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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题6 数学思想方法的培养——数形结合思想课件 文


专题复习·数学(文)

专题六 解析几何
数学思想方法的培养——数形结合思想 角 度
角度一 数与函数图象的结合 角度二 数与解析几何图形的结合 角度三 平面向量与平面图形结合 角度四 数与立体图形的结合 角度五 概率中的数形结合

数学思想 方法概述

(1)数形结合的数学思想,包含 “以形助数”

和 “以数辅形”两个方面, 其应用大致可以分为两种情形;一是借助形的生动性和直观性来阐明数 之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直 观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的 某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地 阐明曲线的几何性质.

数学思想 方法概述

(2)数形结合思想应用原则 ①等价性原则 在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将 会出现漏洞,有时,由于图形的局限性,不能完整地表现数的一般性, 这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明. ②双向性原则 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索, 两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数 分析)在许多时候是很难行得通的.

数学思想 方法概述

③简单性原则 找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法 来叙述解题过程,则取决于哪种方法更为简单.

数学思想 应用角度

角度一 数与函数图象的结合

[ 例 1]

设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,

都有 x+k∈D,且 f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函 数”.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在 x>0 时,f(x)=|x-a|-2a, 若 f(x)为 R 上的“2 015 型增函数”, 则实数 a 的取值范围是__________.

数学思想 应用角度

角度一 数与函数图象的结合

?x-3a?x≥a?, 由题意得,当 x>0 时,f(x)=? ?- x-a?x<a?.

①当 a≥0 时,函数 f(x)的图象如图(1)所示,考虑极大值 f(-a)=2a,令 x -3a=2a,得 x=5a. 2 015 所以只需满足 5a-(-a)=6a<2 015,即 0≤a< . 6 ②当 a<0 时,函数 f(x)的图象如图(2)所示,且 f(x)为增函数,因为 x+2 015>x,所以满足 f(x+2 015)>f(x).
? 2 015? ? 2 015? ?.故填?-∞, ?. 综上可知,实数 a 的取值范围是?-∞, 6 6 ? ? ? ? ? 2 015? ?-∞, ? 6 ? ?

数学思想 应用角度

角度一 数与函数图象的结合

数形结合法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法,解题时既 要考虑图形的直观,还要考虑数的运算.如[典例 1],利用函数解析式, 画出函数的大致图象,从左到右观察图象,可确定函数图象的变化趋势, 得到函数的单调性.

数学思想 应用角度

角度二 数与解析几何图形的结合

[ 例 2] A. C. 1 2 3 2

y 如果实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,则 的最大值为( x B. 3 3

)

D. 3

数学思想 应用角度

角度二 数与解析几何图形的结合

(x- 2)2+ y2=3 表示坐标平面上的一个圆, y y-0 圆心为 M(2,0),半径 r= 3,如图所示,而 = 表示圆上的(x,y)与原 x x-0 点 O(0,0)连线的斜率.(确定目标问题的几何意义) 该问题可转化为如下几何问题:点 A 在以 M(2,0)为圆心、 3为半径的圆 上移动,求直线 OA 的斜率的最大值.(转化为几何问题) 由图可知,当点 A 在第一象限,且 OA 与圆相切时,OA 的斜率最大.(解 决几何问题) y 2 2 2 2 连接 AM,则 AM⊥OA,OA= OM -AM = 2 - ? 3? =1,可得 的最 x 大值为 tan AOM= 3,故选 D.(回归代数问题)

D

数学思想 应用角度

角度二 数与解析几何图形的结合

数学思想 应用角度

角度三 平面向量与平面图形结合

[ 例 3]

已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-

c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是( C ) A.1 B.2 因为(a-c)· (b-c)=0, C. 2 2 D. 2

所以(a-c)⊥ (b-c). (确定需用向量的几何意义研究的目标) → =c,OA → =a,OB → =b,CA → =a- c,CB → =b-c, (运用向量的 如图所示,OC 几何意义构建图形) 即 AC⊥BC,又 OA⊥OB,所以 O,A,C,B 四点共圆. 当且仅当 OC 为圆的直径时,|c|最大,(解决几何问题) 且最大值为 2,故选 C.(回归代数问题)

数学思想 应用角度

角度三 平面向量与平面图形结合

数学思想 应用角度

角度四 数与立体图形的结合

[ 例 4]

如图所示,直线 l⊥平面 α,垂足为 O,

正四面体 ABCD 的棱长为 3,点 C 在平面 α 内,点 B 是直线 l 上的动点,则点 O 到 AD 距 离的最大值为( A. 2+1 3 C. ( 2+1) 2 ) B. 3+1 3 D. ( 3+1) 2

数学思想 应用角度

角度四 数与立体图形的结合

考虑几何体运动的特殊位置, 取 AD 的中点 E, 连接 BE,CE,OE,OC,则 AD⊥平面 EBC, 当 O,B,C,E 四点共面时,OE⊥AD.
? π? 不妨设∠BCO= θ?0<θ< ?,则 OC=3cos θ, 2? ?

3 3 3 CE= ,又易知 cos∠ BCE= , 2 3 sin∠BCE= 6 , 3

数学思想 应用角度

角度四 数与立体图形的结合

于是在△OCE 中,由余弦定理可得 OE= CO2+CE2-2OC· CEcos?θ+∠BCE? = =
? 3 ? 27 6 9cos θ+ -9 3cos θ? cos θ- sin θ? 4 3 ? 3 ?
2

27 9 + 2sin 2θ, 4 2

π 3 所以当 sin 2θ=1,即 θ= 时,OEmax= ( 2+1).故选 C. 4 2 C

数学思想 应用角度

角度四 数与立体图形的结合

本题结合特值化思想,把 O 到 AD 的距离转化为三角函数表达式的最值, 即代数问题.

数学思想 应用角度

角度五 概率中的数形结合

[ 例 5]

已知一只蚂蚁在圆:x2+y2=1 的内部任意爬行,若不考虑蚂蚁的

大小,则某时刻该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|≤1 内的概率是( A ) 2 A. π π B. 2 π C. 4 4 D. π

依题意知,基本事件空间为半径为 1 的圆面,其面积为 π×12=π,满足 条件 |x|+ |y|≤1 的区域为边长为 2的正方形,其面积为( 2)2=2 2 由几何概型的概率公式可知所求概率为 P= ,故选 A. π 本题解答时,注意画草图帮助理解,蚂蚁在圆面上任一处爬行是等可能

的,因此判断为几何概型,然后依据条件求阴影正方形的面积即可.


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