a6=126 ∴a4+a5+a6=112,∵数列{an}是等比数列, 3 ∴a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q =112 3 ∴q =8∴q=2 由 a1+2a1+4a1=14 得,a1=2, n﹣1 n ∴an=a1q =2

(2)由(1)知,

=

=



= ,

又 a1=2,a2=4,所以数列{

}是以 为首项, 为公比的等比数列.

∴Tn=

=

点评:本题考查等比数列的判定,通项公式、前 n 项和的计算,考查方程思想,转化、计算 能力. 18.某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下: (Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名队 员在同一场比赛中得分多少互不影响, 预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、 乙两名队员得分 均超过 15 分次数 X 的分布列和均值.

考点:离散型随机变量的期望与方差;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差;n 次 独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;离散型随机变量及其分布列. 专题:计算题.

分析: (Ⅰ)由 =15,S
2 2




= (7+9+11+13+13+16+23+28)=15,
2 2 2 2



= (7+8+10+15+17+19+21+23)
2 2 2 2


= [(﹣8) +(﹣6) +(﹣4) +(﹣2) +(﹣2) +1 +8 +13 ]=44.75,S
2 2 2 2 2 2 2

2

= [(﹣

8) +(﹣7) +(﹣5) +0 +2 +4 +6 +8 ]=32.25.能比较比较这两名队员在比赛中得分的 均值和方差的大小. (Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= ,p2= , 两人得分均超过 15 分的概率分别为 p1p2= ,依题意,X~B(2, ) ,由此能预测在本赛

季剩余的 2 场比赛中甲、乙两名队员得分均超过 15 分次数 X 的分布列和均值. 解答: 解: (Ⅰ)由茎叶图知:


= (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, = (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, = [(﹣8) +(﹣6) +(﹣4) +(﹣2) +(﹣2) +1 +8 +13 ]=44.75, = [(﹣8) +(﹣7) +(﹣5) +0 +2 +4 +6 +8 ]=32.25.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



S S

2



2



甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) .… (Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中, 甲、乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= ,p2= , 两人得分均超过 15 分的概率分别为 p1p2= 依题意,X~B(2, P(X=k)= (
k



) , )
2﹣k

)(

,k=0,1,2,…

∴X 的分布列为 X 0 P

1

2 … = .…

X 的均值 E(X)=2×

点评:本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年 2015 届高考 的必考题型.解题时要认真审题,仔细解答,注意概率知识的灵活运用. 19.如图,已知四棱锥 E﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE= (Ⅰ)求证:平面 EAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣EC﹣D 的余弦值. .

考点:用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题:计算题;证明题;空间角. 分析: (I)取 AB 的中点 O,连接 EO,CO.由题意,可得△ AEB 是以 AB 为斜边的等腰直 角三角形,得 EO⊥AB,再由等边三角形△ ACB 的高线 CO= ,得到平方关系:EC =EO +CO ,得 EO⊥CO,所以 EO⊥平面 ABCD,从 而得到平面 EAB⊥平面 ABCD; (II)以 AB 中点 O 为坐标原点,以 OB、OE 所在直线分别为 y 轴、z 轴,建立如图空间直 角坐标系,求出 A、C、D、E 各点的坐标,从而得到向量 、 、 的坐标,利用垂直
2 2 2

向量数量积为 0 的方法, 建立方程组并解之, 分别可求得平面 DEC 和平面 EAC 的法向量 、 的坐标,最后利用空间向量的夹角公式,可算出二面角 A﹣EC﹣D 的余弦值. 解答: 解: (I)取 AB 的中点 O,连接 EO,CO ∵△AEB 中, 2 2 2 ∴AE +EB =2=AB ,得△ AEB 为等腰直角三角形 ∴EO⊥AB,EO=1… 又∵△ABC 中,AB=BC,∠ABC=60° ∴△ACB 是等边三角形,得
2 2


