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【高考四元聚焦】2014届高三数学(理)人教A版一轮复习课件 第75讲 绝对值不等式


第75讲 绝对值不等式

1

2

x x 1.若| |> ,则实数 x 的取值范围是( A ) x+1 x+1 A.(-1,0) B.[-1,0] C.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.(-∞,-1]∪[0,+∞)

3

x x x 解析:因为| |> ,所以 <0, x+1 x+1 x+1 所以 x(x+1)<0,所以-1<x<0,故选 A.

4

2.(2012· 山东济宁 12 月)若不等式|x-2|+|x+3|<a 的 解集为?,则 a 的取值范围为( D ) A.a>5 C.a<5 B.a≥5 D.a≤5

5

解析:|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,则 a≤5,故 选 D.

6

3.(2012· 临沂市质量检测)不等式|2x+1|<3 的解集 为 .

7

解析:由|2x+1|<3 可得-3<2x+1<3, 即-4<2x<2,所以-2<x<1, 所以原不等式的解集为{x|-2<x<1}.

8

4.不等式 1<|x+1|<3 的解集为

.

9

?|x+1|>1 ?x+1<-1或x+1>1 解析:原不等式?? ?? ?|x+1|<3 ?-3<x+1<3

?0<x<2 或-4<x<-2. 故原不等式的解集为{x|-4<x<-2 或 0<x<2}.

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含绝对值不等式的解法
【例 1】(2012· 全国新课标卷)已知函数 f(x)=|x+a|+|x

-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

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解析:(1)当 a=-3 时,f(x)≥3?|x-3|+|x-2|≥3
?x≤2 ?? ?3-x+2-x≥3
?2<x<3 ? 或? ?3-x+x-2≥3 ?

?x≥3 或? ?x-3+x-2≥3

?x≤1 或 x≥4, 所以不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}.
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(2)原命题?f(x)≤|x-4|在[1,2]上恒成立 ?|x+a|+2-x≤4-x 在[1,2]上恒成立 ?-2-x≤a≤2-x 在[1,2]上恒成立?-3≤a≤0.

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【拓展演练 1】 (2012· 东北四校第一次模拟)已知关于 x 的不等式|2x+ 1|-|x-1|≤log2a(其中 a>0). (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.

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解析:(1)当 a=4 时,log2a=2, 1 1 ①x<- 时,-x-2≤2,得-4≤x<- ; 2 2 1 1 2 ②- ≤x≤1 时,3x≤2,得- ≤x≤ ; 2 2 3 ③x>1 时,此时 x 不存在. 2 所以不等式的解集为{x|-4≤x≤ }. 3

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(2)设 f(x)=|2x+1|-|x-1|
? ?-x-2 ?x<-1? ? 2 ? 1 =? ?3x ?-2≤x≤1? ? ?x+2 ?x>1? ?

.

3 3 故 f(x)∈[- ,+∞),即 f(x)的最小值为- , 2 2 3 2 所以 f(x)≤log2a 有解,即 log2a≥- ,解得 a≥ , 2 4 2 所以 a 的取值范围是[ ,+∞). 4
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含绝对值不等式的证明
【例 2】设 m 是|a|,|b|和 1 中最大的一个,当|x|>m 时,

a b 求证:| + 2|<2. x x

18

证明:因为|x|>m≥|b|且|x|>m≥1, 所以|x2|>|b|2,又因为|x|>m≥|a|, a b a b |a| |b| |x| |x|2 所以| + 2|≤| |+| 2|= + 2< + 2=2, x x x x |x| |x| |x| |x| 故原不等式成立.

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【拓展演练 2】 1 1 (2012· 江苏卷)已知实数 x, 满足: y |x+y|< , |2x-y|< , 3 6 5 求证:|y|< . 18

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证明:因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)| ≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 2 1 5 5 所以 3|y|< + = ,所以|y|< . 3 6 6 18

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含绝对值不等式的综合问题
【例 3】(2012· 东北哈三中等四校高三第二次联考)设函

数 f(x)= |x+1|+|x-2|+a. (1)当 a=-5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围.

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解析:(1)a=-5 时,|x+1|+|x-2|-5≥0,解得 x≥3 或 x≤-2,所以定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞).

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(2)|x+1|+|x-2|+a≥0 恒成立, 即|x+1|+|x-2|≥-a 恒成立, 设 g(x)=|x+1|+|x-2|,
?2x-1 ?x>2? ? 则 g(x)=?3 ?-1≤x≤2? ? ?1-2x ?x<-1?



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由 g(x)的图象知 g(x)min=3,所以-a≤3,a≥-3.

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【拓展演练 3】 (2012· 河南省郑州市第一次质量预测) 已知函数 f(x)=|x-a|-2|x-1|(a∈R). (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的最大值; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0.

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解析:(1)当 a=3 时,
?-x-1 ?x≥3? ? f(x)=|x-3|-2|x-1|=?-3x+5 ?1<x<3? ? ?x+1 ?x≤1?



所以,当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 2.

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(2)由 f(x)≥0 得|x-a|≥2|x-1|, 两边平方得(x-a)2≥4(x-1)2, 即 3x2+2(a-4)x+4-a2≤0, 得[x-(2-a)][3x-(2+a)]≤0, 2+a 所以,①当 a>1 时,不等式的解集为[2-a, ]; 3 ②当 a=1 时,不等式的解集为{x|x=1}; 2+a ③a<1 时,不等式的解集为[ ,2-a]. 3
28

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1.(2013· 江西卷)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的 解集为 .

30

解析:依题意得-1≤|x-2|-1≤1,即|x-2|≤2,解 得 0≤x≤4.

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2.(2013· 重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范围是 .

32

解析:要使不等式无解,则 a 必须小于或等于|x-5| +|x+3|的最小值,而|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8, 则 a≤8,所以实数 a 的取值范围是(-∞,8].

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3.(2012· 南 卷 ) 不 等 式 |2x + 1| - 2|x - 1|>0 的 解 集 湖 为 .

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解析:令 f(x)=|2x+1|-2|x-1|,
? 1 ?-3 ?x<- ? ? 2 ? 1 则由 f(x)=? ?4x-1 ?-2≤x≤1? ? ?3 ?x>1? ?



1 得 f(x)>0 的解集为{x|x> }. 4

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4.(2012· 东 卷 ) 若 不 等 式 |kx - 4|≤2 的 解 集 为 山 {x|1≤x≤3},则实数 k= .

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解析:由|kx-4|≤2 可得 2≤kx≤6, k k 所以 1≤ x≤3,所以 =1,故 k=2. 2 2

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