2

又∵EC=2,∴△ECO 中,EC =4=EO +CO ,得 EO⊥CO… ∵AB、CO 是平面 ABCD 内的相交直线,∴EO⊥平面 ABCD, 又∵EO?平面 EAB,∴平面 EAB⊥平面 ABCD;… (II)以 AB 中点 O 为坐标原点,以 OB 所在直线为 y 轴,OE 所在直线为 z 轴,建立如图 所示空间直角坐标系, 则 ∴ 设平面 DCE 的法向量 …



,即

,解得

,∴

设平面 EAC 的法向量



,即

,解得

,∴



∵根据空间向量的夹角公式,得

∴二面角 A﹣EC﹣D 的余弦值为



点评: 本题给出特殊四棱锥, 求证面面垂直并求二面角的余弦值, 着重考查了空间线面垂直、 面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

的离心率为

,且过点 Q(1,

) .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设 P 点在直线 x+y﹣1=0 上, 且满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的最小值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:综合题. 分析: (1)设椭圆的焦距为 2c,由 e= ,设椭圆方程为 ,由 在

椭圆

上,能求出椭圆方程.

(2)设 AB:y=k(x﹣2) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x,y) ,由

,得

(1+2k )x ﹣8k x+8k ﹣2=0,由△ =64k ﹣4(2k +1) (8k ﹣2)≥0,知 k∈ 由此入手能够求出实数 t 的最小值. 解答: 解: (1)设椭圆的焦距为 2c, ∵e= ,∴a =2c ,b =c ,
2 2 2 2

2

2

2

2

4

2

2



设椭圆方程为





在椭圆

上,

∴ ∴椭圆方程为

,解得 c =1, .

2

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在, 设 AB:y=k(x﹣2) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x,y) , 由
4 2

,得(1+2k )x ﹣8k x+8k ﹣2=0,
2

2

2

2

2

△ =64k ﹣4(2k +1) (8k ﹣2)≥0, , 即 k∈ ,





,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y) ,

当 k=0 时,t=0; 当 t≠0 时, ,

= ∵点 P 在直线 x+y﹣1=0 上, ∴ ,



∴t= ∵k∈





∴令 h=

=





当且仅当 k=

时取等号.

故实数 t 的最小值为 4﹣4h= . 点评:本题考查椭圆与直线的位置关系的综合应用,考查化归与转化、分类与整合的数学思 想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.综合性强,难度 大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是 2015 届高考的重点.解题时要认真审 题,仔细解答.

21.已知



(I)求函数 f(x)的最小值; ( II) (i)设 0<t<a,证明:f(a+t)<f(a﹣t) . (ii)若 f(x1)=f(x2) ,且 x1≠x2.证明:x1+x2>2a. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)确定函数的定义域,并求导函数,确定函数的单调性,可得 x=a 时,f(x)取 得极小值也是最小值; (Ⅱ) (ⅰ)构造函数 g(t)=f(a+t)﹣f(a﹣t) ,当 0<t<a 时,求导函数,可知 g(t)在 (0,a)单调递减,所以 g(t)<g(0)=0,即可证得; (ⅱ)由(Ⅰ) ,f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,不失一般性,设 0 <x1<a<x2,所以 0<a﹣x1<a,利用(ⅰ)即可证得结论. 解答: (Ⅰ)解:函数的定义域为(0,+∞) .求导数,可得 f′(x)=x﹣ = .…

当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x) 单调递增. 当 x=a 时,f(x)取得极小值也是最小值 f(a)= a ﹣a lna.… (Ⅱ)证明: (ⅰ)设 g(t)=f(a+t)﹣f(a﹣t) ,则 当 0<t<a 时,g′(t)=f′(a+t)+f′(a﹣t)=a+t﹣ +a﹣t﹣ = <0,…
2 2

所以 g(t)在(0,a)单调递减,g(t)<g(0)=0,即 f(a+t)﹣f(a﹣t)<0, 故 f(a+t)<f(a﹣t) .… (ⅱ)由(Ⅰ) ,f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增, 不失一般性,设 0<x1<a<x2, 因 0<a﹣x1<a,则由(ⅰ) ,得 f(2a﹣x1)=f(a+(a﹣x1) )<f(a﹣(a﹣x1) )=f(x1) =f(x2) ,… 又 2a﹣x1,x2∈(a,+∞) , 故 2a﹣x1<x2,即 x1+x2>2a.…

点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性、极值、最值,考查不等式的证明,解 题的关键是构造函数,确定函数的单调性. 四、请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答 时,请写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,AD⊥CE,垂足为 D,AC 平分∠BAD. (Ⅰ)求证:直线 CE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)求证:AC =AB?AD.
2

考点:圆的切线的判定定理的证明. 专题:证明题. 分析: (I) 连接 OC, 利用△ OAC 为等腰三角形, 结合同角的余角相等, 我们易结合 AD⊥CE, 得到 OC⊥DE,根据切线的判定定理,我们易得到结论; (II)连接 BC,我们易证明△ ABC∽△ACD,然后相似三角形性质,相似三角形对应边成 比例,易得到结论. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 OC,如下图所示: 因为 OA=OC, 所以∠OCA=∠OAC. 又因为 AD⊥CE, 所以∠ACD+∠CAD=90°, 又因为 AC 平分∠BAD, 所以∠OCA=∠CAD, 所以∠OCA+∠CAD=90°, 即 OC⊥CE, 所以 CE 是⊙O 的切线. (Ⅱ)连接 BC, 因为 AB 是⊙O 的直径, 所以∠BCA=∠ADC=90°, 因为 CE 是⊙O 的切线, 所以∠B=∠ACD, 所以△ ABC∽△ACD, 所以
2



即 AC =AB?AD.

点评:本题考查的知识点是圆的切线的判定定理,判断切线有两种思路,一是过圆上一点, 证明直线与过该点的直径垂直;一是过圆心作直线的垂线,证明垂足在圆上. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合.直线 l 的参数方程

为:

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ.

(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并指出 C 是什么曲线; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求|PQ|值. 考点:直线的参数方程;直线与圆相交的性质;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)由 ρ=4cosθ 可得 ρ =4ρcosθ,故曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣2) +y =4,它 是以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆. (Ⅱ)把参数方程代入 x +y =4x 整理得 , 根据 解答: 解: (Ⅰ)∵ρ=4cosθ,∴ρ =4ρcosθ, 2 2 2 2 2 由 ρ =x +y ,ρcosθ=x 得:x +y =4x, 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣2) +y =4,… 它是以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆.…
2 2 2 2 2 2 2 2

,利用根与系数的关系求得 求得结果.

(Ⅱ)把

代入 x +y =4x 整理得

,…

设其两根分别为 t1、t2,则 ∴

,… .…

点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法, 把极坐标方程化为直角坐标方程的方 法,参数的几何意义,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】

24.已知函数 f(x)=log2(|x﹣1|+|x+2|﹣a) . (1)当 a=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R,求 a 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;函数的定义域及其求法;指、对数不等式的解法. 专题:综合题;推理和证明. 分析: (1)分类讨论,不等式的解集是以下不等式组解集的并集: 或



,可得函数 f(x)的定义域;

(2)不等式 f(x)≥3,|x﹣1|+|x+2|≥a+8 的解集为 R,求出|x﹣1|+|x+2|的最小值,即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由已知得|x﹣1|+|x+2|>7, 不等式的解集是以下不等式组解集的并集: 或 或 ,

解得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣4)∪(3,+∞) . (2)不等式 f(x)≥3,|x﹣1|+|x+2|≥a+8 的解集为 R ∵|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, ∴a+8≤3, 即 a≤﹣5. 所以 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]. 点评:本题考查不等式的解法,考查恒成立问题,考查学生的计算能力,属于中档题.


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